锐角三角函数—知识讲解

1、锐角三角函数一知识讲解撰稿：杜少波 审稿：张晓新【学习目标】1 .结合图形理解记忆锐角三角函数的定义；2 .会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确地记住特殊角的三角函数值;3 .理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在RtABC中，/C= 90°,/ A所对的边BC记为a,叫做/A的对边，也叫做/B的邻边，/ B所对的边AC记为b,叫做/ B的对边，也是/ A的邻边，直角C所对的边AB记为c,叫做斜边.B锐角锐角锐角cA的对边与斜边的比叫做/A的邻边与斜边

2、的比叫做/A的对边与邻边的比叫做/同理sin BB的对边bA的正弦，记作A的余弦，记作A的正切，记作sinA ,cosA,tanA,即 sin A即 cos A即 tan AcB的邻边aB 斜边 c' BA的对边斜边A的邻边斜边A的对边A的邻边B的对边B的邻边从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角A,都有唯一的比值 sinA (或cosA、tanA )与它对应，因此我们把锐角的正弦、余弦、正切统称为锐角三角函数.要点诠释：(1) 正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线 段的比值.角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变

3、化.(2)sinA , cosA, tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 工二t亚'，不能理解成sin与/A, cos与/A, tan与/ A的乘积.书写时习惯上省略/ A的角的记号“/但对三个大写字母表示成的角(如/AEF),其正切应写成“tan /AEF',不能写成“tanAEF"；另外，3"工)、。血常写成期工、噂亡如二月(3) 任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在.(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在 0° </A<90° 间变化时，0 < cosj4 &l

4、t;1 , tanA >0.要点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下:锐角比sin acos atan a30°2在45°在160°在工 275要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若 sin 5 =,则锐角日二d5, .2(2)仔细研究表中数值的规律会发现：肘3T、san 60”的值依次为 巫、立、史，而222cos

5、4T> c翻的值的顺序正好相反，tan30° >面145°、tan600的值依次增大，其变化规律可以总结为：正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大).(3)在直角三角形中，30。所对的直角边等于斜边的一半 .要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在 RtABC中，/ C=90°则存在以下关系：(1)互余关系：sin月= 8式9(T 一乙4)二匚稣S ,二凸£达二乳n(9Q°乙4)二第h 8 ；(2)平方关系：sin3 月 + cos3 A = ;(3)倒数关系：tan

6、 月 taii(9(T - /月)二 1 或 tan 上二 一；tan B.“ smA(4)商数关系：tan W=.cosZ要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算 时巧用这些关系式可使运算简便.【典型例题】类型一、求锐角的三角函数值如图所示，在 RtABC中，/ C= 90° , AB= 13, BC= 5,求/ A, / B的正弦、余弦、正切值.11【思路点拨】 先运用勾股定理求出另一条直角边，再运用锐角三角函数的定义求解. 【答案与解析】在 RtABC中，Z C= 90° . AB= 13, BC= 5.AC.A

7、B2BC2. 1325212.BC5AC12 BC 5sin A一,cosA,tan AAB13AB13AC 12AC12BC5- AC 12sin B一,cosB,tan BAB13AB13BC 5【总结升华】本题考察勾股定理以及三角函数的定义，属简单题.举一反三：【高清课程名称： 锐角三角函数高清ID号：395948关联的位置名称(播放点名称)：例1 (1) - (2)】【变式】 在 RtABC中，/ C=90° ,若 a=3, b=4,贝U c=,cosB =sinA =, cosA =, sinB =【答案】 c = 5, sinA = 3 , cosA = , sinB =

8、 , cosB = 3 . 5555类型二、特殊角的三角函数值 2,求下列各式的值:(1)sin30-2cos60。+tan45。； (2) -g；; (3) (1 厨 |1 sin30 |tan 45 g tan 60【答案与解析】原式22(2)原式、,3原式【总结升华】举一反三：要熟记特殊角的三角函数值,先代入特殊角的三角函数值，再进行化简.【高清课程名称：锐角三角函数关联的位置名称(播放点名称)：例高清ID号：395948(3) - (4)】【变式1】在RtABC中，/ C=90°若/ A=45° ,则 ZB =sinA =, cosA,sinB =cosB =,2【

9、答案】ZB =45 , sinA =,2cosA = -2 , sinB = 2 ,cosB =二 2【变式2计算：sin30+cos30 ° ?tan60【答案】解：原式=1+遮73=2.22类型三、由锐角三角函数值求锐角的度数. (1) 2匚旌比J5 = 0,求锐角a； (2)已知tai/22t钿值+1= 0求锐角空.【答案与解析】(1)先将已知方程变形后再求解.2 cos a = tl 二 cos a -2.锐角比=30° .(2)先将已知方程因式分解变形.tan a-2tari +1= 0,.(tan(T- 1)0,.tan a-l = Q,即，锐角比=45

10、6; .【总结升华】 要求等式中的锐角度数，只需求得这个角的三角函数值，运用换元的方法，把角的三角函 数看作未知数，解方程求得它的值，然后再求这个锐角.类型四、锐角三角函数的拓展与应用.通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定， 因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图1，在 ABC中，AB= AC,顶角A的正对记作sadA,这时sadA 作竺 曳.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据 腰 AB上述角的正对定义，解下列问题

11、:sad60(2)对于0V Av 180° , / A的正对值sadA的取值范围是如图1，已知sinA = 3,其中/ A为锐角，试求sadA的值.58【答案与解析】(1)1 ; (2)0 vsadAv 2;(3)如图2所示，延长AC到设 AA AB= 5a,由 sin AD,使 AD= AR 连接 BD.BC 3得 BC= 3a,AB 5AC ,(5a)2 (3a)2CD=5a-4a = a, BD7a2 (3a)2 7i0a,1A BD 10sadA AD 5【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA= 1; (2)在图中设想 AB= AC的长固定，并固定 AB让AC绕点A旋转，当/ A接近00时，BC接近0,则sadA接近0但永远不会等于 0,故sadA>0,当/ A接近180°时，BC接近2AB,则sadA接近2但小于2,故sadAv 2; (3)将/ A放到等腰三角形中，如图 2所示，根据定义可求解.如图，锐角 ABC中，AB=10cmg BC=9crp ABC的面积为 27cm2.求 tanB 的值.【思路点拨】 过点A作AHL