第2章拉斯变换及应用

1、主讲教师：朱高伟主讲教师：朱高伟第第2章章 拉斯变换及其应用拉斯变换及其应用主要内容主要内容 拉斯变换的基本概念拉斯变换的基本概念 拉斯变换的运算定理拉斯变换的运算定理 拉斯反变换拉斯反变换 2.1 拉斯变换的基本概念拉斯变换的基本概念（1 1）复数、复函数）复数、复函数 复数复数复函数复函数 sj)()()(sjFsFsFyx 例例1 1 jssF 22)(（2 2）模、相角）模、相角 22yxFFsF xyFFsFarctan （3 3）复数的共轭）复数的共轭 yxjFFsF )(（4 4）解析）解析 若若F(s)在在 s 点的各阶导数都存在，则点的各阶导数都存在，则F(s)在在 s 点解

2、析。点解析。 模模相角相角 2.1 拉斯变换的基本概念拉斯变换的基本概念2 2 拉氏变换的定义拉氏变换的定义 0stL f (t )F(s )f (t ) edt （1 1）阶跃函数）阶跃函数( )( )F sf t像像原像原像3 3 常见函数的拉氏变换常见函数的拉氏变换10( )00tf tt 00111110 1ststLtedtesss（2 2）指数函数）指数函数atf (t )e 00s a tatstL f (t )eedtedt011101(s a)te()sasasa 2.1 拉斯变换的基本概念拉斯变换的基本概念（3 3）正弦函数）正弦函数00sin0 tf(t)t t001si

3、n2stj tj tstL f(t)t e dteee dtj dteej)tj(s)t-(s-j 021 001112(s j )t(s j )teej sjsj 22222211121 ssjjjsjsj2.2 拉斯变换的运算定理拉斯变换的运算定理（1 1）线性性质）线性性质（2 2）微分定理）微分定理1212L a f (t)b f (t)aF(s)bF (s) 0L fts F sf 00左tdfedtetfstst 21120000nn-nnn-n-L fts F ssfsfsff dtetfs-fst 000 右0 fssF st-stdetftfe 00证明：证明：0 0初条件下

4、有：初条件下有： sFstfLnn 2.2 拉斯变换的运算定理拉斯变换的运算定理例例2 2 求求 ?)( tL 解解. . t1t tLtL1 例例3 3 求求 ?)cos( tL 解解. . tt nsi1cos tLtL nsi1cos 11 0ss 101 221 ss22 ss2.2 拉斯变换的运算定理拉斯变换的运算定理（3 3）积分定理）积分定理 0111-fssFsdttfL 零初始条件下有：零初始条件下有： sFsdttfL 1进一步有：进一步有： 0101011211nnnnnnfsfsfssFsdttfL 个个例例4 4 求求 Lt=?=? 解解. . dttt 1 dttL

5、tL1例例5 5 求求解解. . dttt 220222111 ttsss?22 tL0111 ttsss21s dttLtL2231s 2.2 拉斯变换的运算定理拉斯变换的运算定理（4 4）实位移定理）实位移定理证明：证明：例例6 6解解. . )( 1)( 1)(atttf )(1)(1)(attLtfL )()(00sFetfLs F(s) ,at 0at 0 10t 0tf 求求 sesas11 seas 1dtetfst 00)( 左令令 0t defs 00)()( defess 00)(右 2.2 拉斯变换的运算定理拉斯变换的运算定理（5 5）复位移定理）复位移定理证明：证明：

6、)()(AsFtfeLtA dtetfestAt 0)(左令令sAs dtetfts 0)()(sF 右 dtetftAs 0)()()(AsF ate L teLt-5cos3 例例7 7例例8 8 22533 ss3225 ssss atetL 1asss 1as 1（7 7）终值定理）终值定理)(lim)(lim0sFstfst （6 6）初值定理）初值定理)(lim)(lim0sFstfst 21)(ssF 例例1010 ttf )(lim)0(sFsfs 01lim2 sss例例1111)(1)(bsasssF abbsasssfs11lim0 2.2 拉斯变换的运算定理拉斯变换的运

7、算定理用拉氏变换方法解微分方程用拉氏变换方法解微分方程)( 1)()()(21ttyatyaty ssYasas1)()(212 L变换变换0)0()0( yy)(1)(212asasssY )(1sYLty 系统微分方程系统微分方程L-1变换变换2.3 拉斯拉斯反变换反变换1( )( )2jtsjf tF s e dsj （1 1）反演公式）反演公式（2 2）查表法（分解部分分式法）查表法（分解部分分式法）试凑法试凑法系数比较法系数比较法留数法留数法1F(s)s(sa)例例1 1 已知已知，求，求( )?f t 1 (sa)-sF(s)as(sa)1 11a ssa11atf(t)ea解解.

8、 .常见常见L变换变换 拉氏变换的定义拉氏变换的定义 0)()(dtetfsFts（2 2）单位阶跃）单位阶跃 常见函数常见函数L变换变换)(tfs1（5 5）指数函数）指数函数ate )(1as )(sF)( 1 t（1 1）单位脉冲）单位脉冲1)(t （3 3）单位斜坡）单位斜坡21 st（4 4）单位加速度）单位加速度31 s22t（6 6）正弦函数）正弦函数t sin)(22 s（7 7）余弦函数）余弦函数t cos)(22 ssL变换重要定理变换重要定理 课程小结课程小结 （2 2）微分定理）微分定理（5 5）复位移定理）复位移定理（1 1）线性性质）线性性质（3 3）积分定理）积分定理（4 4）实位移定理）实位移定理（6 6）初值定理）初值定理（7 7）终值定理）终值定理 (s)Fb(s)Fa(t)fb(t)