奥数新讲义-一次函数-4师

1、第十一讲一次函数4关于一次函数的解析式例1已知函数.y = （7-2）x2n,+3-（3-H）是一次函数，则此函数的解析式为；解：由一次函数的定义，知2m+3J解之得m=-l.故所求函数解析武为 y=-3%-4.当m二时，函数j3-m ）* J+”计1是一次函数. （提示：妥注意尤项前的系数不能为0）例2.已知一次函数y = lcx+b伙HO）的图像经过A（l,2）、B （-1, 一4）两点，求这个一次函数的解析 式；分析：由于一次函数y=kxb中有两个待定的系数仁E,所以求其解 析式需两个条件、而“过4、B两点”就是两个条件.把/I、B两点的坐标分 别代入解析氏屮，得关于斤的方程组，于是可求

2、出k、b的值.解：略.例3.直线1与直线,y = 2x+l的交点的横坐标是2,与直线.y = -x + 2的交点的纵坐标为1,求直线1对应的函数解析式；解：设直线I对应的函数解析式为y=kx.-b.由X=2代入y2x+1中， 得尸5,即求得直线I上的个点（2,5）（因它是/与v=2x + l的交点）； 又由y=l代入尸-2中，得存1,即求得宜线/上的另一个点（1,1）.将点（2,5）和点（1）代入y=kx-+b中，得解得L-4L :故直线Z b=-3,的对应的函数解析式为y=4r-3.例4正比例函数y1 = kx与一次函数y2=k2x + b的图像如下图，它们的交点P的坐标是（4,3）点Q在y

3、轴的负半轴上且OQ=OP,求这两个函数的解析式; 简析 易知V.*r如图1-/ OArAP = 3rA OF = OQ = 5故Q（O, 5儿再由Pal,3）,可求得例5.试确定k的范围，使一次函数y = （3-幻兀+伙一 2）的图像和方程 - 2y = 4表示的宜线平行;0y随X的增大而减小;通过第1. 2、3象限.解 将方程化从y=*r-2 根据l线平行的特点右 3一後=E2 寺.故当2号时“线 y=(3-A)x+(2)和直线72y4 f ff.当30.U-20.解得23.故当 20,则其图像大致是直线（） A. aB. bC. CD d解 由FV0， rnn Ao ,知力V 0因 此、-

4、次函数图象过 2.3.4象限故应选 （C）.例7 （99年全国竞赛）设ba,将一次函数y = bx + a与ym + b的图像画在平面直角坐标系内，则有一组db的取值，使得下列四个图中的一个为正确的是（）奥数教程，初三年级P52,例2；或初中数学竞赛同步辅导，初三P99,例2例8. （14届江苏省初中数学竞赛）已知一次函数y = d + b ,肋0,则这样的一次函数的图像必经过的公共象限有个，即第象限.解：由肋v.知上、b异号.当20V O时.它的图像经过一、三、四象限；（2）当k 0时.它的图像经过一、二、四象限.所以,该一次函数的图像必经过的公共 象限有两个即第一、四象限.例9（98年全国

5、竞赛）已知dbcH,= = =/7,那么直线y=px+p 定通过（）CabA.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限初中数学竞赛同步辅导，初三P99,例1例10.如果一条直线1经过不同的三点A （a,b） ,Ba）,C（a-b,b-a）,那么直线1经过（）A.第二、四象限B.第一、二、三象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限奥数教程，初三年级P51,例1一次函数图像的特殊点以及面积问题例11.（15届江苏省数学竞赛）函数y = 3-x-2的图像如图所示，则点A和B的坐标分别是解頑已知可得= x5(x 翅) t,r+ l(x2 )山图2可知:7. B/丢点A是直线T

6、= - .Y + 5与X轴的交点, 有 A (5 Q): B是直线y = - X + 5与y = X + 1的交 点Iy=X-I解得 B (2 ,3).故 A(50)、E(2 3)例12.（2000年全国初中数学联赛）在宜角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15,6）,宜线y = -+b恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么b=B(I5.6)O解：由矩形的对称性可知平分其面积的 直线必过其中心（即对角线交点）设中心为点o,.山 E（156） 则 O .3 代入y =十X +得3 =十X17 + b.解 得b = 例13.（2001年河北省竞赛）设直线LV + （7 + l）y =

7、2 （n为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为二(n=l, 2,3,2000),则S+S? + + S2000 的值为多少？解:直线MX + (刃+ Dy-Ji与两坐标轴的交点分别彳O 捕 彳.0 1 X2+则S7r=因此5i S2 + S2OEIOGo 2 OOl_2 OoO=2 0Or例14(2001全国初中数学竞赛天津赛区初赛)如图,直线y =gx + l与X轴、y轴分别交于点A、B,以AB为直角边在第-象限内作等腰直角且ZBAC=9。如果在第二象限内有-点P(T),且AABP的面积与RtABC的面积相等,求a的值.解:由已知可得A(Ji ?0)(0 4) ,OA =、OB = 故 AB

8、 =- OB =2.因此,Ss=十 X2 2=2.连2则S 二 S 二费0 S SQ - S Ab?=十 Xl Kd + XlX/5 + M #_ 22 4 .4/CI74x =S jsc所以-4-f =2.故斗例15.(北京市西城区2006年抽样测试八年级(上)数学试卷)在直角坐标系中，有两个点A(-6), B(-2,5)(1) 在丿轴上找一个点C ,在X轴上找一个点D,画出四边形ABCD,使其周长最短(保留作图痕迹)；(2) 在(1)的情况下，求出C,D两点的坐标.解答：(1) GD两点应落在过点从-6厂3),歹(2,5)的直线上，如图所示（2）过点A,（-6-3）,B,（2,5）的直线的

9、解析式为y = x + 3,故C点坐标为（0, 3）, D点坐标为（-3, 0） 例16.（怀柔区八年级下学期期末质量检测数学试卷）已知一次函数7 =（加-3）x + 2的函数值随着X的增大而减小，且一次函数J = （2 + 3）x-3的函数值随着X的增大而增大，则同时满足上述条件的加的取值范围是（）解答：C例17.（北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）数学试卷）如图，边长为2的正方形ABcQ中，顶点4的坐标是（0, 2）, 一次函数yx+t的图像/随/的不同取值变化时，位于/的右下方由/和正 方形的边围成的图形面积（阴影部分）为S.（1）当f取何值时，S=3；（2）在/移动过程中，写出

10、S与/的函数关系式（其中0r4）解答：Sr2,(02)4-l(4-n2,(2r O ,所以 S=LoCxOE=-2 2OvOES2,所以一2SS = SMAB4 + 3 一 2(l + )由于D在AB ,所以它的横纵坐标要适合;0 2ITl1 + a0 2l + 解、a0所以斜（心2或心。）综合（1） （2）,可知:一一(一2 SdVo)2A + % 0)2(1 + )一.练习题5951. （2000年全国初中数学竟赛）一个一次函数的图像与直线y = -x + -平行，与X轴，y轴的交点分别44为A、B,并且过点（一1,一25）,则在线段AB上（包括端点A, B）,横、纵坐标均为整数的点有（）

11、 A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个答案：B2. （1999年湖北省黄冈市初中数学竞赛）如图，宜线y = -2x + 10与X轴，y轴分别交于A、B两点，把ZAOB沿AB翻折，点O落在C处，则点C的坐标是；3. （2001年Tl杯）在直角坐标系XOy中，X轴上的动点M（x, 0）到定点P（5, 5）、Q（2, 1）的距离分别为MP和MQ,当MP+MQ取最小值时，点IVl的横坐标X=；答案号4. （第12届江苏数学竞赛）求证：不论k为何值，一次函数（2k-Y）x-伙+ 3），-伙-II） = O的图像恒过一定点；（提示:此题是“直线束”问题可先由两条特殊直线求得交点坐标,再证明共他直线必经

12、过此交 点）5. （2000年湖北省初中数学竞赛选拔题）设直线上Y +伙+ l）y = l （k为自然数）与两坐标轴所围成的图形的面积为SJt （k=l, 2, 3,2000）,则S1+S2+.+S2（IOo等于多少？案 1 000.6（1994年天津中招）直线y = （m + ）x-3与y = （2-3）x + 5及y轴围成的三角形面积为16,求m的值.W來钳趣怠LHri岀G胸.Ih力和纽 y=5 十 1）工一3, y= CD=16即 8l = ,613無命 rn = -trntf 7已知直线y=S +勺过点（一 1, -4） 距为3.（0求两直线交点的坐标；当y2y,时，求啲范围.解叮克线m=