分析力学习题精选.

1、第15章虚位移原理解题的一般步骤及应注意的问题1. 解题的一般步骤(1) 根据题意，分清所分析的问题是属于哪一类问题 求平衡条件； 求约束反力； 求桁架内力。(2) 分析约束的性质，画主动力的受力图. 系统以外的物体对它的作用力； 非理想约束的约束反力； 因解除约束而“转化”为主动力的约束反力或内力。(3) 确定系统的自由度，应包括因解除约束而增加的自由度。选择合适的坐标做广义坐 标。(4) 给出系统的虚位移，采用如下方法计算主动力作用点的虚位移与广义坐标虚位移间的 关系： 几何法：运用运动学中分析速度的方法，进行计算。 分析法：先选一静坐标系，用广义坐标写出主动力(力矩)作用点的坐标分析表达

2、式，然后再对广义坐标取变分，进行计算。(5) 建立虚功方程，计算各主动力在给定虚位移中的虚功，建立虚功方程，确定平衡条件， 求出待求的参量。2应注意的问题1应用虚位移原理，一般都是以整个系统为研究对象，不宜选取分离体。2计算弹性力在虚位移中的虚功时，弹性力的大小与虚位移的大小无关。3在计算转动刚体(或平面运动刚体)上的主动力的虚功时，如果把主动力的虚功转化为主动力对转动轴(或瞬时转动轴)之力矩的虚功，可能简便些。三、典型例题分析例1图示曲柄连杆机构，在曲柄OA上作用一力偶矩为 M的力偶，欲使机构在图示位置保 持平衡，试求加于滑块 B上的水平力P应为多大？已知OA=a, AB=b,在图示位置 A

3、B与水解：这是属于求主动力的平衡条件的问题。作用于系统和主动力有P和M。系统受完整约束，有一个自由度，当机构有虚位移时，OA作定轴转动，曲柄AE作平面运动，滑块E 作平动。令OA杆的虚位移为 ,则A点虚位移为 rA, B点虚位移为rB, AB杆的虚位移为 绕瞬心C的微小转角 ,机构的虚位移如图。根据虚位移原理得：P B-M =0(1)155 / 10word.ACr B BCBC aAC rA3代入（1）式得:将式（1）代入（2）得FN Ftan215-3 挖土机挖掘部分示意如图。支臂DEF不动，A、伸缩时可通过连杆 AB使挖斗BFC绕F转动，EA = FB = a。当I 此时油缸推力为 F。

4、不计构件重量，求此时挖斗可克服的最大阻力矩 解：由虚功原理：FCoS I rA M rB旦aA、B的虚位移向AB投影rA rBta n 2式中(2) rA cos 2(3)rBSin式（2），（ 3）代入（1）得 FCOS I tan 2g1I 230 , M Fa Sin 2, M Fa215-5 在图示机构中，当曲柄 OC绕O轴摆动时, 直导槽K内移动。已知： OC = a，OK = l ,在点 BA作用一力F2。求机构平衡时 F2与F1的关系。 解：用解析法解，选取 为广义坐标，则滑块 AB、D、E、F为铰链，液压油缸 AD30 时杆 AE DF ，rB(1)A沿曲柄滑动,A滑块C处垂直

5、于曲柄作用一力的约束方程从而带动杆 AB在铅FI;而在点B沿.3Ma15-1图示曲柄式压缩机的销钉 B上作用有水平力 F ,此力位于平面 ABC内。作用线平分 ABC。设AB = BC， ABC 2 ,各处摩擦及杆重不计，求对物体的压缩力。解：令B有虚位移rB AB ,而C有铅直向上的虚位移 rC ,如图（a）。将3rB及3rC向BC方向投影，为简单起见，以 rB表示rB的绝对值rB ,以g表示rC ,则有 rC cos(90) gcos(2 90 )即B亠(1) rC2 cos由虚位移原理得F rB SinFN rC0BFN( 2)rCF SinyA l tan2(1)yA l SeC 由虚

6、位称原理(F1a) F2 yA0 (2)把式(1)代入(2)得F1a F2l sec2 0因0 ,于是有F1aF2Isec20故 FI 趙"7圍a cos15-7图示滑套D套在光滑直杆 AB上，并带动杆CD在铅直滑道上滑动， 已知 0时弹 簧为原长，弹簧刚性系数为5kNm。求在任意位置平衡时，应加多大的力偶矩M ?AB AD (0.6 -03)，CoS解：解除弹簧约束，代之以弹性力F及F。已知0时弹簧原长为0.3 m,在任意 角时，弹簧DB0 3此时弹簧的缩短量为 0.3 DB(-03 0.3) Ocoscos取X轴沿AB杆，设D点沿杆的坐标为XD ,而选取程为0.3。0.3s in

7、QSXD,D2coscos另外有XB =常量，XB00 3故弹性力F Fk(-03 0.3)由虚位移原理(F)3xd M 0把F及XD的表达式代入上式得k(0.3cos0.3)0.3Sin2cos1M k 0.3(1)cos把k = 5000 N/m 代入求得0.3si n2cosSin (1 cos )M 450cos为广义坐标，则滑块 D的约束方 LJ- ? Itl15-9 在图示机构中，曲柄AB和连杆BC为均质杆，具有相同的长度和重量 W1o滑块C的 重量为 W2,可沿倾角为 的导轨AD滑动。设约束都是理想的，求系统在铅垂面内的平衡解：取 为广义坐标，另作坐标系AXy,设AB = BC

8、= l因y 占Si n()2y2 AC Sin sin(2)2l cos Sin ()2ycAC Sin2l CoS Sin对坐标的变分:y1cos(2)y22lsi nSincos(2yc-2lsin Sin 由虚位移原理W1 y1W1 y2即W-cos()22lsin Sin因0 ,故有W1丄 cos()22l SinSin即W2cos cos2si nSinW12 si nSin故 tanW2 yc0-Cos(2)2W2lsin Sin -cos(2)2W2lsin Sin0-cot cot21W cot2(W W2)15-11图示均质杆AB长为21 ,一端靠在光滑的铅直墙壁上，另一端放

9、在固定光滑曲面DE上。欲使细杆能静止在铅直平面的任意位置，问曲面的曲线DE的形式应是怎样的？解：作坐标系DXy，W 0 yc杆在铅直位置时杆在任意位置时即 l由于杆AB0，故yc0 = l ， yc = yA +只受主动力W作用,yc =常量yc = llcos ，yA I cosyA I (1 cosXA2l Sin消去得DE曲线方程2XA412(l yA)2l2由方程知，DE曲线为中心在（0, I）长短半轴分别为 系DXy向上平移I距离，则DE曲线方程与书中答案一致。根据虚位移原理Wyc0B题 IS-Ilffl2l和I的椭圆的一部分。如坐标15-13 半径为R的滚子放在粗糙水平面上，连杆A

10、B的两端分别与轮缘上的 A点和滑块B铰接。现在滚子上施加矩为M的力偶，在滑块上施加力F ,使系统于图示位置处平衡。设力F为已知，忽略滚动摩阻和各构件的重量，不计滑块和各铰链处的摩擦，试求力偶矩M以及滚子与地面间的摩擦力 F SO解：作功力M , F ,虚功方程为：sAM A F sB 02RSA , SB 向 AB 投影：SA S COS45157 / 10word.V 15M 2 3Sb( 2R) F SB 0 2M = 2RFFX 0,FS= F15-15 试用虚位移原理求图示桁架中杆3的内力。解：将BD杆解除代之以力F及F。令C点有虚位移rc ,则B点必有虚位移rBD点必有虚位移r0 ,

11、如图（a）。由虚位移原理F rBF rD CoS 90FprD05drB(1)CB杆的瞬心在E点故AD昵AC及EC讥EB所以rDrDrc66232rBrc讥.62326由式（1）、（ 2）得FF FP （拉力）由图（a）可见，ACD框的转轴在 A点,1 （ 2）例15-4在水平面内运动的行星齿轮机构如图15-4所示。均质系杆 OA的质量为m,它可167 / 10word.绕端点0转动，另一端装有质量为 m,半径为r的均质小齿轮，小齿轮沿半为R的固定大齿轮纯滚动。当系杆受力偶 M的作用时，试求系杆的角加速度。图 15-4【解】机构具有一个自由度，选系杆的转角为广义坐标。设系杆对 O轴的转动惯量为

12、J。，小齿轮对其质心 A的转动惯量为Ja，小齿轮的绝对角速度为1Si，则A点的速度为小齿轮的角速度系统的动能等于系杆的动能和小齿轮的动能之和，即1 1 2 2-x-ffl1(+r) +孰浮)审=<2ml+ 9 衍)(J?十产尸0与广义坐标对应的广义力将上两式代入拉氏方程(2ffl3 + SjH3)(J? + r)a= M6YBm P2a 2三铰拱如图所示,求支座B的约束反力。AB解：(1)求支座B的铅垂反力,解除支座B的铅垂约束，代之约束反力Yb ,如图所示，该系统有狠(刼1 + 9%)(7?亠尸严例题2个自由度：AC绕A定轴转动，BC做平面运动,瞬心为A,画虚位移图如图。利用虚位移图，

13、rc =(AC i =(AC 21 = 2 =利用虚位移图计算虚功W(m) = m 1W(P) = aP 2由虚位移原理，m + aP -2aYB = 0YBm P2a 2P,解除支座B的水平约束，代之约束反力XB ,如图所示,该系统有一个=(IC)P(2)求支座B的水平反力 自由度：AC绕A定轴转动，BC做平面运动，瞬心为I,画虚位移图如图。 利用虚位移图得：rc = (AC)1W(XB) = 2 aXB利用虚位移图计算虚功2由虚位移原理得：W(m) = m i W(P) = aP 21+ aP 2+2aXB 2=0XBm P2a 22 =由虚位移原理得：1=1.25 1rB=(AB)1 =

14、(BI)2MA + M 3-2Pi1 + (- P2 -2 MA=7.685kN?m(2)求固定端支座A的水平反力，1.22+ P2解除固定端约束于A端，只能水平方向自由滑动，如图所示 均布荷载的合力Q。该系统有一个自由度 心为I。画虚位移图如图。由虚位移图得：rA=1.62)-Q 1=0,代之以水平反力XA和滑块A,该滑块固结 ,作用在系统上的主动力有 XA、M、P1、P2以及 :AB做平动，CD做定轴转动，BC做平面运动，瞬BI= 8，ICCD1由虚位移原理得解：(1)求固定端支座A的反力偶,解除固定端约束，代之反力偶MA和固定铰支座A,如 图所示，作用在系统上的主动力有 Ma、M、Pi、

15、P2以及均布荷载的合力 Q。该系统有一 个自由度：AC绕A定轴转动,BC做平面运动,瞬心为I,画虚位移图如图。利用虚位移图得：ABB31XArAQrAP22 1PBIIM22（3）求固定端支座A的铅直方向的反力Ya,解除固定端约束,代之以铅直反力YA和滑块A,解得：XA=17.547kN由虚位移原理得YA= 16.495kN该滑块固结于A端，只能铅直方向自由滑动，如图所示 ，作用在系统上的主动力有 Ya、M、Pi、P2以及均布荷载的合力 Q。该系统有一个自由度：AB做平动，BC做平面运动， 瞬 心在C点。CD不动。画虚位移图如图。例4求图示桁架1、2杆的内力,6011 - 0.87 aS 2

16、= 0解：（1）求1杆的内力S,解除1杆，用内力S1和S1代替（假设为拉力），如图所示，作 用在系统上的主动力有 P、P、S和S1。该系统有一个自由度：ADEFG做定轴转动，BFH做 平面运动， 瞬心在B点。画虚位移图如图。利用虚位移图得：f =2 a 1 = a 221 =2利用虚位移图计算虚功W(S) = - 087aS 1W(P) = - aP 1W(P) = -2aP 1W(S2) = - 0.87aS22由虚位移原理得：0.87aS1 - aP 1 - 2aPS1 = 1.15P 求2杆的内力S2,解除2杆，用内力S2和 S2代替（假设为拉力），如图所示，作用在系 统上的主动力有P、P、S