必修5数列知识点总结及题型归纳

1、数列一、数列的概念(1)数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列;(2)通项公式的定义：如果数列 an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如：1 , 2 , 3 , 4, 5 , 办.1111：1,一,一 ,一 ,一2 3 4 5(3)数列的函数特征与图象表示：456789序号：123456项：456789(4)数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6,(

2、2)10, 9, 8, 7, 6, 5, 1, 0, 1, 0, 1, 0,(4)a, a, a, a, a,-S (n 1)Sn Sm(n>2)(5)数列an的前n项和Sn与通项an的关系：an例：已知数列an的前n项和Sn 2n2 3,求数列an的通项公式二、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为an an 1 d(n 2)或 an 1 an d(n 1)。例：等差数列an 2n 1 , an an 1 题型二、等差数列的通项公式：

3、an a1 (n 1)d ；等差数列(通常可称为 AP数列)的单调性：d 0为递增数列，d 0为常数列，d 0为递减数列。例：1.已知等差数列 an中，a7 a9 16, a4 1,则a12等于()A. 15 B. 30C. 31 D. 642.an是首项a1 1,公差d 3的等差数列，如果an 2005,则序号n等于(A) 667(B) 668(C) 669(D) 670题型三、等差中项的概念:定义：如果a, A, b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中 Aa, A, b成等差数列A 土上即：2an12an an 2(2anan m an m)例：1.设an是公差为正数的等差数列，若

4、aa2a3 15 , a1a2a3 80,贝U a11a12a13A. 120B. 105C.90D. 752.设数列an是单调递增的等差数列，前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是（）A. 1B.2C.4D.8题型四、等差数列的性质:(1)在等差数列an中,从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项;(2)在等差数列an中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列；(3)在等差数列an中,对任意 m , n N , an am (n m)d , dan am / (m n);n m(4)在等差数列an中,an a paq ；题型五、等差数列的前n和的求和公式：Snn(a an)na1n(n

5、 1)d2(a1d) no2(Sn An2 Bn(A,B 为常数)an是等差数列递推公式：Sn(a an)n(am an (m 1) ) n例：1.如果等差数列(A) 142.设Sn是等差数列A. 133.设等差数列斗an中,(B)a的前B. 35a321a4 a5那么 aa2. ay(C) 28(D) 35n项和，已知11,则Sy等于（C. 49D. 63的前n项和为Sn ,若& 72，则a2a4a94.若一个等差数列前 3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为A.13 项B.12 项C.11 项390,则这个数列有（）D.10 项5.设等差数列 & 的前n项和为

6、Sn,若% 5a3则S9S56.已知an数列是等差数列，a10 10,其前10项的和S1070,则其公差d等于（）2A. 一31C.-32D.37.设 an为等差数列,S为数列 an的前n项和，已知 S7=7, Si5=75, Tn为数列Sn的前n项和，求Tn。题型六.对与一个等差数列，Sn, S2n Sn,S3n S2 n仍成等差数列。例：1.等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为（）A.130B.170C.210D.2602 .一个等差数列前 n项的和为48,前2n项的和为60,则前3n项的和为3 .设Sn为等差数列an的前n项和，S414,S10S730,贝

7、|JS9=4. （06全国II）设Sn是等差数列 an的前Sq1 一 Sn项和，右一=一，则=S63S123A. 一10C.D.题型七判断或证明一个数列是等差数列的方法:定义法:an 1 and（常数）（nN） a0是等差数列中项法:2an 1 an an 2(n N ) an是等差数列通项公式法:ankn b （k,b为常数）an是等差数列前n项和公式法：Sn An2 Bn（A, B为常数） an是等差数列例：1.已知一个数列an的前n项和sn 2n2 4,则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断22 .已知一个数列an的前n项和Sn 2n ,则数

8、列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3 .数列 an 满足 a二8, a4 2,且 an 2 2an 1 an 0 （n N ）求数列an的通项公式；题型八.数列最值（1）4 0, d 0时，Sn有最大值；a1 0, d 0时，Sn有最小值；2（2） Sn取值的求法：右已知Sn , Sn的取值可求二次函数 Sn an bn的取值；可用二次函数最值的求法（nN）；或者求出an中的正、负分界项，即:,an 0an右已知an,则Sn最值时n的值(n N )可如下确定或an i 0an i例：1 .等差数列 an中，ai 0, S9 S12,则前 项的和最大

9、。2 .设等差数列 an的前n项和为Sn,已知 a3 12, S12 0, S3 0求出公差d的范围，指出Si, S2, , S12中哪一个值最大，并说明理由。3 .已知an是等差数列，其中 a131,公差d 8。(1)数列an从哪一项开始小于 0?(2)求数列an前n项和的最大值，并求出对应 n的值.题型九.利用anS1 (n 1)求通项.nSn Sn 1 (n 2)21 .已知数列 an 的刖n项和 Snn 4n 1,则2 .设数列an的前n项和为S=2n2,求数列an的通项公式；13 .已知数列 an 中，a13,刖 n和 Sn (n 1)(an 1) 12求证：数列 an是等差数列求数

10、列an的通项公式24 .设数列an的刖n项和Sn n ,则a8的值为()(A) 15(B) 16(C) 49(D) 64等比数列等比数列定义：一、递推关系与通项公式递推关系：an 1 anq通项公式：an a1 qn 1推广：an am qn m1 .在等比数列 an中，a14,q 2 ,则an 2 .在等比数列 an中，a22, a5 54,贝Ua8=3 .在各项都为正数的等比数列 an中，首项ai 3,前三项和为21,则a3 a4注A 33B 72C 84D 189二、等比中项：若三个数 a,b,c成等比数列，则称 b为a与c的等比中项，且为 bJOB,注：b2 ac是成等比数列的必要而不

11、充分条件.例：1.2 、,3和2 、3的等比中项为()(A)1(B) 1(C) 1(D)2三、等比数列的基本性质，(1) (1)若m n p q,则 am an ap aq (其中 m,n, p,q N )(2) qn m a-，an2 an m an m (n N ) am(3) an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.(4) an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列.例：1 .在等比数列 an中，a1和a10是方程2x2 5x 1 0的两个根，则a4 a7 ()(5) ,2_11(A) -(B)(C)(D)-22222 .在等比数列 an 中，a1 a6 33, a

12、3a4 32, an an 1求an若 Tn lg a lga2lgan,求Tn3 .等比数列an的各项为正数，且a5a6a4a718,则 log3alog3a2Llog3a10()A. 12 B. 10 C. 8 D. 2+log35nai(q 1)四、等比数列的前 n项和，Sna(1 qn)a anq(q 1)1 q 1 q例：1.已知等比数列an的首相a15,公比q 2,则其前n项和Sn 2 .设等比数列an的前n项和为Sn ,已a26, 6a1 a3 30 ,求an和Sn3 .设 f(n) 2 24 27 210 L23n 10(n N),则 f(n)等于()2 n2 n 12 n 3

13、2 n 4A. -(81) B. y (81) C. -(81) D. -(81)五.等比数列的前n项和的性质若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*,那么Sk ,S2kSk，S3kS2k成等比数列例：1.一个等比数列前 n项的和为48,前2 n项的和为60,则前3 n项的和为()A. 83B. 108C. 75 D. 632.已知数列an是等比数列，且 Sm10, S2m30,则S3m 6 .等比数列的判定法a(1)定乂法：q (常数)an为等比数列；an2 中项法：an 1an an 2(an 0) an为等比数列；(3)通项公式法：an k qn (k, q为常数)an为等比数列

14、；(4)前n项和yt： Sn k(1 qn) (k,q为常数)an为等比数列。Sn k kqn (k,q为常数)an为等比数列。t § (n 1)7 .利用an求通项.S Sn 1 (n 2)1 一.一一.例：1.数列an的刖n项和为Sn,且a1=1,an1- Sn ,n=1, 2,3, ,求a2,a3,a4的值及数列3an的通项公式.),证明数列an1是2.已知数列 an的首项a1 5,前n项和为Sn,且Sn1 Sn n 5(n N等比数列.求数列通项公式方法1 1).公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列an满足：a3 7,a5 a7 26,求an；

15、2 .已知数列an满足a2,an an 11(n 1),求数列an的通项公式;3 .数列an满足a =8, a4 2,且an 2 2an 1 an 0 (n N ),求数列 an的通项公式;一八114 .已知数列an满足a12, 2,求数列an的通项公式;an 1 a n.一 一 .115 .设数列an满足a10且 1,求an的通项公式1 a n 11 a n6 .已知数列an满足a2, an 3an 1(n 1),求数列an的通项公式;27 .已知数列为满足a12, a24且an 2 anan 1n N),求数列an的通项公式;8 .已知数列an满足a12,且 an 1 5n 12(an 5

16、n) ( nN ),求数列 an的通项公式;9 .已知数列an满足a2,且 an 1 5 2n 1 2 3(an 5 2n2) ( n N ),求数列an的通项公式;(2)累加法1、累加法 适用于：an 1 an f (n)a2 af (1)若 an 1 an f (n) (n 2),则a3 a2f L Lan 1 an f(n)两边分别相加得an 1 aif (n)1例：1.已知数列an满足a1,21an 1 an 2，求数列an的通项公式。4n2 12.已知数列an满足an 1an 2n 1, a1 1 ,求数列an的通项公式。3.已知数列an满足an 1an 2 3n 1, a13 ,求

17、数列an的通项公式。4.设数列an满足a12n 1-.-2 , an 1 an 3 2,求数列an的通项公式(3)累乘法适用于： an 1 f (n)an口an 1石an.a2f(n),则一a1aq f(1), -3a2f(2),LLT f(n)例：1.已知数列an满足an2(n1)5n an,a13,求数列an的通项公式。2 .已知数列an满足a1ann，求 an。3 .已知a13,an 13n 1；一；an3n 2(n1),求 an。(4)待定系数法适用于an 1 qanf(n)解题基本步骤:1、确定f (n)2、设等比数列an3、列出关系式an 11f(n 1)2an2 f (n)4、比

18、较系数求i, 5、解得数列 an 1f (n)的通项公式6、解得数列 an的通项公式例：1.已知数列an中，ai 1,an 2an 1 1(n 2),求数列 an的通项公式。2 .在数列 an中，若a1 1,烝12街 3(n 1),则该数列的通项 an 3 .已知数列an满足an 1 2an 3 5n, a16 ,求数列 a。的通项公式。解：设 an 1 x 5n 1 2(an x 5n)一,51,1、n14 .已知数列an 中，a1 一，an1 -an(-),求 an632n 15.已知数列an满足an 1 2an 4 3 , a1 1,求数列 an的通项公式。(5)递推公式中既有 Sn又有

19、an. 一 ,S1,n 1把已知关系通过an转化为数列 an或Sn的递推关系，然后采用相应的方法求解。Sn Sn 1，n 21 .1 .数列an的刖 n 项和为Sn,且a1=1, an 1- Sn, n=1, 2,3,求a2,a3,a4的值及数列an3的通项公式.12.已知数列 an 中，a1 3,刖 n和 Sn -(n 1)(an 1) 12求证：数列 an是等差数列求数列 an的通项公式1 ,八、一,3.已知数列an的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn (an 1)(小 2),且a2,a4,a9成等比数列，6求数列an的通项公式。(6)倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项2a

20、 例：1.已知数列an满足an 1 ,a1 1 ,求数列an的通项公式。an 2数列求和1.直接用等差、等比数列的求和公式求和。Snn(aian)2naiSnnai(q 1)ai (1 qn)/ 小 公比含字母时一定要讨论一 (q 1)i q例：1。已知等差数列an满足41, a23 ,求前n项和Sn2 .已知等比数列an满足ai 1, a23,求前n项和Sn3 .设 f(n) 2 24 27 210 L 23n 10(n N),则 f(n)等于()2 n2 n 12 n 32n 4A.(81) B. (81)C.(81) D.(81)77772.错位相减法求和：如： an等差，bn等比，求a1bl a2b2anbn的和.2n