必考点一次方程与方程组涉及的16个必考点全梳理

1、考点1 一元一次方程的定义一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式.一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数 为1,且未知数的系数不为0.例题1下列方程中：2x+4 = 6,3-2x, 5x<7,3x-2y=2,x=3,其中是一 人元一次方程的有（）A.5个B. 4个C.3个D. 2个【分析】利用一元一次方程定义进行解答即可.【解析】2x+4=6是一元一次方程：x -1=”是分式方程：3/-2x不是方程，是代数式；5xV7是一元一次不等式；3x - 2y=2是二元一次方程；x=3是一元一次方程；一元一次方程共2个，故选：D.【小结】此题主要考查了一元一次方程定义，一元一次方程属

2、于整式方程，即方程两边都是整式.一元指 方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0.变式 1卜列方程：y=x-7；2a2-x=6： nt 5=?w； （4）- =1： ©=1» 6x=0,其中是一元一次方程的有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可.2 X3【解析】一元一次方程有- 5=机，=1, 6x=0,共3个，3 2故选:B.【小结】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义的内容是解此题的关键.变式2 已知方程（明-2）47=0是关于x的一元一次方程，则冽=.【分析】利用一元一次方程

3、的定义得出关于，的方程，求出即可.【解析】方程（川-2），洲.1+7=0是关于x的一元一次方程， ？-2Ho且触1 = 1,解得加=-2.【小结】此题主要考查了一元一次方程的定义以及绝对值的意义，正确列出关于加的方程是解题关键. 变式3 方程Q+2）/+5/ 3 _ 2=3是一元一次方程，则/防=.【分析】根据一元一次方程的定义，分别得到关于。和关于肥的一元一次方程，解之，代入H加，计算求 值即可.【解析】根据题意得：4+2=0,解得：。=-2,"L 3=1,解得：7 = 4,+加=-2+4=2,【小结】本题考查了一元一次方程的定义，正确掌握一元一次方程的定义是解题的关键.考点2等式

4、性质的应用等式的性质：等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等：等式性质2:等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，结果仍相等.例题2 宁宁同学拿了一个天平，测量饼干与糖果的质量（每块饼干的质量都相同，每颗糖果的质量都相 同）做了一下试验.第一次：左盘放两块饼干，右盘放三颗糖果，结果天平平衡；第二次，左盘放一块饼 干和一颗糖果，右盘放10克硅码，结果天平平衡；第三次：左盘放一颗糖果，右盘放一块饼干，下列哪一 种方法可使天平再度平衡（ ）A.左盘上加2克硅码B.右盘上加2克祛码C.左盘上加5克硅码D.右盘上加5克硅码【分析】根据第一个等式，可得1饼干与糖果的关系，根据

5、第二个等式，可得1糖果的质量，1饼干的质量, 再根据等式的性质，可得答案.【解析】2饼干=3糖果，1饼干= 1.5糖果，1饼干+1糖果=10祛码，把1饼干= 1.5糖果代入，得1.5糖果+1糖果=10硅码，1糖果=4硅码，1饼干= 1.5糖果= L5X4=6硅码，4硅码+2祛码=6硅码，1糖果+2硅码=1饼干，故选：，4.【小结】本题考查了等式的性质.解题的关键是掌握等式的性质，先分别求出1饼干1糖果的质量，再根据等式的性质，可得答案.变式4 下列判断错误的是（）A.如果 a = b,那么 ac-d=bc-d如果kb,那么目=bc2 + lC.如果x=3,那么f=3xD.如果ax=6x,那么a

6、=b【分析】根据等式的性质一一判断即可.【解析】.4、如果a=b,那么双-d=6c-d,正确，故选项不符合题意：B、如果a=6,那么义=?一,正确，故选项不符合题意：c2 + l c2+lC、如果x=3,那么f=3x,正确，故选项不符合题意；D、当x=0时，不一定成立，故选项符合题意：故选：D.【小结】本题考查等式的性质，记住：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等 式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式.变式5 设, , 分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平 也平衡，那么以下方案不正确的是（）【分析】根据第一个天平可得？

7、= +，根据第二个天平可得+ = ,可得出答案.【解析】根据图示可得：2=+，+=，由可得=2上，B=3A,则+=5上=2+上=+3上.故选：工【小结】本题考查了等式的性质，根据图示得出、的数量关系是解题的关键.变式6 设“、”分别表示三种不同的物体，如图(1) , (2)所示，天平保持平衡，如果要使得图(3)中的天平也保持平衡，那么在右盘中应该放的个数为()A. 6个'口/AB. 5个oa / g/5A(2)C. 4个D. 3个据此判断出。、与的关系，然后【分析】首先根据图示可知，2XO = A+n (1) , 0+= (2),判断出结果.【解析】根据图示可得,2XO = A+n (

8、1), 0+ = (2),由(1) , (2)可得，。=2口，A = 3Q,，。+4=2口+3口 = 5口，故选：B.【小结】此题主要考查了等量代换问题，判断出。、与的关系是解答此题的关键.考点3 一元一次方程的解一元一次方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解：注意：“方程的解就能代入”。2) 女+3tx 4例题3 已知x=l是方程一一一 = ：;k的解，则上的值是()263A. 4B. -iC. -D, -444【分析】把X=1代入方程，即可得出一个关于上的一元一次方程，求解即可.【解析】把X=1代入方程得：一如警=孑，去分母得：-4k-3 = 8k,解得：k=-.故选：B.【小

9、结】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，属于基础知识的考查，比较简单.变式7 若x=l是方程-2必+-1=0的解，则2019+ - 2m的值为(A. 2018B. 2019C. 2020D. 2019 或 2020【分析】把X=1代入方程求出2加-的值，原式变形后代入计算即可求出值.【解析】把x=l代入方程得：-2m+n-l=0,整理得：2m - T,则原式=2019+ -2打=2019 - (2机-)=2019 - ( - 1)=2019+1=2020,故选：C.【小结】此题考查了一元一次方程的解，利用了整体代入的思想，方程的解即为能使方程左右两边相等的 未知数的值.变式8 已知方程

10、3x-3=2x的解为a+2,求关于x的方程3x - 2 (x - a) =3a的解.【分析】根据方程3x-3=2x的解为a+2,求出。的值，再把。的值代入方程3x - 2 (x-a) =3°,求解即 可.【解析】方程3x-3=2a-的解为什2,A3 (什2) -3=2 3+2),解得，7=1,当 4 = 1 时，方程 3x-2 (x-a) =3 可变为 3x-2 (x- 1) =3,解得x=l,答：关于X的方程3x-2 (x-a) =3。的解为x=l.【小结】本题考查一次方程(组)的应用，理解方程解的意义是正确解答的前提，代入是常用的方法.变式9 小明解方程一丁+1=平时，由于粗心大

11、意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10,由此得 54到方程的解为X=-1，试求。的值，并正确地求出原方程的解.【分析】将错就错去分母，把X=-1代入计算求出。的值，把。的值代入方程计算，求出正确的解即可.【解析】按方程左边的1没有乘以10,去分母得：2 (2x-6) +1 = 5 (x+o),把x=-l 代入得：2X ( -8) +1= -5+57,解得：-2,2x6y7把。=-2代入原方程，得一+1=¥，去分母得：2 (2x-6) +10=5 (x-2),去括号得：4x- 12+10=5a - 10,移项合并得：-x=-8,解得：x=8,答：。的值是-2,原方程的解为x=8.【小

12、结】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程注意两边相等的未知数的值.考点4解一元一次方程解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化.例题4 解方程：x-32x4-1(1) 3 (2x+5) =2 (4x+3) +1：(2)=1.23【分析】(1)方程去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1,即可求出解：(2)方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1,即可求出解.【解析】(1)去括号得：6x+15 = 8x+6+l,移项得：6x-8x=6+l -

13、15,合并得：-2x=-8,解得：x=4：(2)去分母得：3 (x-3) -2 (2t+1) =6,去括号得：3x-9-4x-2=6,移项得：3x-4x=6+9+2,合并得：-x=17,解得：x= - 17.【小结】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解本题的关键.变式10解方程:2x-l x+511?(1) =2x+l；(2) -a-y (x- 1) =4 (x-2).363l 2J 3【分析】(1)方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解:(2)方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1,即可求出解.【解析】(1)去分母得：2 (2x- 1)

14、- (x+5) =12x+6,去括号得：4x - 2 - x - 5 = 12x+6,移项合并得：-9x=13,解得：x=- 11o(2)去括号得：/一不(x - 1) = g (x - 2),去分母得：2x - (x - 1) =4 (x - 2),去括号得：2a-x+1=4x-8,移项合并得：-3x=-9,解得：x=3.【小结】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键.变式11解方程自一4)+2x-0.20.37X + 1(1) (x7)？=3-( ”(2) -=1230.40.2【分析】(1)方程去分母，去括号，移项合并，把X系数化为1,即可求出解:(2)方程整理后，去

15、分母，去括号，移项合并，把x系数化为1,即可求出解.【解析】(1)去分母得：6 (x-4) -3 (x-5) =18-2 G-2),去括号得：6x-24-3x+15=18-2x+4,移项合并得：5x=31,解得：x=6.2：, 、10X-237x4-100(2)方程整理得：-=1,420去分母得：50x- 10 - 37x- 100=20,移项合并得：13x=13O, 解得：x=10.【小结】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键.变式12解方程:(1) i (3x- 1) -2=i (3x+2) -i (2x-3)：(2)0.3x0.50.3+ 1.5=0.5+0.4%-0

16、【分析】（1）方程去分母,去括号，移项合并，把x系数化为1,即可求出解:（2）方程整理后，去分母,去括号，移项合并，把x系数化为1,即可求出解.【解析】（1）去分母得：2 （3x-l）-20= (3x+2) -5 (2x-3),去括号得：6x-2-20=3x+2-10/15, 移项合并得：13x=39,解得：x=3：3x-54x+S（2）方程整理得：二一+1.5= 芋,去分母得：6x-10+9=4x+5, 移项合并得：2x=6, 解得：x=3.【小结】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键.考点5同解方程如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解

17、其中一个方程，得到该 方程解代入另一个方程求解字母的值.例题5 如果关于x的方程公-2m=3升2和x=2x-3的解相同，那么胆=.【分析】先求出方程x=2x-3的解，再把方程的解代入方程4x-2m=3x+2中，求出血.【解析】方程x=2x-3的解为x=3,方程4x - 2m=3x4-2和x=2x-3的解相同，方程 4x- 2i=3x+2 的解为 x=3,当 x=3 时，12-2加= 9+2,解得m=故答案为： 【小结】本题考查了一元一次方程的解法及方程的同解的含义.理解同解方程是解决本题的关键.变式13已知，关于x的方程2G- l)+3=x与3(/加)=册-1有相同的解，则以y为未知数的方程会

18、-|卢加 =6-的解为()A. 5B. 6C. - 5D. -6【分析】根据方程1可直接求出x的值，代入方程2可求出把所求m和x代入方程3,可得到关于y 的一元一次方程，解答即可.【解析】解方程2 (x- 1) +3=x得：x= - 1将= - 1 代入 3 (%+帆)=m - 1得：3(- 1+m) m - 1 解得：i=l 2 习千相=6 -y,解得7=6.故选：B.【小结】考查了同解方程，本题解决的关键是能够求解关于X的方程，根据同解的定义建立方程.变式14已知关于X的方程3x-2 (x-Q =4x和W上一二=1有相同的解，求这个解. J48【分析】根据题意分别用含的式子表示出两个方程的

19、解，再求出。的值，进而可得结果.【解析】因为关于x的方程3x-2 (x£) =4x和=上一二=1有相同的解,J48所以3仅-2 (x-1) =4x的解为:x=竿,3x+a二=1的解为:x=9一2。所以齐答解得小 将。=(代入第二个方程，2 (3x+a) - (1 - 5x) =8, llx=9 - 2a,llx=9 - 2x 解得 x=【小结】本题考查了同解方程，解决本题的关键是根据题意先求出a的值.变式15我们把解相同的两个方程称为同解方程.例如：方程：2%=6与方程公=12的解都为x=3,所以 它们为同解方程.（1）若方程2x-3 = 11与关于x的方程4x+5 = 3k是同解方

20、程，求上的值: （2）若关于x的方程3x-2 （i-1） =4x和誓 =1是同解方程，求上的值；（3 ）若关于x的方程2x - 3a = b和4x+a+b = 3是同解方程，求14/+6aZr+8a+6b2的值.【分析】（1）根据方程2x-3 = ll与关于x的方程4x+5=3k是同解方程，即可求出k的值：（2）根据方程3x-2（x，）=4x和彳;一等 =1是同解方程，用含左的式子表示x,即可求左的值:（3）根据方程2x-3a = b2和4x+a+b2 = 3是同解方程，利用整体思想将得出的7什3川=3,代入到 14a26ab2+Sa-6b2 即可求值.【解析】（1）方程2%-3 = 11与关

21、于x的方程4x+5 = 3左是同解方程，2%-3 = 11,解得x=7,把x=7代入方程4升5 = 3匕 解得左=11,所以k的值为11：(2) 方程3x-2 (x-1) =4x雇等-上彩=1是同解方程,A3x-2 (x-1) =4x 解得，x=牛,3x+k l-5xgI、=1 解得，x= yr (27 - 2Ar),128212k19727一=一 (27 - 2k),解得上京；所以k的值为一；72188(3 ) ;方程2x-3a=扇和4"+后=3是同解方程，- 3=后即 4x - 6=2b2, ：.4x=6a+2b2,4升。+针=3,，6+2+。+乒=3,即7什3. = 3,14/

22、+6/+8。+6射 =2。(7+3必)+74+3+3记=6a+3+a+3Zr=7。+3.+3=6.所以 14a2+6ab2+Sa+6b2 的值为 6.【小结】本题考查了同解方程，解决本题的关键是理解题意进行准确计算.考点6解含绝对值的一元一次方程例题6 若关于x的方程x+2=2 (“LX)的解满足方程卜一者=1,则？的值是()1131S1A. 一或一B. -C. -D. 一个或一4 4442 4【分析】解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即 去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解.【解析】因为方程所以 X , = ± 1,解得

23、>=，或x=协，因为关于X的方程"2=2 (加-大)的解满足方程h一2 = 1,所以解方程x+2=2 (?-x)得，3%+2 m= x-,当A- 1时，nt=宇，当 a:时，m=131所以m的值为：一或一. 44故选：【小结】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，解决本题的关键是解含绝对值符号的一元一次方程要 根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论.变式16根据绝对值定义，若有m=4,则x=4或-4,若卜|=，则），=±必我们可以根据这样的结论，解 一些简单的绝对值方程，例如："+4尸5解：方程|2x+4|=5可化为：2x+4=5 或 2x+4=

24、 - 5当2升4=5时，则有：2%=1,所从x=；当2升4=-5时，则有：2x= -9：所以厂一搭故，方程|2x+4|=5的解为x= g或一毋（1）解方程：|3a-2|=4：（2）已知|n+计4|=16,求依+目的值：（3 ）在（2）的条件下，若a, b都是整数，则。？的最大值是 （直接写结果，不需要过程）.【分析】 解方程：|3.x-2|=4：（2）已知|a+计4|=16,求|。+6|的值：（3 ）在（2）的条件下，若°, %都是整数，则。b的最大值是【解析】（1）解方程：|3.x - 2|=43x - 2=4 或 3x - 2= - 4 解得 x=2 或 x= 一 号，故方程|3

25、x-2|=4的解为x=2, x= -1；（2）已知|。+6+4| = 16,4+6+4=16 或 a+b+4= - 16 解得 a+b=12 或 a+b= - 20所以|n+b| = 12 或 20,答：依坳的值为12或20；（3 ）在（2）的条件下，若a, b都是整数，a+b= 12 或 a+b= - 20,根据有理数乘法法则可知：当 =-10, b= - 10 时，取得最大值，最大值为100.答：。6的最大值是100.故答案为100.【小结】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程、等式的性质，解决本题的关键是理解绝对值的含义. 变式17先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3）.

26、例：解绝对值方程：|2x尸1.解：讨论：当时，原方程可化为2%=1,它的解是尸根当xVO时，原方程可化为-2%=1,它的解是二一葭原方程的解为和4问题（1）：依例题的解法，方程|点|=2的解是；问题（2）：尝试解绝对值方程：2卜-2尸6：问题（3）：在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：lx-2|+|x-1|=5.【分析】（1）分为两种情况：当时，当xVO时，去掉绝对值符号后求出即可.（2）分为两种情况：当x-220时，当x-2<0时，去掉绝对值符号后求出即可.（3）分为三种情况：当x-220,即在2时，当x-lWO,即xWl时，当lxV2时，去掉绝对 值符号后求出即可.【解析】（1）|

27、艮=2，当在0时，原方程可化为g=2,它的解是x=4：当x<0时，原方程可化为一%=2,它的解是x=-4；，原方程的解为x=4和-4,故答案为：x=4和-4.（2） 2卜-2| = 6,当x-220时，原方程可化为2 （x-2） =6,它的解是x=5：当x-2V0时，原方程可化为-2 （x-2） =6,它的解是x= - 1；原方程的解为x=5和-1.（3） x-2+x- 1|=5,当x-220,即x22时，原方程可化为x-2+x-1=5,它的解是x=4；当x-IWO,即xWl时，原方程可化为2-x+l-x=5,它的解是x=-l：当1VxV2时，原方程可化为2-x+x-1 = 5,此时方程

28、无解：，原方程的解为x=4和-1.【小结】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想.变式18阅读下列材料：我们知道N的几何意义是在数轴上数X对应的点与原点的距离：即k| = |x-O|：这个结论可以推广为kl-刈 表示在数轴上数xi，制对应点之间的距离.绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：例1：解方程恸=4.容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4,即该方程的x= ±4：例 2：解方程|x+l|+|x-2|=5.由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与-1和2的距离之和为5的点对应的x的值.在数轴上, -1和2

29、的距离为3,满足方程的x对应的点在2的右边或在-1的左边.若x对应的点在2的右边，如图1 可以看出x=3：同理，若x对应点在-1的左边，可得x=-2.所以原方程的解是x=3或x=-2.例3：解不等式卜-1|>3.在数轴上找出|x-1|=3的解，即到1的距离为3的点对应的数为-2, 4,如图2,在-2的左边或在4的右 边的x值就满足|x- 1|>3,所以卜-1|>3的解为xV -2或x>4.参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程产3|=5的解为:（2）方程- 2017|+|x+l|=2020 的解为；（3）若k+4|+|x-3|，ll,求x的取值范围.图L图2【分析】（1

30、）根据例1的方法，求出方程的解即可；（2）根据例2的方法，求出方程的解即可：（3）根据例3的方法，求出x的范围即可.【解析】（1）方程|x+3| = 5的解为x=2或x= - 8：（2）方程程 17|+|x+l|=2020 的解为x= -2 或x=2018；（3）卞+4|+卜-3|表示的几何意义是在数轴上分别与-4和3的点的距离之和，而-4与3之间的距离为7,当x在-4和3时之间，不存在x,使卜+4|+卜-3|>11成立, 当x在3的右边时，如图所示，易知当x>5时，满足K+4|+卜-3|211,当x在-4的左边时，如图所示，易知当xW-6时，满足产4|+卜-3会11,所以x的取值

31、范围是或xW - 6.产-6 -403 5【小结】此题考查了含绝对值的一元一次方程，弄清题意是解本题的关键.考点7与一元一次方程有关的新定义问题例题7 我们规定，若关于x的一元一次方程。x=b的解为x=b-°,则称该方程为“差解方程”.例如： 2x=4的解为x=2,且2=4-2,则该方程2x=4是差解方程.（1）判断：方程3x=4.5 差解方程（填“是”或“不是”）（2）若关于x的一元一次方程4.x=m+3是差解方程，求小的值.【分析】（1）检验方程的解是否是常数项与未知数的之差，进而进行判断便可：（2）先解含已知字母方程得出方程的解，再根据差解方程的定义列出关于小的方程，进行解答便

32、可.【解析】（1）方程%=4.5的解为x=L5=4.5-3,方程3x=4.5是差解方程，（2） 方程4x=m+3的解是x= 竽，又方程6=机+3是差解方程， m+3.7，=m+3 - 4, /. m=彳.4J【小结】本题是一个新定义题，主要考查了新定义，一元一次方程的解法与应用，关键是根据新定义，把 题目转化为常规题进行解答.变式19我们规定，若关于x的一元一次方程。x=b的解为a+4则称该方程为“合并式方程”，例如：3x= 斗的解为一机 且+=36，则该方程3k 6是合并式方程.（1）判断4=1是否是合并式方程并说明理由： 2（2）若关于x的一元一次方程5x=1+l是合并式方程，求加的值.【

33、分析】（1）求出方程的解，再根据合并式方程的意义得出即可：（2）根据合并式方程得出关于7的方程，求出方程的解即可.【解析】（1）v=l, ：,x=2,.弓+1W2,不是合并式方程；（2） 关于x的一元一次方程5x=?+l是合并式方程，.*.5+中+1= ",1，解得： 加=一等.【小结】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解合并式方程的意义是解此题的关键.变式20定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解，则称这个方程为 妙解方程.例如：方程2x+4=0中，2-4= -2,方程的解为x=-2,则方程2x+4=0为妙解方程.请根据 上述定义解答下列问题：（1

34、）方程2x+3=0是妙解方程吗？试说明理由.（2）已知关于x的一元一次方程3.r加=0是妙解方程.求加的值.（3）已知关于x的一元一次方程2升a-6=0是妙解方程，并且它的解是x=6.求代数式曲的值.【分析】（1）根据题中的新定义判断即可；（2）利用题中的新定义确定出7的值即可：（3）根据题中的新定义确定出。与6的值，即可求出所求.【解析】（1）方程2什3=0中，一次项系数与常数项的差为：2-3=-1,方程的解为x=-L5, - 1.5,.方程2x+3=0不是妙解方程：（2）升加二。是妙解方程，它的解是x=3 -加，.*.3 （3 - /w） +5=0,解得：胴=4.5：（3） 2r+a-b=

35、0是妙解方程，它的解是x=2 - Ca-b）,.2 - （a-b） =b,解得：a=2,代入方程得：2H2-Q0,得6=-2.-4.【小结】此题考查了一元一次方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关犍.变式21定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”.如方程2x=4和3x+6=0为“兄弟方程”.（1）若关于x的方程5什加=0与方程2x-4=x+l是“兄弟方程”，求加的值: （2）若两个“兄弟方程”的两个解的差为8,其中一个解为，求的值；（3）若关于x的方程2x+3刑-2=0和3x - 5+4=0是“兄弟方程”，求这两个方程的解.【分析】（1）根据新定义运算法则解

36、答：（2）根据“兄弟方程”的定义和已知条件得到：-（-）=8或-“ = 8,解方程即可: （3）求得方程2什3肌-2=0和3x-5w+4=0解，然后由“兄弟方程”的定义解答.【解析】（1）方程2x-4=x+l的解为x=5,将x= - 5代入方程5x+w = 0得m=25； （2）另一解为一乩则 -（-）=8 或- =8,”=4 或 =-4； （3）方程2x+3次-2=0的解为 =三臀， 方程3x - 5帆+4=0的解为 =雪土-3m+2 5m-4 则一+丁=。,解得m=2.所以，两解分别为-2和2.【小结】考查了一元一次方程的解的定义，解题的关键是掌握“兄弟方程”的定义.考点8 一元一次方程的

37、应用（数字问题）例题8 一个两位数，十位数字是个位数字的两倍、将这个两位数的十位数字与个位数字对调后得到的两 位数比原来的两位数小27,求这个两位数.【分析】设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为2x,原两位数为（10X2x+x）,十位数字与个位数字 对调后的数为（10x+2x）,根据原数比十位数字与个位数字对调后得到的两位数大27,即可得出关于x的 一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（10X2x+x）中即可求出结论.【解析】设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为2x,原两位数为（10X2a+x）,十位数字与个位数字 对调后的数为（10x+2x）,依题意，得：（10X2x+x）

38、- （10x+2x） =27,解得：x=3,.2x=6, A10X2x+x=63.答：这个两位数为63.【小结】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.变式22 一个三位数，十位数字是0,个位数字是百位数字的2倍，如果将这个三位数的个位数字与百位数 字调换位置得到一个新的三位数，则这个新的三位数比原三位数的2倍少9,设原三位数的百位数字是x：（1）原三位数可表示为，新三位数可表示为：（2）列方程求解原三位数.【分析】（1）设原三位数的百位数字是、，则个位数字是2%,根据三位数=百位上的数字X 100+十位上的 数字X 10十个位上的数字即可表示出原三位数：

39、根据题意得出新的三位数的个位数字是x,百位数字是2x, 进而表示出新三位数：（2）根据新的三位数比原三位数的2倍少9列出方程，求解即可.【解析】（1）设原三位数的百位数字是x，则个位数字是2x,又十位数字是0，原三位数可表示为100x+2x=102x.新的三位数的个位数字是x,百位数字是2x，十位数字是0,新三位数可表示为1002x+x=201x.故答案为102x, 201x：（2 ）由题意，得20b=2102x-9,解得x=3.则 102X3=306.答：原三位数为306.【小结】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，掌握三位数的表示方法是解题的关键.变式23小明参加启秀期末考试时的考场座

40、位号是由四个数字组成的，这四个数字组成的四位数有如下特 征：（1）它的千位数字为2；（2）把千位上的数字2向右移动，使其成为个位数字，那么所得的新数比原数的2倍少1478,求小明的考 场座位号.【分析】根据题意，可以列出相应的一元一次方程，从而可以求得原来的数，本题得以解决.【解析】设原来数字为x，2x- 1478= （x- 2000） X 10+2 解得，x=2315答：小明的考场号是2315.【小结】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应 的方程.变式24 一个五位数，左边三位数是右边两位数的5倍，如果把右边二位数移到前而，则新的五位数比原 五

41、位数的2倍多75,求原来的五位数.(用方程解)【分析】可设右边两位数是、，则左边三位数是5x,根据等量关系：如果把右边二位数移到前而，则新的五 位数比原五位数的2倍多75,列出方程求解即可.【解析】设右边两位数是x，则左边三位数是5x,依题意有1000a+5a=2 (500a-+x) +75,解得x=25,5x=125,故原来的五位数是12525.【小结】考查了一元一次方程的应用，此题关键是掌握数的表示方法，把右边二位数移到前而，相当于把 两位数扩大了 1000倍.考点9 一元一次方程的应用(年龄问题)例题9 今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年前父亲的年龄比儿子年龄的4倍还大1岁，设今年儿子

42、x 岁，则可列方程为()A. 4x+l+5 = 3 (x+5 )B. 3x - 5=4 (x - 5) +1C. 3x+5=4 (x+5) +1D. 4x- 5 = 3 (x-5 ) +1【分析】设今年儿子X岁，根据五年前父亲的年龄不变，即可得出关于X的一元一次方程，此题得解.【解析】设今年儿子X岁，依题意，得：3x-5=4(X-5) +1.【小结】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题关键.变式25爷爷快到八十大寿了，小莉想在日历上把这一天圈起来，但不知道是哪一天，于是便去问爸爸， 爸爸笑笑说：”在日历上，那一天的上下左右4个日期的和正好等于那天爷爷

43、的年龄”.那么小莉的爷爷 的生日是在()A. 16 号B. 18 号C. 20 号D. 22 号【分析】要求小莉的爷爷的生日，就要明确日历上“上下左右4个日期”的排布方法.依此列方程求解.【解析】设那一天是x,则左日期=x-l,右日期=x+l,上日期=x-7,下日期=x+7,依题意得 x - l+x+1+x - 7+a-+7=80 解得：x=20【小结】此题关键是弄准日历的规律，知道左右上下的规律，然后依此列方程.变式26今年小李的年龄是他爷爷年龄的五分之一，小李发现：12年之后，他的年龄变成爷爷的年龄三分 之一.求小李爷爷今年的年龄.【分析】设爷爷今年的年龄是x岁，则今年小李的年龄是g岁，根

44、据12年之后小李的年龄变成爷爷的年龄 三分之一，即可得出关于X的一元一次方程，解之即可得出结论.【解析】设爷爷今年的年龄是X岁，则今年小李的年龄是9岁，依题意，得：-x+12= i （x+12） S 、解得：x=60.答：爷爷今年60岁.【小结】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.变式27古希腊数学家丢番图（公元34世纪）的墓碑上记栽着：“他生命的六分之一是幸福的童年：再 活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须：他结了婚，又度过了一生的七分之一：再过五年，他 有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了

45、四年, 也与世长辞了.”根据以上信息，请你算出：（1）丢番图的寿命:（2）丢番图开始当爸爸时的年龄；（3）儿子死时丢番图的年龄.【分析】设丢番图的寿命为x岁，则根据题中的描述他的年龄=3的童年+生命的自+%+5年+儿子的年 龄+4年，可列出方程，即可求解.【解析】设丢番图的寿命为x岁，由题意得：扮+%+5+%+4=x,解得：x=84,而:X84+告x84+；x84+5 = 38,即他38岁时有了儿子. QJL /他儿子活了4=42岁. 284 4=80 岁.答：丢番图的寿命是84岁：丢番图开始当爸爸时的年龄是38；儿子死时丢番图的年龄是80岁.【小结】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要

46、读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出丢 番图的年龄的表达式，根据等量关系，列出方程再求解.考点10 元一次方程的应用（折扣问题）例题10某书店把一本新书按标价的八折出售，仍可获利10%，若该书的进价为24元，则标价为（）A. 30 元B. 31 元C. 32 元D. 33 元【分析】设这本新书的标价为x元，根据利润=售价-进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得 出结论.【解析】设这本新书的标价为x元，依题意得:0.8%-24=24X10%,解得：x=33.【小结】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.变式28某商店以每件120元的价格卖出两件

47、衣服，其中一件盈利20%,另一件亏损20%,那么商店卖出 这两件衣服总的是（）A.亏损10元B.不嬴不亏C.亏损16元 D.盈利10元【分析】设盈利的衣服的进价为x元，亏损的衣服的进价为y元，根据利润=售价-进价，即可得出关于x （y）的一元一次方程，解之即可得出x （v）的值，再将两件衣服的利润相加即可得出结论.【解析】设盈利的衣服的进价为x元，亏损的衣服的进价为y元，依题意，得：120 -x=20%x, 120-y= - 20%y,解得：x=100, y=150,.,.120-x+120 -y= - 10.故选：，4.【小结】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程

48、是解题的关键.变式29由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价 的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为（）A. 230 元B. 250 元C. 270 元D. 300 元【分析】设该商品的原售价为x元，根据成本不变列出方程，求出方程的解即可得到结果.【解析】设该商品的原售价为x元，根据题意得：75%x+25=90%x - 20,解得：x=300,则该商品的原售价为300元.【小结】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键.变式30甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服 装

49、按40%的利润率定价.在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店老板共获利157 元.甲、乙两件服装的成本各为多少元？【分析】设甲服装的成本是x元，则乙服装的成本是（500 -x）元，根据“甲、乙两件服装共获利157元”， 列方程解决问题.【解析】设甲服装的成本是x元，则乙服装的成本是（500 -%）元，依题意有0.9X （1+50%） A-4-0.9X （1+40%） （500 -x） - 500=157,解得 x=300,500 -a=200.答：甲服装的成本为300元，乙服装的成本为200元.【小结】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思、，根据题目给出的条件

50、，找出合适的 等量关系列出方程，再求解.考点11一元一次方程的应用（利润问题）例题11某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1000只，这两种行能灯的进价、售价如下表：进价（元/只）售价（元/只）甲型2530乙型4560（1）如果进货款恰好为37000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？（2）超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为20%,请问乙型节能灯需打几折？【分析】（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1000 -x）只，根据甲乙两种灯的总进价为 37000元列出一元一次方程，解方程即可：（2）设乙型节能灯需打。折，根据利

51、润=售价-进价列出。的一元一次方程，求出。的值即可.【解析】（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型汽能灯（1000 -X）只，由题意，得 25x+45 （1000 -x） =37000,解得：x=400购进乙型节能灯1000 -a=1000 -400 = 600 （只）答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯600只进货款恰好为37000元.（2）设乙型节能灯需打。折，0.1 X60<7 - 45=45X20%,解得。=9,答：乙型节能灯需打9折.【小结】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知 数，列出方程.变式31武汉大洋百货经销甲、

52、乙两种服装，甲种服装每件进价500元，售价800元：乙种服装商品每件 售价1200元,可盈利50%.（1）每件甲种服装利润率为.乙种服装每件进价为 元：（2）若该商场同时购进甲、乙两种服装共40件，恰好总进价用去27500元，求商场销售完这批服装，共 盈利多少？（3）在元旦当天，武汉大洋百货实行“满1000元减500元的优惠”（比如：某顾客购物1200元，他只需 付款700元）.到了晚上八点后，又推出“先打折”，再参与“满1000元减500元”的活动.张先生买了 一件标价为3200元的羽绒服，张先生发现竟然比没打折前多付了 20元钱问大洋百货商场晚上八点后推出 的活动是先打多少折之后再参加活动

53、？【分析】（1）根据利润率=利润砺X 100%可求出每件甲种服装利润率，由乙种服装商品每件售价1200元和盈利50%可求出进价:（2）求出甲、乙两种服装各进的件数，则可求出答案；（3）设打了y折，由题意可列出方程，则可得出答案.【解析】（1）甲种服装每件进价500元，售价800元，每件甲种服装利润率为'°。X 100% =60%. SOO乙种服装商品每件售价1200元，可盈利50%.，乙种服装每件进价为兰二=800 （元），1+50%故答案为:60%, 800：（2）设甲种服装进了 x件,则乙种服装进了 （40-x）件，由题意得，500.Y+800 （40-x） =27500

54、,解得：x=15.商场销售完这批服装，共盈利15X （800 - 500） +25X （1200 - 800） =14500 （元）.答：商场销售完这批服装，共盈利14500元.（3）设打了y折之后再参加活动.03200 X - 2 X 500 =3200 - 3 X 500+20.解得：v=8.5.3200 X-500 = 3200-3 x 500 + 20,解得尸8 （不合题意，舍去）.3200X务=3200-3 X 500 + 20,解得y=5.9 （不合题意，舍去）.答：先打八五折再参加活动.【小结】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合

55、适的等量关系列出方程，再求解.变式32平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价98元，利润率为40%：乙种商品每件进价80 元，售价128元.（1）甲种商品每件进价为 元，每件乙种商品利润率为.（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为3800元，求购进甲、乙两种商品各多少件？（3）在“元旦”期间，该商场只对乙种商品进行如下的优惠促销活动：按下表优惠条件，打折前一次性购物总金额优惠措施少于等于480元不优惠超过480元，但不超过680元 其中480元不打折，超过480元的部分给予6折优惠超过680元按购物总额给予7.5折优惠若小华一次性购买乙种商品实际付款576元，求小华在该商场购买