第5章时变电磁场

1、第第5 5章章 时变电磁场时变电磁场黄丘林黄丘林电子工程学院电子工程学院西安电子科技大学西安电子科技大学1 1本章提纲1 法拉弟电磁感应定律2 位移电流3 麦克斯韦方程组4 时变电磁场的边界条件5 坡印廷定理和坡印廷矢量6 时谐场7 交变电磁场的波动性2 2当做为场源的电荷和电流随时间变化时，它们产生的电场和磁场不仅是空间坐标的函数，而且也随时间变化。而且变化的磁场要产生电场，时变的电场也要产生磁场。此时电场和磁场互为因果，成为统一的电磁场的不可分割的部分。3 31 法拉弟电磁感应定律1831年，英国物理学家法拉弟（Faraday）总结大量的实验结果发现，当与一个由导线组成的闭合回路相交链的磁

2、通量发生变化时，回路中将产生感应电动势，进而引起感应电流。而且感应电动势等于 磁通量变化率的负值。这里 的参考方向与磁通量 的正方向成右手螺旋关系。inddt （伏）总磁通in4 4若 随t增加， ，则 ，表示 的实际方向与参考方向相反；若 随t减少， ，则 ，表示 的实际方向与参考方向相同。在此之后，英国物理学家兼数学家麦克斯韦（Maxwell）对电磁感应定律进行了深入的分析，揭示了电磁感应现象的本质，并得出了电场和交变的磁场之间的关系。他认为回路中感应电动势是由于交变的磁场激发了一种非保守的电场的结果。这个电场称为感应电场。感应电动势与感应电场的关系为：1 法拉弟电磁感应定律0ddt0in

3、0ddt0ininininCE dl5 5故电磁感应定律可表示为：以上讨论是导体回路的情况。但感应电场是由变化的磁场激发的，不论导体是否存在，只要磁场变化，就要激发感应电场，所以上式不只适合于导体回路，对任一闭合回路都是成立的。由斯托克斯公式，上式可改写为：1 法拉弟电磁感应定律CSBE dldSt CSSBE dlE dSdSt 6 6即：由于S任意，所以：这就是法拉弟电磁感应定律的微分形式，它清楚地表明了交变磁场和感应电场间的关系。1 法拉弟电磁感应定律0SBEdStBEt 7 7考察安培环路定律在时变场情况下是否成立。先看一个例子。一个中间填理想介质的电容器接在交流电源的两端，l为一个与

4、导线交链的闭合回路。若取一个以l为边界的曲面 与导线相交，则由安培环路定律： i导线中的传导电流若取一个曲面 不与导线相交而通过两极板之间，则：2 位移电流1S1lSH dlJ dSi0lH dl8 8这样磁场强度沿同一闭合路径的线积分出现了两种结果，这说明安培环路定律用于时变场要产生矛盾。麦克斯韦首先注意到并从理论上解决了这一矛盾。他首先分析了这一矛盾的实质，这实际上反应了恒定电流条件下的安培环路定律与时变条件下的电流连续性方程之间的矛盾。安培环路定律：而在时变场中，电流连续性方程是：二者是矛盾的。电荷守恒定律是普通正确的，而安培环路定律在时变场情况下必须加以修正。2 位移电流HJ0JH 要

5、求Jt 9 9Maxwell认为，在时变情况下，高斯定理和磁通连续性原理仍然适用。即：这样电流连续性方程可写为：即：此式表明，在时变场中， ，但矢量 的散度等于0。2 位移电流,D r tr t,0B r t ,SD r tdSQ t,0SB r tdS0JJDtt 0DJt10100JDJt若用此矢量代替安培环路定律中的 ，即得：这样，它与电流连续性方程就是相容的了。引入位移电流之后，一开始的例中的矛盾也就不复存在，因为：上式表明，变化的电场也将激发磁场。2 位移电流JDHJtDt位移电流密度（A/m）22dlSSDDH dlJdSdSitt1111上述两个方程构成了Maxwell方程组的核

6、心，同时麦克斯韦认为除了高斯定理在时变情况下成立外，磁通连续性原理也是成立的，它们和上述二方程组成麦克斯韦方程组。1865年，麦克斯韦方程组发表。3 麦克斯韦方程组12123 麦克斯韦方程组 微分形式 积分形式0CSCSSSVDH dlJdStdE dlB dSdtB dSD dSdVQ 13130DHJtBEtBD 3 麦克斯韦方程组在各向同性的线性媒质中，各场量之间的关系是：从以上方程不难看出，前面讨论过的静电场，恒定电场和恒定磁场的基本方程都不过是Maxwell方程组在 时的特例。Maxwell方程组构成了宏观电磁理论的框架，电磁问题的求解最终都可归结为求Maxwell方程组的解。DEB

7、HJE0ddt14143 麦克斯韦方程组15153 麦克斯韦方程组1616 麦克斯韦方程组的一个解3 麦克斯韦方程组1888年Hertz产生了电磁波验证了麦克斯韦方程的正确性17173 麦克斯韦方程组Hertz实验的简单原理18183 麦克斯韦方程组Marconi发明了电报电磁波开始为人类所利用 1890,1897,190119193 麦克斯韦方程组作业：P187：5.5，5.6，5.920204 时变电磁场的边界条件磁场强度 的边界条件由麦克斯韦第一方程：HlSSDH dlJ dSdSt21ttDHlHlJ bh lbh lt sDJblbh lt 21ttsDHHJbbht21214 时变

8、电磁场的边界条件 有限，所以第二项为0或写成矢量形式：即：而 任意若无传导电流，则 或Dt21ttsHHJb21sHbnHbnJb21snHnHbJbb21snHHJ12ttHH210nHH22224 时变电磁场的边界条件电场强度 的边界条件由麦克斯韦第二方程： 有限，而即：或：ElSBE dldSt 21ttBElElbh lt Bt0h 210ttEE12ttEE电场强度切向分量连续210nEE23234 时变电磁场的边界条件磁感应强度 的边界条件由麦克斯韦第三方程与恒定磁场类似的讨论可得：或：B0SB dS12nnBB磁感应强度的法向分量连续210nBB24244 时变电磁场的边界条件电

9、感应强度 的边界条件由麦克斯韦第四方程与静电场类似讨论可得：或：DSD dSQ21nnSDD21SnDD25254 时变电磁场的边界条件综上所述，交变电磁场中的边界条件可归纳为：21121221ttSbttnnnnSHHJEEBBDD2121212100SSnHHJnEEnBBnDD或26264 时变电磁场的边界条件特例理想导体表面上交变场的边界条件。理想导体：对于 很大的良导体，当频率很高时，电磁场只能存在于导体表面很小的薄层内，这种现象称为集肤效应（以后在均匀平面波部分详细讲）。 越大，集肤效应越显著，透入深度越小（如在10GHz，透入铜的深度为6.6 10-5cm。 时，透入深度为0，即

10、在理想导体内部电磁场处处为0。由高斯定理和安培环路定律可知，电荷和电流只能存在于理想导体的表面上。 27274 时变电磁场的边界条件根据上述边界条件，在理想导体表面上：（将介质1设为理想导体）结论：在理想导体表面上，电场只有法向分量，磁场只有切向分量。00tSbtnnSHJEBD00SSnHJnEn Bn D或28284 时变电磁场的边界条件例例 已知两无限大理想导体板相距为a，如图，其间电场强度为 （ ）， 求两板内壁上的面电流密度。解：解：欲求 ，应先求由麦克斯韦第二方程： 即： 0sincosymEa Extzam常数SJnHSJH0BHEtt 0yyEEHxzzxt 29294 时变电

11、磁场的边界条件两边对t积分得：00sinsincoscosmmmExtz xExtz zaaa0Ht 0000sincoscossinEmmmHxtz xExtz zaaa 0000sinSxxmJxHxEtz za 00sinmyEtza30304 时变电磁场的边界条件001sinmsx ax amJxHyEtza 3131作业：P187：5.8，5.115 坡印廷定理和坡印廷矢量交变场中电场、磁场均随时间变化，所以电场能量密度、磁场能量密度也必随时间变化，而空间各点电磁能量密度的变化说明能量发生了转移或转化。下面从麦克斯韦方程出发，导出表征电磁能量守恒和转换关系的坡印廷定理，以及描述能量转

12、移情况的电磁能流矢量坡印廷矢量。电磁能量守恒坡印廷定理由麦克斯韦第一、二方程：DHJtBEt （5-1）（5-2）32325 坡印廷定理和坡印廷矢量（5-2） -（5-1） 得：而：同理：HEBDHEEHHJ EEtt （5-3）1122mHwBHHB HB Httttt 1122eDwDEEE DE Dttttt emHEEHwwJ Et 33335 坡印廷定理和坡印廷矢量由矢量恒等式：上式两边积分：即：EHHEEHemEHwwJ Et wJ Et VVVwEH dVdVJ EdVt SVWEH dSJ EdVt 34345 坡印廷定理和坡印廷矢量即：由焦耳定律，单位体积内的损耗功率为 ，显

13、然右边第二项为体积V内的损耗功率。左边为电磁能量的减少率，即减少的功率。而体积V内电磁能量的减少不外乎两种原因，一是损耗掉而转化为其它形式的能量，另一是转移到V之外。显然，右边第一项代表的是通过S流出体积V的功率。若媒质为无耗的（ ），则 此时，V内减少的功率就等于流出V的表面S的功率。坡印廷定理体现了电磁场中的能量守恒关系。SVWEH dSJ EdVt 坡印廷定理J E 020VVJ EdVE dV 35355 坡印廷定理和坡印廷矢量电磁能流与坡印廷矢量因为 代表经曲面S流出体积V的功率，所以被积函数 代表通过单位面积的功率流，或能流密度矢量。令： 的方向为能量流动的方向，大小为垂直流过单位

14、面积的功率。空间只要有电场和磁场同时存在，就会有能量流通。即使在直流情况下也是如此，下面用能流概念分析传输线上直流功率的传输问题。SEH dSSEH 坡印廷矢量（W/m）S3636EH5 坡印廷定理和坡印廷矢量例例 内、外半径分别为a、b的同轴线，加电压 ，端接电阻R，导体上有电流 ，求输入到电阻的功率。解：解：输入到R的功率等于通过任一横截面的功率0U0I2lEr而002ln2lnbllaUbUEdrbaa37375 坡印廷定理和坡印廷矢量这与电路中的结果是一致的，但它揭示了能量传输的机理。负载消耗的能量是通过同轴线中的内、外导体间电磁场传输的，而不是通过导体传输的，导体仅起引导作用。0ln

15、UErbra02IHr0 0212 lnU ISEHzbra2002012 lnbSSaU IPS dsS zdsrdrdbra 0 0U I而：38386 时谐场前面的讨论是针对随时间任意变化的电磁场进行的，在实际问题中，通常只需要研究随时间作正弦变化的电磁场，这种电磁场称为时谐场。在线性媒质中，即使是按任意规律随时间变化的电磁场，也可按时间展开成傅立叶级数，因此可看作许多个时谐场的迭加。研究正弦电磁场，可以象正弦交流电路中的相量一样，引入一个复数来表示时谐场，从而使分析、计算简化。39396 时谐场场量的复数表示法以电场强度为例： 的x分量的瞬时值可表示为：可表示为：其中 称为 的复振幅E

16、, , , ,cos, ,xxmxEx y z tEx y ztx y zx角频率初相角ReRejtj txxxmxEE eE ejxxxmEEexE40406 时谐场同理：故电场强度 可表示为：Rej tyyEE ejyyymEEeRej tzzEE ejzzzmEE eExyzExEyEzERej txyzxEyEzEeRej tEexyzExEyEzE 的复振幅E41416 时谐场场量与复振幅具有一一对应的关系，因此，研究电磁场可通过研究其复振幅进行。以后将会看到研究复振幅的好处。注意如何由瞬时值写出复振幅或由复振幅求瞬时值。电磁场中的其它物理量 ， ， ， ， 也可用相应的复矢量或标量

17、表示。DBHJ42426 时谐场复数形式的麦克斯韦方程组既然电磁场量可用复数表示，则麦克斯韦方程也可用复数表示。以第一方程为例：DHJtReRej tj tHH eH eRej tJJ eReRej tj tDDej Dett43436 时谐场可见引入复振幅后，可把对时间的微分运算变成代数运算，从而使计算简化。复数形式的麦克斯韦方程组：ReRej tj tH eJj D eHJjD0HJjDEjBBD DEBHJE44446 时谐场复数形式的坡印廷矢量设简谐场中场的瞬时值为：则坡印廷矢量 的x分量为coscoscosxmxeymyezmzeExEtyEtzEtcoscoscosxmxhymyh

18、zmzhHxHtyHtzHtScoscoscoscosxymzmyezhzmymzeyhSEHttE Htt1cos 2cos21cos 2cos2ymzmyezhyezhzmymzeyhzeyhEHtE Ht45456 时谐场 在一个周期内的平均值为：xS01TxavxSS dtT11coscos22ymzmyezhzmymzeyhE HE H11ReRe22jjyezhzeyhymzmzmymEHeE He1*Re2yzzyE HE H 46462=T（其中，）6 时谐场同理：所以，坡印廷矢量的平均值为：1*Re2yavzxxzSE HE H 1*Re2zavxyyxSE HE H avx

19、avyavzavSxSySzS1*Re2yzzyzxxzxyyxx E HE Hy E HE Hz E HE H 1*Re2EH47476 时谐场令：则坡印廷矢量的平均值等于复坡印廷矢量的实部：今后主要讨论简谐场，所研究的场量一般都是复振幅。为书写方便省去“”。应注意根据情况区分是瞬时值还是复振幅。1*2SEH复坡印廷矢量 ReavSS48486 时谐场例例 已知矩形波导中主模的电磁场为：求通过矩形波导横截面的平均功率。0sincosEyExtza00sincoscossinHxExtzazExtzaa 49496 时谐场解：解：0sinjzEyEx ea00sincosjzjzHxEx ezjEx eaaa 2220012*sinsin22SEHzExj xExaaa 220ResinavSSzExa22000sinbaavavSPSdSExdxdya 202Eab5050作业：P188：5.13，5.15，5.1751517 交变电磁场的波动性麦克斯韦第一方程和第二方程说明，变化的电场激发磁场，变化的磁场激发电场。一旦交变的场源在空间激发起电磁场，由于电场和磁场的相互激发，即使场源消失，电磁场仍可独立地存在，并由近及远地向外传播，从而形成电磁波。任何波动都满足一个共同的规律波动方程。下面从麦克斯韦方程出发导出电磁场的波动方程。52527 交变电磁场的波动性波动方程若媒