电路第十章拉普拉斯变换

1、第十三章拉普拉斯变换13. 1 基本概念13 . 1. 1拉普拉斯变换的定义一个定义在 0, 区间的函数f t ,它的拉普拉斯变换式F S定义为FS f t e Stdt0式中Sj 为复数，FS称为ft的象函数，ft称为FS的原函数。式中积分下限取t 0 ，把上述定义式作如下变形：0F S f t e Stdt f t e Stdt f t e StdtOOO可见，对拉普拉斯变换的定义，已自动计及t 0时ft可能包含的冲激。13 . 1. 2拉普拉斯变换的基本性质设L f1 t FI S L f2 tF2 S ,则有下表中性质。表13-1拉普拉斯变换的基本性质序号性质名称时域复频域1线性a1

2、f1 ta2 f2 ta1F1 Sa2F2 S2尺度变换f at ,a 0a a3时移性f t t0 tt0 ,t00I-St0F Se4频移性f t e tF S5时域微分df t dtSF S f 06时域积分f dF S f 1 0SS7复频域微分tf tdF Sds8初值定理f 0Iim SF SS9终值定理flim SF SS 010时域卷积f1 tf2 tF1 S ?F2 S11复频域卷积f11 ? f211F1 SF2 S2 j13 . 1. 3拉普拉斯反变换对于简单的象函数可在拉氏变换表中查出它的原函数，表中没有的可按反变换基本公式求出，即t L1Fs路响应的象函数通常可表示为

3、两个实系数的S的多项式之比，即 S的一个有理分式1 C J F SeStdS ,但此式涉及到计算一个复变函数的积分，一般比较复杂。电2 J c jmm 1amb1a°sasnnb0sbs式中m和n为正整数，且n若n m时，先将其化简成真分式，然后用部分分式展开，将复杂变换式分解为许多简单变换式 之和，然后分别查表即可求得原函数。0具有n个单实根时KiS Pi式中:KiPiFSIS Pil1nKiePiti 12.0具有重根时0除了 m个重根外，其它均为单根,共有n个根。式中:K1qq 1 ! dSqdq1L1Fs3.K11mP1P1K11m 1!0具有共轭根时K12m 1S P1S

4、1 S PiK12 t m 1m 2!KImKIm ePitKii n m s PinKiePiti n m0有复数根，一定是一对共轭根。设有n个单根，其中两个为一对共轭根，p1P2K1F SS P1K2SP2Kii 3 S PiK1,K2为一对共轭复数，设 K1K1Iej1, K2K1 Ie J 1,则ft 2K1 etcos t IKiePiti 313. 1. 4线性动态电路的拉氏变换分析法一一运算法（即复频域分析法）1 .元件的伏安关系及运算电路如表13-2所示附表13-2。表13-2元件的伏安关系及运算电路时域形式频域形式1频域形式2u(t)4u(t) u(t) Ri (t)u(t)

5、U(t) Ldti(t)Cu(t)1 t-O i(t)dt u(O ) Ci1LI L2 U2U1.U1(t)L1di1(t)dtU2(t) L2di2(t)dtM业dtM dedtU(S) RI(S)I(S)oO>U(S)SL Li(O )I(SU(S)U(S) SLI (S) Li (O )1 UC(O )I(S)SCSU(S)1U (S) I(S) SCuc(0 )U1(s) sL1I1(s) SMI 2(s)L1i1(O ) Mi2(O )U2(s) sL2I2(s) SMII(S)L2i2(O ) Mi1(O )U1(s)1SL®(O間L-I(S)U(S)1；SLU(

6、S)i(OS.I(S)Il SCC1. ICuc(O )"*一)U(S)I(S) SCU (S) Cu(O )1(S)2(s)sM? TL1i1(0 )0Mi2(O QJSL2L1i1(O) MidO )U2(s)在分析时，注意以下几点：（1）式中各元件的电压、电流均为关联的参考方向；（2）附加电源的极性与初始值参考方向相同；（3）由互感引起的附加电源除了与初始值有关外，还和同名端有关。2 .基尔霍夫定律的运算形式如表13-3所示见附表13-3。表13-3基尔霍夫定律的运算形式名称时域形式运算形式KCLi(t) 0I(S) 0KVLu(t) 0U (S)03 用运算法分析动态电路的步

7、骤复频域的基尔霍夫定律和各种元件伏安关系都是线性代数方程，与直流电路中的相应方程一一对 应。因此，在线性直流电路中建立的各种分析方法、定理可推广用于复频域电路模型。具体步骤如下：（1） 根据换路前电路的工作状态，计算电感电流初始值iL 0 和电容电压初始值UC 0（2） 作出换路以后复频域的等效电路，即运算电路（注意附加电源的值和方向）；（3）应用线性网络一般分析方法（结点法、回路法、支路法、电路定理、等效变换等）列写运算形式的电路方程，求出响应的象函数IS或US等；（4）用部分分式展开法对象函数取反变换，求出时域响应 it或Ut等。13. 2重点、难点分析13. 2. 1本章重点拉普拉斯变换

8、的核心问题是把以t为变量的时间函数 f t与以复频率S为变量的复变函数 FS联系起来，也就是把时域问题通过数学变换后成为频域问题，把时间函数的线性常系数微分方程化为复 变函数的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换，就得到待求的时间函数。所以，本 章重点为：1. 拉普拉斯变换求解线性动态电路的概念；2. 拉普拉斯变换的定义及其基本性质；3. 拉普拉斯反变换的部分分式展开法；4. 元件伏安关系及电路定律的复频域形式；5. 运用拉普拉斯变换分析计算线性电路的过渡过程。13. 2. 2本章难点前面我们学习了用经典法求线性电路的动态过程的方法，学习了用相量法求正弦激励下线性电路 的稳态过程的

9、方法，而拉普拉斯变换却能求得电路的全响应、全过程，因此，它是全面分析线性电路的一种有力工具。拉普拉斯变换法在解决一些电路分析的具体问题时比较简便，如避开了在t作用下的电感电流和电容电压的跃变问题，但其物理意义没有经典法明显。在学习本章内容的同时，注意 与前面所学内容相比较，注意它们之间的联系。应用拉普拉斯变换分析线性电路的瞬态，须经过三个过程：（1）从时域到复频域的变换，即对电路的输入取拉普拉斯变换，给出相应的复频域电路；（2）在复频域对电路列方程和应用电路定理，求出相应的象函数；（3）从复频域到时域的变换，求出响应的时域表达式。用拉氏变换法求解线性电路 的响应时，要注意以下几点：1. 初始状

10、态的确定。对于复杂的电路，往往不能正确地计算出动态元件的初始值。2. 正确地画出复频域等效电路模型。注意附加电源的大小和方向，注意一些常见信号的象函数 的记忆。3. 正确地计算出响应的象函数。 在求解象函数时，由于复频率S是以符号形式存在， 在复频域求 解响应的过程有时比较繁琐，这是该方法的不足之处。13. 3典型例题13. 3. 1拉普拉斯变换的定义及性质例13-1 已知f t如图13-1所示，求其拉氏变换的象函数。f(t)图13 1解题指导：首先正确地写出函数的时域表达式，然后利用拉普拉斯变换的时移性质来求。 解由题图得函数的时域表达式为其象函数为FS 2-12es 1e2sSSS例13-

11、2求图13-2(a)所示三角脉冲电流的象函数。i(t)jImA/ f I 12 t/si (t)jIi m-0I12t1 m图13 2(b)图13 2(a)解题指导：本题可利用拉普拉斯变换的时域微分性质，先写出三角脉冲电流的微分信号及其象函 数，再进行求解。解 对电流it求导，波形如题图13-2 (b)所示。则i't Im t t 1 Im t 1ImeS 2例13-3已知周期函数f tSint 0 t0t 2 ，周期为2 ，试求其拉氏变换式。解题指导：这是一个周期函数的象函数的求解问题。可利用拉普拉斯变换的时移特性。解求周期函数的拉氏变换,可以应用时移特性。f 1 t , f 2 t

12、 ,分别表示第一周、第二周的波形，则f2 t t Tt 2T t 2T根据时移特性，若：F1 S L则：FSL f1 tF1 S 1ST2sT e根据上式，首先求第一个周期波形的拉氏变换式。1ST1 e由拉氏变换定义可得:F1 SF1S L f1 tSinte Stdt0e StSSint COStS21e S 1S21本题中周期为2,于是得到F1e11 e s S21解题指导：任意函数与e t的乘积的象函数的求解可利用拉普拉斯变换的频移特性。例13-4求f的拉氏变换式。tt t Aet . SinL ASin tcos SSinAL Sin tcos cos tsinA22S解应用频移特性，

13、先求Imt2Imt 1I m t2于是得到L i'tIm12e S2s eIm 1S 2 eSS,即得SIi0根据拉普拉斯的微分性质L i t所以:L Ae t Sin tcos S Sin13. 3. 2拉普拉斯反变换例 13-5已知下列象函数 F S。求原函数f t。(1)(3)2 3e S(1)解题指导：仅含有两个单实根的情况。2te2e3t(3)解题指导：包含了两个重根的情况。解题指导：象函数乘以例13-6已知象函数F Ste t2e te St0 ,相当于时域中发生了时移t 11f t 2et t 3et0。5S32 20S： 25S40。求其原函数 ft。S24 S2 2s

14、 5解题指导：当包含有共轭复根时，往往用配方法做比较简单。 解象函数可变换为5sS2 41022S 122其原函数为5cos2t5e t Sin 2t t例13-7求FSS2S 1的拉氏反变换。解题指导：当所给出的有理分式不是真分式时，应先用长除法进行处理，变成真分式，然后再进 行求解。解所给函数F S不是真分式，用长除法，得于是可得23e233 2SiF13. 3. 3应用拉普拉斯变换法分析线性电路例13-8用拉普拉斯变换法求图13-3(a)电路中开关S闭合后的电容电压 UCt (要求画出运算电路模型)。IL5h1F1VSj(t 0)丄UC2V 5S j-J 62l' T 415汁S

15、 6T O< S0.25A , UC 0 1V列写结点电压方程求得UC S进行拉氏反变换得UC t6 11S1 _ U CS5s 24 541/S 5/241/S1/S2/s5s/625/S44s2 5s24115/415/44s s2 5s6SS2S 313.75e 2te 3t Vt0图13 3(a)图13 3(b)解题指导：这是一个直流激励下的二阶电路的全响应的求解问题。对于结点较少的电路宜用结点 法进行求解。解由换路前电路求得IL 0 运算电路模型如图13-3 (b)所示。例13-9用拉氏变换法求图13-4(a)所示电路中电容电压 UC t。已知I l 0 2A , UC 01

16、V。0t 0USt 2V 0 t 10t 1T0.5FUC图13 4(b)U S S L US t2e1H4Z-V-Y-V-LILUs(t)2图13 4(a)解题指导：由于US为方形脉冲，用拉氏变换法求解，应先写出电源电压US的象函数然后求解。也可分为两段进行求解(后者读者可以自己考虑)。解电源电压得象函数为运算电路模型如图13-4(b)所示。则结点电压方程为1S14 2IUCUS S 21/S2/SSS 4求得44 SOeS 8UCSSSS 2 S 3211243433 23 eSS 2S 3SS 2 Se3进行拉氏反变换，得2A2t11 3t AUC t4eet3322 t 143 t 1

17、2eet 1 V33例13-10电路如图13-5(a)所示。开关S原来接在“ 1 ”端，电路已达稳态。当t0时将开关S由“ 1”合向“ 2”，用拉氏变换法求换路后的电阻电压u2 t (要求画出运算电路模型)IS 21 fo2Nd O4tV1H 1H U-I1.5U2s 4J, Ia(S)1I1(S)TSS Ib(S)I.I U 2 (S) 2 H Yl2(汽 S图13 5(b)本题中采用的电路分析的方法是回路电流法。解 由换路前电路求得i1 02A , i2 00 (电流参考方向见运算电路模型)运算电路模型如图13-5 (b)所示。则按所选回路,回路电流方程为SIb S解得SIa2s 1.51

18、2S 4Ib S 2Ib S S3 S 0.5图13 5(a)解题指导：这是指数函数激励下的二阶电路的全响应的求解问题。首先正确地计算出换路前的初 始状态，然后画出换路后的运算模型，1.14S 4u2 t1.71e 4t3e3t1.29e 05t t V0.857S 0.5电压u?s 1.5SIb S。进行拉氏反变换得:例13-11电路如图13-6(a)所示。开关S闭合前电路已达稳态。在 t0时闭合开关S。用拉氏变换法求换路后的i t。20.125F2AP1-IlUC：1Hy SL0.5u12U11i(t)UC(S)S呷 I(S)图13 6(b)图13 6(a)解题指导：本题为求二阶电路的零输

19、入响应。注意受控电流源的状态。解 由换路前电路求得i 0 1AUC 0013-6(b)所示。由此模型可得开关闭合后，控制量 U1为零，受控电流源开路。运算电路模型如图SS 2 2S 4s 8 S 2进行反变换，得例 13-12e 2t cos2t e2t Sin 2t . 2e 2t cos 2t13-7所示电路中二端口网络N450 A的复频短路导纳矩阵为05 s 0505s05 s05 s 1求零状态响应U2。12CFi 2斗丄+U1U205F图137解题指导：本题为求冲激激励下的零状态响应。用拉普拉斯变换法求冲激作用下的响应时，不需 考虑电容电压和电感电流的跃变问题，简化了计算，而且不容易

20、出错。在包含了二端口网络的电路的 求解中，注意利用二端口的特性方程辅助求解。解复频域节点方程Ui(S)05U1(s)二端口方程Ii(S)2(S)05U2(s) Ii(S)0.25(05s 05)U2(s) I2(S)0(05s 05)U1(s) 05sU2(s)05sU(s)(05s l)U2(s)解得U2(s)S 122s214s 160.0530553S 1.44 S 556u2(t) ( 0.053e 1.44t 0.553e 喻“ ,(t 0)例 13-13图13-8 (a)所示电路在t0时处于稳态，求t 0时的Uj(S)、U2(s)和U1(t)。-(ZZF05+33V101 F=F

21、U1- 十2u0.2 F-丄+U220I+图13 8(a)1CDJ+332U2(s)0.2 s05图13 8(b)解题指导：本题为求解二阶电路的全响应。在包含了受控源的电路中，注意采用在直流电路中所学过的 处理方法：将受控源作为独立电源来处理，并寻找控制量与变量之间的关系。解 u1 (0 ) U2 (0 )33V复频域模型如题图13-8 (b):节点方程(OIS 3)U1(s) 2U2(s)332U1(s)(0.2s 2.5)U2(s)33 2U2(s)6.6 2U2(s)解得II Z X 33s 3301122U1 (S)S(S 30) SS 302II Z X 33s1320s 3300U

22、2(s)S(S 30)( s 25)U1(t)(1122 e 30t) V , t 0例13-14 如图13-9所示电路中，US 2sin(2t) (t) V ,求零状态响应iR。图13 9(a)B解题指导：本题为求正弦激励下的零状态响应。对于电桥中的 AB两点看进去的戴维南等效电路，以便简化计算。解 运算电路如图13-9(b)所示求从A、B两点看进去的戴维南等效电路：1开路电压U AB (S)-US(S)6AB支路电流的求解，应首先求出从等效阻抗Zi(S) 4S于是可得到AB支路电流IR(S)16( s 1)(s24)1( 130S 2)S242(s24)11iR e t cos(2t) S

23、in(2t) (t)A3020.1F5例13-15 如图13-10 (a)所示电路原处于稳态，R 1 , L 1.25H,C1 C2US 10V , t 0时开关接通。试求Uc2 t t 0 。S3解题指导：本题是求解三阶电路的全响应。首先注意初始值的求解，另外两个电容串联时所分得的电压应与电容值成反比，还有所求的Uc2 S应包含附加电压源的电压。解由t 0时的电路得复频域电路模型如图代入已知条件解得进行反变换得到iL 013-10(b)所示,U C2UC2 t例13-16 电路如图SLS2UL 10A Uc1 0R对其列结点电压方程SC110sSC2 U c2LiL 0SL10Uc2 05V

24、SLSC11.667SC1USuC1 0Uc2 0SC6.667S 0.2s S 810 1.667e t 6.667e4t V13-11 (a)所示。已知 R15，R210 ，L1 L11， M0.5USt 2 t V , i1 00.2A , i2 00.1A。求 t 0时的响应 u1 t 和 u2 t。Ui20.5u2USR2U2RiL(O ) M2(O SMir L22(O ) M(0 )1i(S)HUS(S)SLiUi(S)Ii(S)b0.5U2(s)I2(S)RiU I2(S) R2U2(S)图i3 ii(b)图I3 ii(a)解题指导：本题为求含有互感电路的全响应。当含有互感的电

25、路为非零初始状态时，注意正确地 画出其运算电路，注意附加电源的大小和方向。当求某一互感线圈电压时，其象函数应包括相应的附 加电源电压。对含有互感得电路最好用回路电流法或支路电流法。解 运算电路如图i3-ii(b)所示，其中USS电路方程为SLiRi Ii SSMRi I2 SUS S Lii 0M2 00.5U2 SSMRI i iS sL2 R2 Ri I2 SL2 20Mi 00.5U2 SU2SR2I2 S 2代入已知数整理得2S 5 Ii S0.5sI2SS0.250.5s 5 IiSSi02 S0.2解得0.15s24.5s200.75s Si0S203Ii S20.075s1.25

26、s100.75s Si0 S320I2 S所以Ui SLii 0M 2 0sLi 11 SSMI2 S0.8i00.2S 20进行拉氏反变换得例 13-1621.60.6U2SR2 I 2 SS10S 20S310tU1 t0.8et320t0.2eV10+U2 t_ 12 1.6e 30.6e20t V如图13-12(a)所示，is2sin 100t A , R1 R2 20 , C 1000 F, t合上开关S,用运算法求UC t oR1R2C-TUCIS S6R11SCR2UC 0SUC图13 12(a)解题指导：本题为正弦激励下的二阶电路的全响应的求解。图13 12(b)注意初始值的求

27、解应采用相量法。解由于电路源处于正弦稳态，故采用相量法求初始值UC 0R1R2.1J C ?I S R1R2R1R2I S.1j C1 j C R1R2U C9.7、2 75.980VUCt19.4Sin100t 75.980 VUC 0I m R1R22C2Sintg1R2 VRlR2画运算电路如图13-12(b)所示。11 SRI1 m UC 0UC SRi1SC1SC2000.05 10 3S S2104进行反变换得到UC t 2.82e 50t 17.89sin 100t 63.430 V例13-17 求图13-13 (a)中开关K闭合后，电路中得电流i1和i2。参数已标在图中。RLM

28、0.8丄1_2RL 10图13 13(a)M .kU2 R 拆 Oflr ReqyLIHL2G OCU OCRL1(S)厂sL1? *sL-i- '爪Req申) SMI2(S) (IJ SMII(S)RL图13 13(c)图13 13(b)解题指导：本题的电路非常复杂。所以为计算方便，先将电路化简，用戴维南电路进行等效。解：设开关K闭合时刻为t 0 ,初始值为i1 0 iL 00求开关K以左的戴维南等效电路，得出UOC10V， Req20 。作出原电路图的等效电路如图13-13(b)所示。下面用拉氏变换法来分析，为此先作出运算电路，如图13-13(C)所示，其中已进行了消互感的等效变换

29、。列回路电流方程：Req sL1 I1 S sMI2 S UOC SsMI1 S RL sL2 12 S 0代入元件数值，其中：M08 . L1L20.8 0.2 0.10.113Il 10UOCS代入方程组得反变换得例 13-18在如图100 S0.50.250.252S 0.0072s 4s 200S 500S 55.551.130.3530.3530.0072 S 500 S 55.55S 500S 55.55i ti2 t13-140.5 0.25e 500t0.25e 5555t A0.353e 500t0.353e 55'55t A(a)所示线性网络中，设t V , f2

30、t试用拉普拉斯变换法求电容电压的零状态分量UCZS t,零输入分量UCZi t及全响应UCt 。JFUc(t)w UC(O )0L(0 )1A图13 14(a)图13 14(b)解题指导：线性电路的全响应=零输入响应+零状态响应。解作出运算电路如图13-14(b)所示。求出各响应的象函数UC SR1IS SR1SCLiL 0R2 SL1R2 SLUC S全响应E SR1LiLOR2R1SC1R2 SLR1SCSL1R2 SL零状态响应零输入响应代入元件值整理得到UC S12其中11UCZSU CZi求它们的原函数及可得出: 零状态响应UCZScoSt eSint零输入响应UCZi te t S

31、in tU1 S全响应例 13-19UC t11211 eUCZS tUCZi te t CQStt CQSt ee t Sint tt Sint t V如图13-15所示为一零状态电路。求在U1t Si nt t10Sint t激励下的响应U2 t，指明瞬态响应、稳态响应、自由响应、强迫响应。3(S)解题指导：注意掌握瞬态响应、稳态响应、自由响应、强迫响应的概念。 解 t 0时，运算电路如图13-15(b)所示。列两个网孔方程：1I11 I2SS1 S 1I2 S2U2 S又有U2I1 S I2 S联立求解得U3 S进行反变换得到u3 t20U320S 1C20e 12tCoS 2 t例 1

32、3-21 如图 13-16 (a)及电感器初始电流均为零。i2U2 S1S2 S 1 S2 1.3 22及it。Sin瞬态（自由）响应所示电路，R1 1 ，R2 4稳态20coSt(强迫)1F，Lt t 1 A , Us 2V，开关在t 3s时闭合。rrL I_I / SUSD:UC1 '图13 16(a)UR C图13 16(c)响应1SC,电容器初始电压0时的响应UC tSL严TY 一RHHUC(S)US(S)NSR2 I(S)图13 16(d)解题指导：由于开关闭合前后电路结构改变，故分为两个阶段来分析。第一个阶段为求一阶电路的冲激响应，只不过is t是个延迟的冲激函数，作用时刻

33、为t 1s。可以等效成一个零输入响应来求解。第二阶段是一个二阶电路求全响应的问题，应用拉氏变换法求解。注意题中时间变量的不同。解 （1）t 3s ,开关S未闭合，此时得电路图如图13-16 （b）所示。按照已知条件有i 00，1s ,仍维持UC t为0,UCo 0 , is t t 1 A ,可见这是求电路的冲激响应，由此得出：t既有UC 10在t Is瞬间，电容器被充电，电容电压发生跃变，其值为1UC 11VCt 1s ，is t t 10 ,电容放电，等效为一个零输入响应。其时间常数为R1C1 1 1s求得UC tUC 1et Iet 1V1 t 3s由于S断开，此时的电流i t仍然为零，

34、即it00 t 3s当t3s时,电容电压的值宜为UC33 e10.1353V（2）t3s ,开关S闭合，由于iStt1 A,在 t 3s后，is t0 ,电流源支路相当于开路，得出等效电路如图13-16（C）所示。选一个新的时间变量t',并令当t 3s时，t 0。电路的初始值为UC 0UC 30.1353V1作出运算电路如图 13-16（d）。按照弥尔曼定理，可得UC SUC 0 C SCS丄SCR2 SLR1R2 SL0.1353s20.5413s 2SS2 5s 50.40.22360.4886S S 3.618 S 1.382进行拉氏反变换，求 UC t'和it'

35、。丄'C ,CCCCr3.618t'C ,ccr1.382t' . II '-UC t0.40.2236e0.4886e Vt0CdUdr-UC tR0.4 0.5853e3.618t0.1866e 1382t A t再求UC t和i tUC t 0.40.2236e 3.6181 30.4886e 1.382 1 3 V t 3si t0.40.58536e 3.6181 30.1866e 1.382 1 3At3s总的解答为00t 1sUC tet 1V1st 3s 3 618 t3亠 CC 1 382 t 30.40.2236e0.4886eVt3s00t 3si t_3.618 t3-一亠亠 1.382 t 30.40.58536e0.1866eAt3s习题13-1求下列象函数的原函数。13.4自测题(1)答案:(2)答案:(3)答案:(4)答案:3s212s 95t3tee3S22S4s 52t ecostS1C2S S2112te442S4s 52 S4s 3t