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1、绝对值及其几何意义文档编制序号：KK8UY-LL9IO69-TT。6M3-MTOL89-FTT688绝对值及其几何意义绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数 的绝对值是它的相反数。如：|5 =5； |-5 =5； 0|=0绝对值的几何意义：可以借助数轴来加以认识，一个数的绝对值在数轴上表示这个数的点到 的距离。如| |表示数轴上表示数a的点到 的距离，推而广之：I x-a |的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数 的点之间的距离，I x-a | + | x-b |的几何意义是数轴上表示数x的点到表示 数 两点的距离之和。对于一些比较复杂的绝对值问题，如果用常规的方法做

2、会比较繁琐，而运用绝对值的几何意义解题，往往能取得事半功倍的效果。例1：已知，I x-4 | =3,求x的值。解法一（代数法，分类讨论）（“零点分段法”）：解法二（几何法）：由绝对值的几何意义可知，I x-4 | =3表示数x的点到的距离为，结合数轴不难发现这样的点共有 个，分别是和,故 x=.例2：求I x-l | + | x+2 |的最小值。解法一（代数法）（“零点分段法”）：解法二（几何法）：由绝对值的儿何意义可知,分析：本题若采用“零点分段法”讨论亦能解决，但若运用绝对值的几何 意义解题，会显得更加简洁。解：根据绝对值的几何意义可知，IxTl表示数轴上点x到 的距离，I x+2 |表示

3、数轴上点x到 的距离。实际上此题是要在数轴上找一点x,使该点到两点的距离之和最短，由数轴可知，x应在数轴上 的点，且最短距离为，即I xT | + | x+2 |的最小值为 o推广：I x-a | + | x-b |的最小值为 oI | x-a | - | x-b | |的几何意义是数轴上一点x到a、b两点之间 距离之差的绝对值，它有一个最（大或小）值 o例3:对于任意实数，若不等式I I x+1 | - | x-2 | | Vk恒成立，则实数k 的取值范围是什么？解：（提示：k是式子| | x+1 | - | x-2 | |的最大值还是最小值？）例4：如果I x-3 | + I x+1 |

4、=4,则x的取值范围是什么？ 解：绝对值的几何意义的运用是一个较好的技巧，这种简捷、巧妙的方法，应 引起重视。绝对值的性质：（1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|20,这是绝对值非常重要的性质;（9>0（2） i= a =o （代数意义）,<0（3）若 |a| 二a,则 a20；若 a =-a,则 aWO：（4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即旧2a,且a Aa；（5）若|a|二|b|,则a=b或a=-b；（儿何意义）（6）| ? |=| |?| |（7）H = H（* 6（8） | =| 升"（9） | |-| |<| + |<| | + | |左边的等号当且仅当ab < 0时取到，右边的等号当且仅当ab > 0时取到（10） | |-|

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