等腰直角三角形的全等问题

1、等腰直角三角形中的全等问题在证明三角形全等时，我们常常遇到图形中有等腰直角三角形，由于等腰直角三角形有一组直角边相等, 恰恰可以为我们证明三角形全等提供必要的条件，现举几例说明。2、已知：在等腰直角 ABC中， / BAC=90 , AB=AC,过点A作直线FG,过点B做BD，FG于D,过点C 做 CE，FG 于 E,求证：DE=BD-CE分析：题中有几个直角，往往可以得到许多角互余，所以有一些角相等，题中有AB=AC ,我们可以得到 AB与AC所在的三角形（ ABD与ACAE）全等，则 BD=AE,AD=CE,结论及可证明。证明（略）结论：一组直角边相等，思路1:可以观察两边是否在一个三角形

2、中，若在，即这个三角形是等腰三角形思路2:若不在一个三角形中，往往可得到其所在的两个三角形有一组对应边相等，为证三角形全等奠定条件。练习：3、在等腰直角 ABC中， Z BAC=90 , AB=AC,BD平分/ ABC,过点C做BD的垂线CE,垂足为E,求证：CE=1/2 BD提示：可通过角平分线构建全等形，即延长CE交BA的延长线于F,则4BEF与4BEC全等，所以 CF=2CE,只需证明CF=BD即可，即证明 ABD与4ACF全等。4、在等腰直角 ABC中， / BAC=90 , AB=AC,点D为AC的中点，AF，BD于G,过点C做CE / AB, 交AF的延长线于点 E,求证：EF=D

3、F提示：要证明结论成立，需证明 EF与DF所在的两个三角形 CFD与/ CFE全等即可。关键差一组边或一组角相等，有题中条件，很容易可证明ABD与 CAE全等，可为证明 CFD与 CFE全等提供帮助。65、如图， ACD和AEB都是等腰直角三角形，/(1) EC=BD(2)EC BD1 S四边形EBCD =EC *BD(4)Saade=Sabc2EAB= / CAD=90 ，求证:B C6、已知：在等腰直角 ABC中，/ BAC=90 , AB=AC,E 为AC上一点，CD，BE于D,连接AD,若AD=2 , CD=3 ,求BD的长。BC提示：由于等腰直角三角形的特征，把 CA绕点A逆时针旋转

4、90。，即可与BA重合，所以，可把 DA同样处理，使之旋转到点 E处，则4 CAD与 BAE全等，即可得到结论。在等腰直角 ABC中，/ ACB=90 , D是AC中点，/ ADF= / CDB ,连接CF交BD于E,求证：BDXCF.ABC中，/ ABC=90 , D为AC的中点，过 D点作 DEL7. （2011秋？斫口区期中）如图，在等腰直角DF,交AB于E,交BC于F.求证：（1）DE=DF（2） /DEF=45 .J8 （2014秋？武汉校级月考）如图， BD是等腰直角 ABC的腰AC上的中线，AELBD交BD、BC于E、F, 求证：（1） / ABD= / CAF;（2） Z AD

5、B= / CDF.9. （2011秋？嘉陵区期末）如图，在 RtAABC中，/ BAC=90 是AC的中点，AC=2AB .（1）求证： EABA EDC.（2）判断 EBC的形状.（有些角用数字表示更醒目）,等腰直角三角板 ADE如图放置，点 D恰10 . （2008秋？自贡期末）在等腰直角 ABC中，/ C=90 , AC=BC , D是AB上任一点，AE CD于E,BFXCD交CD延长线于 F, CH AB于H ,交 AE于G .求证：（1） BD=CG ; （2） DF=GE .11 .如图，锐角 ABC分别以A、B为直角顶点，向 ABC外作等腰直角三角形 ACE和等腰直角三角形 BC

6、F , 再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线，垂足为 M, N.求证：EM+FN=AB .12.如图1,已知A (0, 2)、B (-1, 0)两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰RtAABC.(1)求点C的坐标；(2)如图2,直线 CB交y轴于E,在直线 CB上取一点 D,连接 AD ,若AD=AC ,求证：BE=DE .如图， CAB, CDE都是等腰直角三角形,13如图，在等腰直角 ABC中，/ C=90 , AD平分/ BAC交BC于D , DELAB于E.(1)求证： ACDA AED;(2)若AB=6 ,求 DEB的周长.M是DB中点，求证：CM AE.如图，4ACE为等腰直角三

7、角形， Z ACE=90 , B为AE上一点， ABC经过旋转到达 EDC的位置，AC=%8 cm, (1) Z DEC=(2)求四边形 CBED的面积；(3)连结 BD,若AB=1cm,求线段 BD的长.已知 ABC和 DEC都是等腰直角三角形， C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE, F为线段AD的中点,连接CF(1)如图1,当点D在BC边上时，BE与CF的数量关系是,位置关系是(不用证明)；(2)如图2,把 DEC 然成立？若成立，请证明;(3)如图3,把 DEC绕点C顺时针旋转a角(0 a 90 ),其他条件不变，问(1)中的关系是否仍 若不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明；,

8、BE、CD 交于点 M,若/ DCF=30,求CM /BM 的值.绕点C顺时针旋转45OAEDGBB如图摆放,o图3其中/ ACB= / DCE=90图:ABC 和 DECB D C图1两块等腰直角三角板 点，G是BD的中点.(1)如图1,若点D、和位置关系为E分别在AC、,F是DE的中点，H是AE的中BC的延长线上，通过观察和测量，猜想 FH和FG的数量关系为(2)如图2,若将三角板 DEC绕着点C顺时针旋转至 ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则(1)中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；3, (1)中的猜想还成立吗？直接写出(3)如图3,将图1中的 DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图 结论，不用证明.DHCHH却如图(1), ABC为等腰直角三角形，/ ACB=90 ,E是AC边上的一个动点(点 E与A, C不重合)，以.连接 BE, AD, BE延长线交 AD于点P.猜CE为边在 ABC外作等腰直角三角形 ECD , / ECD=90 想线段BE, AD之间的数量关系和位置关系.(1)独立思考：请直接写出线段 BE,