西城区2019届高三一模数学(理)试题及答案

1、北京市西城区高三统一测试数学（理科）第I卷（选择题共40分）2019.4、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 .设全集 U =R,集合 A=x0<x<2, B=g1,1,3,则集合(eu A)n B =(A) _1(B) -3,-1,3(C) 1,3(D) -1,11 -i2,若复数z=，则在复平面内z对应的点位于2 -i（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3.执行如图所示的程序框图，则输出的 k值为（A） 4（B） 5（C） 7（D） 9=1 2t,=-2 4t(A) 2x+y=0(B) 2x+y

2、-4=0(C) 2x -y =0(D) 2x -y -4 = 04.下列直线中，与曲线 C：（t为参数）没有公共点的是数学（理科）第3页（共12页）a -,-m a . 一5 .设a, b, m均为正数，则“ b >a ”是“上一m >- 的 b m b(A)充分而不必要条件(C)充要条件(B)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件6 .如图，阴影表示的平面区域 W是由曲线x y = 0, x2+y2=2所围成的.若点P(x, y)在W内(含边界)，则z =4x+3y的最大值和最小值分别为(A) 5艮 7(B) 572, 3点(07, 5短(D) 7 , -77 .团体购买公园

3、门票，票价如下表:购票人上门票价格13元/人11元/人9元/人现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为(A) 20(B) 30(C) 35(D) 40428 .如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线x +y =2围成的平面区域的直径为(A) 4/32(B) 3(C) 2五(D) 4第II卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共 6小题，每小题

4、5分，共30分.9 .在等比数列an中，4=1, a5=8,则数列a的前n项和& =. 2210 .设Fi, F2为双曲线C:。_4=1（2>04>0）的两个焦点，若双曲线C的两个顶点恰好将 a b线段F1F2三等分，则双曲线 C的离心率为 .11 .函数f（x） =sin2x+cos2x的最小正周期丁=；如果对于任意的xw R都有f（x）<a ,那么实 数a的取值范围是.12 .某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为侧（左）视图俯视图13 .能说明“若since =cosP ,则口 +P =k 360s +90，其中k= Z 为假命题的一组 豆，P的值是14

5、 .如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数 2,右侧的每个算珠表示数 1 （允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a, b, c.例如，图中上档的数字和 a = 9.若a, b, c成等差数列，则不同 的分珠计数法有 种.00CXXXB06099eeeeeee三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15 .（本小题满分13分）在 ABC 中，已知 a2 +c2 _b2 =mac ,其中 mw R .（I）判断m能否等于3,并说明理由；（n）若 m=_1, b=23，c=4,求 sin A

6、.16 .（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF中，梯形 ADEF与平行四边形 ABCD所在平面互相垂直, 1AFDE, DE_LAD, AD 1 BE , AF =AD =DE =1 , AB = J2 .2（I ）求证：BF /平面CDE ;（n ）求二面角 B -EF -D的余弦值；（m）判断线段 BE上是否存在点Q,使得平面CDQ _L平面BEF?若存在，求出BQ的值，若不存在，说明理由.BE为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果17 .（本小题满分13

7、分）数学(理科)第7页(共12页)用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示.（I）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中a的所有可能取值；（II）将甲、乙两组中阅读量超过.15本的学生称为“阅读达人”.设a=3,现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数 X的分布列和数学期望.2（出）记甲组阅读量的万差为 S0.在甲组中增加一名学生 A得到新的甲组，若 A的阅读量为210,则记新甲组阅读量的方差为s 一 一 .、222 .S2 ,试比较S0 , S1 , S2的大小.（结论不要求证明）;若A的阅读量为20,则记新甲组阅读量的方差为18 .(本小题满

8、分13分)设函数 f (x) = mex x2 +3 ,其中 mw R .(I)当f (x)为偶函数时，求函数 h(x) = xf (x)的极值；(n)若函数f (x)在区间2,4上有两个零点，求 m的取值范围.19 .(本小题满分14分)22已知椭圆W： 工+上=1的长轴长为4,左、右顶点分别为 A,B ,经过点P(n,0)的直线 4m m与椭圆W相交于不同的两点 C,D (不与点A, B重合).(I )当n =0 ,且直线CD _L x轴时， 求四边形ACBD的面积；(n)设n =1 ,直线CB与直线x =4相交于点 M ,求证：A, D, M三点共线.20.(本小题满分13分)如图，设A

9、是由nxn(n)2)个实数组成的n行n列的数表，其中aj (i, j =1,2用| ,n)表示位s行与第t行的积.若对于任意s,t(s1 t),都有Pst =0 ,则称数表 A为完美数表.(I)当n =2时，试写出一个符合条件的完美数表；(n)证明：不存在 10行10列的完美数表；(出)设A为n行n列的完美数表，且对于任意的i =1,2,L ,l和j =1,2, L ,k ,都有ad =1 ,证明：kl<n.北京市西城区高三统一测试、选择题:本大题共5. C二、填空题:本大题共数学（理科）参考答案及评分标准8小题，每小题5分，共40分.2. D6. A6小题，每小题3. D7. B5分，

10、共30分.4.8.2019.4n 119. 2 -一210. 3兀；a> 2412.一313.答案不唯一，如 0（=110,曰=20口 14.32注：第11题第一问3分，第二问2分.三、解答题：本大题共 6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分15.（本小题满分13分）解:（I）当m=3时，由题可知a2 +c2 -b2 =3ac ,由余弦定理b2 =a2 c22accosB,222a c -b 得 cosB 二2ac这与cosB-1,1矛盾,所以m不可能等于 3 .(n)由(I)，得 cosB m21 一 2支一,所以B =因为 b=2近,c=4, a2 +c2 -b所以

11、a2 +16-28 = Ta ,解得a =-6 （舍）或a = 2.16.解:在 ABC中，由正弦定理得 sin A =(本小题满分(I )由底面又因为sin A sin B '11asin B 2=X14分)ABCD为平行四边形，知 AB/ CD ,AB辽平面CDE, CD匚平面CDE,13所以AB/平面CDE.同理AF平面CDE ,又因为ABpAF =A,所以平面 ABF/平面CDE.又因为BF二平面ABF ,所以BF平面CDE.(n)连接BD,因为平面 ADEF _L 平面 ABCD ,平面 ADEF C1 平面 ABCD = AD , DE _L AD ,所以 DE _L平面

12、ABCD.则 DE _L DB .又因为 DE _L AD, AD_LBE, DE"BE=E,所以AD_L平面BDE ,则AD _ BD .故DA, DB, DE两两垂直,所以以DA, DB, DE所在的直线分别为 x轴、y轴和z轴,如图建立空间直角坐标系,则 D(0,0,0) , A(1,0,0),B(0,1,0), C(1,1,0), E(0,0,2),F(1,0,1),所以 cos : m, n = m n = I m l|n|3如图可得二面角 B_EF _D为锐角,所以二面角BEFD的余弦值为 当. 10分（出）结论：线段BE上存在点Q ,使得平面CDQ _L平面BEF .

13、11分证明如下：设 =力彘=（0,九,2九）（人口0,1）,-1 所以 DQ =DB BQ =（0,1 ,2 ）.设平面CDQ的法向量为u =（a,b,c）,又因为DC =（-1,1,0）,附入u品=0,U前=0,即仁K2S1213若平面 CDQ，平面 BEF ,则 m u =0 ,即 a+2b+c = 0,-1解得 =- 0,1.所以线段BE上存在点Q ,使得平面CDQ _L平面BEF ,且此时 四=1.14分17.（本小题满分13分）解：（I）甲组10名学生阅读量的平均值为乙组10名学生阅读量的平均值为BE 71 2 6 8 10 11 12 12 17 21 “-10 ，101 2 4

14、4 12 13 16 16 (10 a) 20 二 98 a1010由题意，得10a98土a,即a<2. 3分10故图中a的取值为0或1. 4分（n）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅t达人”有 3人.由题意，随机变量 X的所有可能取值为：1, 2, 3. 5分C31P(X =3)=不C510口 彳、C2 C33c、C2 C23且 P(X =1) = 3 - = , P(X =2) = 3 - = ,C510C55所以随机变量 X的分布列为:X123P33110510 9分一 .3319所以 E(X) =1 m +2父+3父一 =.10 分10510 5,、222八(m)S &l

15、t;So <S2. 13 分18 .(本小题满分13分)解：(I)由函数f(x)是偶函数，得f(x) = f(x),即me- -(-x)2 +3 = mex -x2 +3对于任意实数 x都成立，所以m=0. 2分此时 h(x) =xf (x) = -x3 +3x ,贝U h '(x) = -3x2 +3 .由 h (x) =0 ,解得 x = ±1 .当x变化时，h(x)与h(x)的变化情况如下表所示:x(_oO, f-1(-1,1)1(1*)h(x)0+0h(x)极小值极大值所以h(x)在(-«,1), (1,收)上单调递减，在(1,1)上单调递增. 5分

16、6分一,八x2 -3y = m 与曲线 g (x)=, e8分 9分10分所以h(x)有极小值h(1)=-2, h(x)有极大值h(1)=2.,x 21x2 -3(n )由 f (x) =me -x +3 = 0 ,得 m =. e所以“ f (x)在区间-2,4上有两个零点”等价于“直线x亡-2 ,4有且只有两个公共点”.2,、 一 一x - 2x - 3对函数g(x)求导，得g'(x)=一"三.e由 g (x) = 0 ,解得为=-1 , x2 = 3 .当x变化时，g (x)与g(x)的变化情况如下表所示:x(-2,-1)-1(-1,3)3(3,4)g(x)0+0g(x

17、)极小值极大值所以g(x)在(_1), (3,4)上单调递减，在(-1,3)上单调递增. 11分613又因为 g(4)=e2, g(-1)=2e, g(3)=F<g(-2), g(4) =->g(-1), ee一2一136x -3所以当-2e<m<与或m=F时，直线y=m与曲线g(x)=, x1-2,4有且只 e ee有两个公共点.136即当-2e<m< =或m=F时，函数f(x)在区间2,4上有两个零点. 13分ee19 .(本小题满分14分)解：(I)由题意，得 a2=4m=4, 解得m=1. 2分2所以椭圆W方程为土+y2 =1. 3分4当 n=0,及

18、直线 CD_Lx 轴时，易得 C(0,1) ,D(0,1).且 A(2,0) ,B(2,0).所以 |AB|=4, |CD|=2,显然此时四边形 ACBD为菱形，所以四边形 ACBD的面积为1M 4M 2 = 4.5分 2(n)当直线CD的斜率k不存在时，由题意，得 CD的方程为x=1,3、3代入椭圆W的方程，得C(1,Y3), D(1-), 22易得CB的方程为y = Y3(x2).2,AD=(3,-),2贝U M(4, - 3) , AM =(6, - 3)所以AM = 2AD，即A, D, M三点共线.当直线CD的斜率k存在时，设CD的方程为y = k(x1)(k*0),C(x1,y1)

19、 , D(x2,y2),y =k(x-1),联立方程 x x22 消去 y,得(4k2 +1)x2 -8k2x+4k2-4=0 . 9 分7 y =1,22由题意，得 0 >0恒成立，故 x1 +x2 =-2 , x1x2 =一2 . 10分4k 14k 1y1直线的方程为y=(x-2).2w、11分令 x=4,得 M(4,-).X1 - 2又因为 A(20), D(X2,y2),则直线AD , AM的斜率分别为kAD12分所以 kAD -kAMV2yiX2 23(X1 - 2)3y2 (x1 - 2) -y1(x2 , 2)3(X1 -2)(X2 2)上式中的分子3y2(k -2)-y

20、1(X2 2) =3k(X2 -1)(x1 -2)-k(x1 -1)(X2 2)= 2kx1x2 - 5k(X1 x2) 8k所以 kAD - kAM=0 .;2k 竺:4k 1-5kSi 8k数学(理科)第13页(共12页)14分所以A,D,M三点共线.20.(本小题满分13分)解：(I )答案不唯一.如:(n)假设存在10行10列的完美数表 A.根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论:(1)把完美数表的任何一列的数变为其相反数(即+1均变为-1,而-1均变为+1),得到的新数表是完美数表;(2)交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表完美数表A反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式:111 * 411 *1111i 11, *1-1 Ab-1-1匕