第三章----单自由度有阻尼系统的振动

1、第三章 单自由度有阻尼系统的振动31 阻尼的作用与分类前述无阻尼的振动只是一种理想情况，在这种情况下，机械能守恒，系统保持持续的周 期性等幅振动。但实际系统振动时，不可避免要受到各种阻尼的影响，由于阻尼的方向始终 与振动体的运动方向相反，因此对系统作负功，不断消耗系统的能量，使自由振动不断衰减 最终停止，强迫振动的振幅受到抑制。阻尼有各种来源，情况比较复杂，主要有下列三种形式。1. 干摩擦阻尼： 两个干燥表面互相压紧并相对运动时所产生的阻尼称为干摩擦阻尼，阻尼大小与两个面 之间的法向压力 N 成正比，即符合摩擦定律 F=fN ，式中 f 是摩擦系数。2. 粘性阻尼： 物体以中、低速度在流体中运

2、动时所受到的阻力称为粘性阻尼。有润滑油的滑动面之间产生的阻尼就是这种阻尼。 粘性阻尼与速度的一次方成正比， 即F CX,式中G为粘性阻尼系 数，它取决于运动物体的形状、尺寸及润滑介质的粘性，单位为N s/cm。物体以较大速度在流体中运动时（如 3m/s以上），阻尼将与速度的平方成正比，即 F bx2 ,式中b为常数, 此种阻尼为非粘性阻尼。3. 结构阻尼、 材料在变形过程中，由内部晶体之间的摩擦所产生的阻尼，称为结构阻尼。其性质比较 复杂，阻尼的大小取决与材料的性质。由于粘性阻尼在数学处理时可使求解大为简化，所以本节先以粘性阻尼为基本模型来分 析有阻尼的振动。在遇到非粘性阻尼时则可用等效粘性的

3、办法作近似计算。有关等效粘性阻 尼的概念和计算方法在本章后面再作介绍。32 具有粘性阻尼的自由振动单自由度有阻尼振系的力学模型如图 3-1 所示，包括弹簧、质量及阻尼器。以物体的平衡 位置 0 为原点，建立图示坐标轴 x 。则物体运动微分方程为mx= CX kx式中 ：cx 为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向相反。mx CXkXO(a)kC令p2= , 2n,则上式可简化为mmX 2nx p20(3-1)将上式写成标准形式，为ID这就是有阻尼自由振动微分方程。它的解可取X est ,其中22 StS是待定常数。代入(3-1)式得(S 2ns P )e O ,要使所有时间内上式都能满足, 必

4、须s2 2ns p2 O ,此即微分方程的特征方程，其解为22Z XS1,2n n P(b)于是微分方程(3-1)的通解为Sits°tnt /n2 p2tn2 p2t .Z XX c1e1c2 e2e (c1ec2 e )( 3-2)式中待定常数C1与C2决定与振动的初始条件。振动系统的性质决定于根式j2 P2是实数、零、还是虚数。对应的根3与S2可以是不相等的负实根、相等的负实根或复根。若S1与S2为等根时，此时的阻尼系数值称之为临界阻尼系数，记为Cc,即CC= 2mp。引进一个无量纲的量，称为相对阻尼系数或阻尼比。n/ P c/2mp ccc(3-3)当n>p或 >1

5、,根式.n2 p2是实数，称为过阻尼状态，当 n<p或 <1 ,根式 n2p2是虚数，称为弱阻尼状态，当n = p, 即卩 =1,称为临界阻尼状态。现分别讨论三种状态下的运动特性。1过阻尼状态此时 >1 ,即、n2 p2 <n, (b)式中S1及S2均为负值，则est及es2t是两根下降的指数曲线，故(3-2)式所表示的是两条指数曲线之和，仍按指数衰减，不是振动。图3-2所示为c1>c2,c1<O时的情况。2.临界阻尼状态此时 =1, (b)式中S1= S2= n= p,特征方程的根是重根，方程（3-1）的另一解将为tePt ,故微分方程（3-1）的通解为X

6、 =（ c+ c2t） e Pt（C）式中等号右边第一项 ciePt是一根下降的指数曲线，第二项则可应用麦克劳林级数展开成以下形式：c2tePtC2-PiTTeC21/t PP2t2! P3t2 /3!nj. nP t /n!从上式看出，当时间t增长时，第二项C2tePt也趋近于零。因此（C）式表示的运动也不是振 动，也是一个逐渐回到平衡位置的非周期运动。3弱阻尼状态此时p>n,或 <1。利用欧拉公式A F ednX0)2,tg将A与 代入（3-4-1 ）式，即可求得系统对初始条件的响应，由式（3-4-1）可知，系统振动已不再是等幅的简谐振动，而是振幅被限制在曲线 Ae nt之内随

7、时间不断衰减的衰减振动。如图3-3所示。这种衰减振动的固有圆频率、固有频率和周期分别为(3-5)1XoPdJn2 P2tP2 n2tee/ 2 2 .COS P n ti sin . p2n2t可将（3-2）式改写为2 2 2 21X e nt(C1ei P nt C2e i p nt)nt'2e (D1 cos Pn2t D2sin . p2n2t)或X Ae nt Sin( P2 n2t)(3-4-1)令 Pd. P2 n2 ,则X Ae nt Sin( Pdt)(3-4-2)式中A与 为待定常数，决定于初始条件。设t = 0时，X = Xo, X X0，则可求得PdP2n2 P.

8、 1f .1_2 2 ITIP2n2P .12,12式中P、f、T是无阻尼自由振动的固有圆频率、固有频率和周期。由上可见，阻尼对自由振动的影响有两个方面：一方面是阻尼使自由振动的周期增大、频率减小，但在一般工程问题中n都比P小得多，属于小阻尼的情况。例=np=0.05时, fd=0.9990f, Td=1.00125T ;而在 =0.20 时，fd=0.98f, Td=1.02T ,所以在阻尼比较小时，阻尼对系统的固有频率和周期的影响可以略去不计，即可以近似地认为有阻尼自由振动的频率和 周期与无阻尼自由振动的频率和周期相等。另一方面，阻尼对于系统振动振幅的影响非常显 著，阻尼使振幅随着时间不断

9、衰减，其顺次各个振幅是：t=b时，AI=Ae-叫；t=t1+Td时，A2=Ae n(t1 Td) ； t=t1+2Td时，A3 =Ae n(t1 2Td),.。而相邻两振幅之比是个常数。即Aj / Aj 1enTd(3-6)式中称为减幅系数或振幅衰减率，n称为衰减系数，n越大表示阻尼越大，振幅衰减也越快。当 =0.05时， = 1.37, A2=A11.37=0.73A1,每一个周期内振幅减少27%,振幅按几何级数衰减，经过10次振动后，振幅将减小到初值的4.3%。可见，衰减是非常显著的。在工程上，通常取(3-6)式的自然对数以避免取指数的不便，即式中称为对数减幅或对数衰减率。Ln(Aj/Aj

10、 1)nTd(3-7)将Td2 /, p2n2代入，得2n / . p2 n22/ 1 2(3-8-1)当<<1时， 2 (3-8-2)因为任意两个相邻的振幅之比是一个常数enTd ,即A / A2A2 / A3A3/A4.nTdAj / Aj I ee故有AAj1(AA2)(A2A3)(Aj/Aj1) ej因此对数减幅也可表达为nAjA(j 1)(3-9)此外，根据（3-6）式，可以用实测法来求得系统的阻尼系数。因为Ln Aj 1nTdn丄L TdAj£丄LQ2m TdAj 12m IC LnTdAjAj 1(3-10)所以只要实测得出衰减振动的周期Td及相邻两次振幅A

11、j和Aj+1，即可计算出系统的阻尼系数CO例3-1在图3-1所示的振系中，弹簧刚度K=250Ncm ,阻尼系数C=6N s/cm,物体解:先求阻尼比判断阻尼状态，分析运动性质,因为C2mp0.61 ,属弱阻尼振动，故运动方程为:r982、250 980式中:Pd由初始条件:AentSin (PdtP.12k(1 2)m2Xo (X)2Pdt = 0 时，X0= 1cm、X0Ae ntPd COS(Pdt250 (198/9800.62)tg0.6 ×)nsin( Pdt)401/sX。PdX nX0250301/s98/980代入以上两式，得A=1.25cm , tg,即53010所

12、以X=1.25e-30ts in (40t+0.928)重98N。设物体从静平衡位置下拉1cm,然后突然释放，求此后的运动。例3-2设阻尼系数为 C=1N s/cm,其余数据同上例，试求对数减幅,并估计使振幅减小到初始值的1%所需的次数及时间。解：1 9802 98 500.1,20.628振动次数.1 I JLnAl1 Ln 1004.6057.4 8Aj 10.628所需时间tJTd2 J2 J2 81.01sP 12P50例3-3有阻尼弹簧质量系统中，物块重98N ,弹簧刚度k=7Ncm ,阻尼系数C未知,如果测得幅值为每循环衰减率为10% ,求阻尼系数 CO解：Ln (Aj / Aj

13、) Ln (1/ 0.9)=0.105 ,m=98980=0.1。由(3-8)式得/ . 4 220.105/ . 4 2(0.105)20.0167 N s/cm所以 C=2mp 2. mk 2 0.0167 . 0.1 70.0279 N s/cm。33在简谐激扰力作用下的强迫振动单自由度粘性阻尼系统强迫振动的力学模型如图3-4所示。设系统中除了有弹性恢复力及阻尼力作用外，还始终作用着一个简谐扰力运动定律，直接写出系统的运动微分方程为：F (t) =F0sin t,其中为激扰频率。由牛顿mx CX kx F0 Sin t(3-11)令 P2=k/m, 2n=c/m , q=F0m。则(3-

14、11)式可改写为下 列形式2X 2nx P X qsin t(3-12)方程的通解由两部分组成。即x(t) X1(t) X2(t)其中X1(t)为齐次方程的通解，X2(t)为方程(3-12)的特解,I逹 CP C 1kx 3,i 1I 11IfIF)=Ft Si co tT= (t)图鬥1在弱阻尼情况下，通解为(3-4)式，即x1(t)Ae nt Sin( p2 n2t )(a)弦函数的频率一致。令其形式为x2(t)BSin( t )(3-13)所以方程（3-12）的通解为X AentSin（, p2 n2t ） BSin（ t ）（3-14）上式等号右边第一项已讨论过，是一个衰减振动，只在振

15、动开始后的一段时间内才有意义，所以称其为瞬态振动；第二项是系统在简谐激扰力作用下产生的强迫振动，是一种持续等幅 振动，称它为稳态振动。 图3-5表示了在初始阶段由（3-14）式表示的由两种不同频率不同振 幅的简谐运动迭加的结果。其中细实线表示 等幅振动，粗实线表示某种情况下两种运动 的迭加。通过一段时间后，粗实线逐渐与细 实线相重合而成为单纯的稳态振动。因此在 一般情况下，可以不考虑瞬态振动而仅研究 强迫振动中持续的等幅振动。以下分析由（3-13）式所表示的稳态振动。S 3-5（3-13）式中，B为强迫振动振幅，为相位差，现求这两个待定常数。将式（3-13）代（P2将上式右侧改写成2)Bs i

16、n( t ) 2n Bcos( t ) q Si nt入式（3-12），有2)qsin tq cos Sin( t ) qsin cos( t )比较方程左右侧中sin（ t ）及cos（ t ）的系数，可得B（ p22） q cos ， 2n B qsin解上列联立方程式，得仍用记号p2k /m，作用下的静扰度。则（qZ 2222 2.(P ) 4ntg2n2 2P(b)c2mp n/p ccc, = ZP,并令 Bo=qp2=Fok,即常力 Fob）式可改写成下列形式B Bo/ （12）2 （2 ）21tg (2/1(3-15)(3-16)从（3-13）、（ 3-15）、（ 3-16）式可

17、以看出，具有粘性阻尼的系统受到简谐激扰力作用时,强迫振动也是一种简谐振动，其频率与激扰力频率相同，振幅B、相位差都只是决定于系统本身的物理性质（质量 m、弹簧刚度k、粘性阻尼系数c）,与激扰力的大小、频率及初始条件无关。强迫振动的振幅大小在工程实际问题中有重要意义，因此有必要搞清楚影响振幅的各种因素。由式（3-15）知，影响振幅的因素为 Bo、和,现分别加以讨论。1 . Bo的影响：因为Bo=FoK ,它反映了激扰力的影响，即振幅B与激扰力幅Fo成线性关系，Fo越大则B越大。2 .的影响:为了说明对振幅B的影响，先将式（3-15）写成如下无量纲形式1/2即 B=B o/2 =FoCP(3-18

18、)B/Bo 1/ (12)2(2 )2(3-17)式中称为振幅放大因子，或振幅比。现以振幅比为纵坐标，以频率比为横坐 标，以阻尼比为参变量，据式（3-15）作出如图3-6所示的振幅频率影响曲线（简称振幅响应曲 线）,以表明频率对系统位移的影响特性。从（3-17）式或图3-6可看出：1）当激扰频率很低，即 = /PVV 1时，放 大因子接近于1 ,即振幅B很近于Bo,此时的 振幅相当于把激扰力力幅Fo当作静载荷加于系统上产生的静位移。2）当扰频很高，即 p>>1时，放大因子趋近于零，原因是，扰力方向改变很快，振 动物体由于惯性来不及跟随，结果是停着不动。3） 当扰频与振系的固有频率很

19、近，即 /p 1,在 较小的情况下，振幅B可以很大（即 比Bo大很多倍），此即共振现象。在共振区附近振幅的大小主要取决于阻尼大小，阻尼越小，振幅越大，在无阻尼的情况下，即=0时，如2-3节中所提到的那样，振幅将变为无限大，共振振幅（ =P时）可由下式求出：严格地讲，放大因子或振幅B的最大值，并不是出现在=P时。利用求极值的方法，可求出当1 2 2时，使强迫振动的振幅有最大值的扰频，即共振频率：r .12 2 P（ 3-19）而共振时的放大率与振幅分别为r 1/2 12，Br B0/2 12 F0CP 12（3-20）20% 30%。在 1时，（3-20）与（3-18）式相差很小，所以通常说在

20、=P时发生共振。为了避免共振,般在设计机器或结构物时，应使固有频率高于或低于扰频约3.的影响：由图3-6可以看出，阻尼仅在共振附近一定范围内对降低振幅有显著作用，当阻尼为零时，共振振幅Br趋于无限大，增加阻尼，振幅可以明显下降，在离开共振稍远的范围，阻尼对降低振幅的作用很小， 尤其在 >>P时，阻尼几乎没有作用。 因此在接近于 P的区域 必须考虑阻尼的影响。当>0.7时，幅频响应曲线变成一平坦的曲线了。这一事实充分说明，阻尼对共振振幅有明显的抑制作用。图3-7由式（3-16）可知，强迫振动的相位差与频率 比及阻尼比有关。若以为纵坐标，以频率比为横坐标，以阻尼比为参变量，据（3

21、-16）式可绘成如图3-7所示的曲线，此曲线称为相位频率响应曲 线（简称相频响应曲线）。从图中可以看出，始终是 正值，故强迫振动的位移总是滞后于激扰力，而且与 阻尼比的大小无关。还可看出，若 0,则当<1 时，在 0o-90o之间；当 >1 时，在 90o-180o 之间。若 =0,及系统无阻尼存在时相位差与频率=1处有一个突变，即 <1时，比的关系就如2-3节中 图2-15所示那样，相位差在=0 ；入>1时， =180o。这就是说在V P时，强迫振动的位移与激扰力同相；在>P时,强迫振动的位移与激扰力反相。即强迫振动的位移在共振点前后出现突然的相位变化。若系统有

22、阻尼存在，则这种相位突然变化的规律渐趋于平稳。当 =1时（即共振时）相位差 =90与阻尼大小无关，这是共振的一个重要特征。例3-4如图3-4所示粘性阻尼振系，质量m、弹簧刚度k及阻尼系数C均为已知，有扰力F=FoSin t作用， =P，设在t=0时，X=O、X 0，求运动方程。解：振动微分方程的通解为3-14）式。因为=P ,系统发生共振，相位差=90° ,由ntCPJ-e sin(. p2n2t Sin 1 12)旦costCP（3-18）式，B=Fo/CP=Foc。故特解为X2BSin( t)F。Csin( t900)FOCc cost通解为：、F0)cosCXntAe SinK

23、, P2n2tt对时间求导，有F 0)Sin tCX Ae nt . p22 ncos( p2n2t)nsin(., p2n2t将初始条件代入，有F0,0C0ASi nAl - P2 2n cosn Si n)可求得tg.P2n2 /n.12 I/ ,Sin12A Fo/c .12Focp.12所以，运动方程为例3-5如图3-4所示振系，物块重980N ,弹簧刚度K=900Ncm ,阻尼系数C=24N cm,铅垂向扰力F=90sin t N ,求：（1）在 =P时的振幅；（2）使振幅有极大值时的扰频r及Br/B。解：振系的固有频率P 、k/m . 900 980/98030 1/s,在 =P时

24、，B= F0 / CP 90 /(24 30)0.125 Cm。使振幅有极大值时扰频为r122P,其中24 980C ,c/ 2mp0.42 980 30故振幅的最大值为.1 2(0.4)2 30 24.71/SBrF° / cp 12 ,Br / B 1/ . 121/0.92 1.09例3-6如图3-8所示的振系在激扰力 F0sin t作用下，求系统的角振幅。假定杆 OA为刚性均质杆，质量为 m。解：取角位移为坐标， 静平衡位置为原点，顺时针 方向为正。根据刚体绕定轴转动的运动微分方程I,得系统的振动微分方程为m 222L FoLsin t Ka Cb3即3cb2mL23ka2m

25、L23FO Sin tmL将上面方程和方程(3-12)比较，得p2 3ka2mL2,2 n 3cb2mL2,q 3F0mL杆OA在激扰力矩FOLSin t作用下产生简谐振动 =BSin( t- )振幅B q 1 p2 (12) (2 )234偏心质量所引起的强迫振动在旋转机械中，由于偏心质量所引起的强迫振动是极为普遍的现象，以下讨论这类振动现象。具有偏心质量的旋转机械力学模型如图 3-9所示，设旋转机械的质量为 m,转子的质量 为m1,偏心距为e,转动角速度为,弹簧刚度为 k,阻尼器阻尼系数为 c。现只研究机器在 垂直方向的振动。设机器位移为 X (从静平衡位置算起，向下为正)，偏心质量m1的

26、位移为x+esin t，由动量定理，系统的振动方程可写成111.2 2d Xd Z八m m12 m1 （X esn t）dt2dt2. dxkx C dt即2mx CX kxm1eSin t （3-21）这就是机器在转子离心力作用下的运动微分方程。方程的稳态解为2X BSin( t )其中振幅相角引用记号 P . k/m，mB/ m1e（3-24）式中即放大因子。以mBme为纵坐标、由式（3-24）做出图3-10。完全相同，故的曲线与图Bm1e2 / (k mtg C /(kc2mp，将P2.(1tg 22)2 (2/1 2为横坐标、为参变量,因方程（3-25）与方程（3-16）3-7 一样。

27、由式（3-24）、（3-25）及图3-10、图3-7,得到偏心质量所引起的强迫振动特征如下。1）当 <<1 （ <<F）时，激扰力幅值 me 2很小,振幅很近于零，相角亦近于零；2）当 >>1 （ >>F）2时，入趋近于1 ,质量（m-m）的振幅趋近于 me/m，时，放大因子1 一,质量（m-m）的振幅B=m1e/22、2 2)(C )(3-22)m 2)(3-23)(3-22 )、( 3-23)式写成无量纲形式(3-24)(3-25)m ,相角 =900,系统振幅受到阻尼的限制；4）当阻尼很小时，振幅很大，这就是共振现象。弓状回转运动与轴的转向

28、相同或相异,35 单盘转子的临界转速工程中的回转机械，如涡轮机、电机等，在运转时经常由于转轴的弹性和转子偏心而发 生振动。当转速增至某个特定值时，振幅会突然加大，振动异常激烈，当转速超过这个特定 值时，振幅又会很快减小。这种使转子发生激烈振动的特定转速称为临界转速。现以单盘转 子为例，说明这种现象。如图3-11所示，在转轴中部有一质量分布 不均的圆盘，圆盘的质量为 m重心在G点， 几何中心在S点，偏心距e=SG轴承中心连线 穿过圆盘平面的O点。假定转轴的质量忽略不 计。当转子静止时，S点与O点重合，转子开 始转动后，轴呈弓形变形，轴中点的挠度为 OS 这时转子有两种运动，一是转子在轴线弯曲后

29、的绕轴转动，一是弯曲了的轴和轴承中心连线所组成的平面的转动。后一种运动称为“弓状回旋”回转的速度可等于或不等于轴的转速。产生这种现象的原因比较复杂。这里只讨论最简单的 所谓同步弓状回旋，即上述两种运动的转速相等，均为的情况。取Xoy坐标如图所示。以（X、y）表示圆盘几何中心 S的位置，则圆盘重心G的坐标为Xc=（x+ecos t）与yc = （y+esin t）。设轴及其轴承的刚度在X和y方向上均为K,系统的可写出 X和y方向的运动微分方程为将方程（其中mx CX kxmy Cy ky3-26）与方程（3-21）相比较，可得稳态解me 2 cos( t )(k m 2)2 (C )22me S

30、in( t )(k m 2)2 (C )2meme2 .COS t2 i tSin t(3-26 )e 2 cos( t.(1 2)2 (2 )22e Sin( t ).(1 2)2 (2 )2Bcos( t(3-27)2、2BSin( t2/.(1 2)2 (2 )21 _B= e1 2 1 2tg c /(k m ) tg 2/(1)(3-29)阻尼为粘性阻尼，其阻尼系数为 C。由质心运动定理,(3-28)式中是线段SG比线段OS所超前的相位角。它的大小不仅与系统的阻尼值有关，而且还与转子的转速有关。由（3-27）式，可求得轴的中点的挠度为一2me 2e 2(3-30)os . X y &

31、#39;(k m 2) (C )2(1 Y (2)2圆盘在x、y方向作等幅的简谐振动，二者的相位差为/2。因此这两个方向的振动合成后,几何中心S的轨迹是一个圆（2 y2 R2）,圆心为坐标原点 0,半径R=OS=B。图3-12表示了在三种不同转速情况下圆盘重心G和几何中心S之间的相对位置。从图 3-12可以看出，3 <P时重心G在几何中心S的外侧；当 >P时，重心G和回转中心 O处在 几何中心的同侧；在 =P时，转轴剧烈“弓状回旋”，回转半径即转轴的横向位移达到最大 值为 OS=e2 ZO在不考虑其它因素时， =P即数值上与转轴的横向弯曲振动固有频率相等时的转速即为临界转速，记为

32、co当 >1时，振动挠度 OS为负值，当时，, OS- - e,这意味着动挠度与偏心距反相。这时轴围绕其重心旋转，重心G与O点重合，称为自动定心。这时转子运动平稳,没有振动。必须指出，临界转速虽然在数值上和转轴横振的固有频率相同，但是“弓状回旋”与横 向振动完全是两种不同的物理现象。不转动的轴作横向振动时，轴内产生交变应力。而“弓 状回旋”对于转轴来说并不产生交变应力，但转子的离心惯性力却对轴承作用着一个交变力 并导致支承系统发生强迫振动，此即临界转速时产生剧烈振动的原因，正因为这样，工程上 常将临界转速时支承发生剧烈振动的现象和共振不加区分。3 6以上讨论的强迫振动，激扰都是作用在质

33、量上的，但有时激扰却作用在基础上或质量的 支承上，再通过弹簧和阻尼器才使质量产生相 应的运动。例如地基的振动引起机器的振动， 机器的振动引起仪器的振动，汽车驶过不平的 路面而产生的振动等。现就图3-13所示的单自由度系统受基础激扰的力学模型，研究支承运动引起的强迫振动。设支承运动 XS a sin t ,其中支承运动引起的强迫振动a为运动的幅值,03-13为频率。取质量块 m研究，其位移以坐标X表示。取系统平衡时 m的位置为坐标原点。 则当质量块离开平衡位置的距离为X时,弹簧的变形应为X - XS ,而质量块与支承的相对速度则为X xs,从而在质量块上作用有弹簧a业2 c2 2,(k m 2)

34、2 c2 2a.1 (2)2.(12)2 (2 2)恢复力k （X-X S）和阻尼力C（X XS）。按牛顿定律，建立振动微分方程式mxk(XXS) C XXS(a)或mXCXkXkXsCXS(3-31)把Xs、XS值代入式（3-31）中，得mX CXkXkasin tC acos t(3-32)此式表明，作用在系统质量 m上的激扰力由两部分组成：一部分是弹簧传给质量m的力kasin t ,另一部分是阻尼器传给质量m的力C acos t。两者可合成为:FF0 sin( ta)其中Fo、(ka)2(C a)2a k22 2C,tg 1c / k(b)于是微分方程(3-32)可写成mxGXkX a

35、k2c2 2 Sin( ta)(3-33)可见，方程（3-33）和方程（3-11）所以方程（3-33)在形式上疋一样的。的稳态解可表小为XBSin( t)其中振幅B及相角,可应用33节的方法类似地求出为(3-34)若以为横坐标,tgmek(k m 2) e 12 (2 )2(3-35 )B为纵坐标,a为参变量，则可根据（3-34 ）式作出如图3-14所示的幅频响应曲线。从图可以看出，在、2时，恒有1,即无论多大阻尼，系统的振幅B均等于支撑运动的振幅 a;当 .2时， 1,振幅B小于支撑运动的振幅 a,而且阻尼大的系统比阻尼小的系统的振幅反而要稍大些；当.2时，强迫振动的振幅趋近于零，这身上下振

36、动的振幅。设阻尼可略去不计。03-15就是说支座的运动并不传递到物体m上，这一特性在研究隔振和测振时是很有用的。图 3 143-35 ）式做出相频响应曲线，由于用以为横坐标，“为纵坐标，z为参变量，根据（ 处不太大，这里就不再讨论。例3-7小车重4900牛顿，可以简化为用弹簧支在轮子上的一个重物，弹簧刚度K=50牛顿/厘米，轮子的重量与变形略去不计。路面成正弦波形，可以表示为2 Xy asin,其中a= 4厘米，L= 10米。如图3-15所L示。试求小车在以水平速度 U = 36公里/小时行驶时，车解：小车的固有频率为P m 500 980/490010 1/s设在t=0时，有X=O，贝U X

37、= U t,因而2t丄a sin asin tL其中t/L3610310 360021/s故小车强迫振动的振幅B a/224/ 16.6cm10例3-8惯性测振仪工作示意如图3-16所示。振动物体的运动规律为XSa sin t,求质量m相对于振动物体的振幅 yo。已知a=2毫米，=251.2弧度/秒,=0.7，系统的固有频率P= 62.8弧度/秒。解：惯性测振仪工作时，质量m的运动就是图3-13所示的支承运动引起的强迫振动，振动微分方程如式（a）所示，即mx k（x XS） G（X XS）质量m相对于振动物体的位移、速度和加速度分别为y XXS, y X Xs, y x Xs将y、y、y代入上

38、式，并注意到XS2asin t,得质量m的相对运动的微分方程式为my Gy kymxsm 2asin t将上式与（3-21）式比较，可知上面方程的特解可表示为y y°sin（ t ）振幅y°的表达式与式（3-22）及（3-34）形式相似，可得ZZZZZZS3-1E2 2 2 2 2 2 2 2y0 ma / , k m(G ) a / . (1)(2)代入数据：a=2毫米,=0.7, = P = 4 ,得y02 42/ (1 42)2 (2 0.7 4)21.9986 2(mm)从此例及图3-10可以看出，只要在 2.5以上，且系统的阻尼足够大（=0.650.7）时，yo

39、a。测振仪指针指示的数值就是振动物体的位移，而质量 m的位移x 0 （也就是测 振仪工作时，质量几乎不动）。这就是位移计的工作原理。位移计要求本身的固有频率低，从 而使 = P可以足够大，所以位移计是一种低固有频率的仪器。振幅yo可改写成如下形式：y。a 2p2划2）2 （2 ）2Aa/P2J 2）2 （2 ）2式中A a振动物体加速度幅值。当很小（即/ P0）时，yo A。测振仪指针指示的数值与振动物体的加速度幅值成P2正比，这就是加速度计的工作原理。加速度计要求本身的固有频率必须比振动物体的频率足够高，从而使 = P足够小。所以加速度计是一种高固有频率的仪器。必须指出，加 速度计的频率适用

40、范围同样受阻尼影响。如以y0p2Aa为纵坐标，以为横坐标作曲线，可得与图3-6完全相同的图，只要将以y0p2Aa代替。从图中可以看到，在 =0.650.70 时，= 00.4的范围内y0p2Aa接近于1。37隔振原理机器设备所产生的振动，一方面会影响机器本身的工作精度和使用寿命，甚至引起机器本身结构或零部件的损坏；另一方面也会传给周围的机器设备，使它们也产生振动，伴随振动产生的噪音对人体的健康也是有害的。因此必须很好地研究怎样才能有效地进行振动的隔 离。冷）根据振源的不同，一般分为两种性质不同的隔振，即主动隔振和被动隔振。对于本身是振源的机器 或结构，为了减小它对周围机器、仪表及建筑物的影 响

41、，须将它与地基隔离开来， 这种隔振措施称为主动 隔振。对于允许振动很小的精密仪器和机器设备，为了避免周围振源对它的影响，须将它与振源隔离开 来，这种隔振措施称为被动隔振。主动隔振和被动隔振的原理是相似的，都是把 需要隔离的机器安装在合适的弹性装置（隔振器）上，使大部分振动为隔振装置所吸收。图3-17为单自由度隔振系统动力学模型，其中(a)为主动隔振，(b)为被动隔振。图中 m为被隔离机器设备的质量，k和C为隔振器的弹簧刚度和阻尼系数。一. 主动隔振振源是机器本身的激扰力FoSin t。未隔振时机器与支撑之间是刚性接触(K),故机器传给地基的最大动载荷是Fo,在有弹性元件和阻尼元件隔振时，机器传

42、给支撑上的最大动载荷为FT, FT应为通过弹簧及阻尼器传到支撑上的最大动载荷的合力。因为振动位移X =BSin( t- ),速度X B cos( t ),位移与速度之间相位差为 90°,而弹簧力FK = KX , 阻尼力FC=C X ,故最大弹簧力FKmaX=KB ,最大阻尼力 FCmaX=CB 。因此，它们的合力应为FT. F 2kmaxF2Cmax(KB)2(CB )2KB. 1(2)2(3-36)因为BF0K,(12)2(2 )2(a)所以FTF0 .1 (2 )2 (2)2 (2 )2(3-37)主动隔振的隔振效果用隔振系数(或传递系数)a来表示。 a为机器隔振后传给支撑的动

43、载荷FT与未隔振时机器传给支撑的动载荷F0的比值。aFF0.1 (2 )2.(12)2 (2 )2(3-38)二. 被动隔离振源是支撑的运动 XS= asin t。此时，机器也将产生强迫振动。其振动微分方程与前述的(3-31)式完全相同。稳态振幅即为(3-34)式，将(3-34)式改写成：ICB/a .1 (2 ) / .(1)(2 )(b)与式(3-38)的形式完全一样。被动隔振的效果用机器隔振后的振幅(或振动速度、加速度)与振源振幅(或振动速度、加速度)的比值 b来表示，也称隔振系数。由(b)式得b B/a .1 (2 )2/ , (12)2 (2 )2(3-39)可见，当振源是简谐振动时

44、，由(3-38)、(3-39)知，无论是主动隔振还是被动隔振，虽然两者含义不同，但隔振原理与隔振系数是相同的。系数随频率比的变化规律都可用图3-14来表示，只是将纵坐标换成,并有下列一些共同特性：1.在 .2的区域内，> 1 ,无隔振效果，反而将原来的振动放大；2.不论阻尼大小，在2的区域内，<1 ,才有隔振效果；3.在 2以后，随着的增加，值逐渐趋近于零。但在>5以后,曲线几乎水平，即使采用更好的隔震装置，隔振效率提高有限。实用上选取值在2.55之间足够；4.当 2时，随Z的增大而提高，即在此情况下，阻尼的增大是不利隔振的，反而使隔振效果降低。例3-9机器重10000牛顿，

45、支以弹簧，弹簧刚度K = 40000牛顿/厘米，阻尼比 =0.20o在转速为2380转/分时，不平衡力的幅值 F0= 2000牛顿，求此时机器上下振动的振幅、 隔振系数以及传至地面的力。解：机器的固有频率为P . K / m 40000 980/1000062.5 1/s,即 596Prm。频率比 = P= 2380/5964.0由式（a）知：振幅由式（3-39）知:隔振系数传至地面的力B200040000, (1 42)2 (2 0.1 4)21(2 0.2 4)2a2 22(14 )(2 0.2 4)0.00331cm0.125FT= 2000 × 0.125= 250N。38强

46、迫振动过程的能量关系若不计阻尼，自由振动的任意瞬时，系统的动能与势能的和总是等于振动开始时从外界 输入的能量。根据机械能守恒定律，动能与势能可以互换，总和不变，从而维持系统的等幅 自由振动。在有阻尼的自由振动时，由于阻尼存在，不断消耗能量而导致振幅衰减以致完全 停息。在有阻尼的强迫振动中，一方面扰力对振动物体作功，不断向振系输入能量；另一方 面系统的阻尼又不断消耗能量。若前者大于后者，振幅将增加。反之，振幅将减小。因此， 要维持稳态的强迫振动，激扰力必须持续地作用，即不断对系统作功，向系统输入能量，当 每周的能量消耗相等时，振幅将保持常值，系统将进行稳态振动。现在以弹簧一质量系统为 例，来说明

47、激扰力与阻尼在强迫振动中所作的功的计算方法。假定激扰力与振动都是正弦型 的，而阻尼是粘性的。1. 简谐激扰力在一个周期内所作的功（即输入的能量）作用在系统质量块上的简谐扰力为F= FoSin t,系统作简谐强迫振动X= BSin( t ),则扰力在 dt 时间内所作的元功为 dWFdx Fxdt ，一周期内所作的功为TWFFxdt02/F0B Sin tcoS( t0)dt2F0BSin tcoS( t )d( t)F0BSin3-40)可见，简谐激扰力每周作功的大小不仅决定于力与振幅大小，还决定于两者之间的相位差。在 = 2,即共振时，WF取最大值，等于 FoB。2. 阻尼力在一个周期内所作

48、的功（即消耗的能量） 作负功。它在一周内所作的功,即消耗的振动中粘性阻尼力 Fo cx c BcoS（ t 能量为FC xdt2/oc 2B2 coS2( t)dtcB23-41)可见,阻尼力每周所消耗的能量,除了与阻尼系数及振幅有关外,还与振动频率有关。 振动的频率愈高,一周内消耗的能量愈多。一般高频率较之低频振动容易被阻尼衰减就是这 个道理。当系统产生稳态强迫振动时,WF= WC, FoBSincB2 ,由此可得稳态振幅B Fo Sin /c（ 3-42）如应用（ 3-16）式,则由上式不难得到（ 3-15）式。而当共振时，= P, = 2,则可得B = FoCP,这就是（3-18）式。3

49、 9 等效粘性阻尼在 3 1 节中曾提到,在遇到非粘性阻尼时,可用等效粘性阻尼来代替。所谓等效粘性阻 尼是指和非粘性阻尼在振动的一个周期中消耗能量相等的阻尼。现根据强迫振动中的能量关 系,来将各种非粘性阻尼转化为等效的粘性阻尼。设 We 为非粘性阻尼在一个周期内所作的功,Wc 为等效粘性阻尼在一个周期内作的功,又设把一个非粘性阻尼转化为粘性阻尼后的振动系统,在这个转化了的粘性阻尼作用下所作 的振动是谐振动，则由（3-42）式，可得 WC= Ce B2。式中Ce为等效粘性阻尼系数。由 等效粘性阻尼概念有 We= WC = Cen B2 ,由此求得Ce= We/ n B2（3-43）We可根据不同

50、阻尼情况计算出来，然后由（3-43）式算出Ce的值。下面来计算几种典型的非粘性阻尼的等效粘性阻尼系数。1. 干摩擦阻尼（库仑阻尼）其阻尼力F般是个常力，在系统振动过程中 F力的大小不变，但方向始终与运动方向 相反。在振动的每一个 1/4周期内，阻尼力作功为 FB ,因此在一个周期内阻尼力所做的功 为We=4FB。代入（3-43）式，可得Ce=4 B（3-44）2. 流体阻尼当物体在流体（如水、空气）中以较大的速度（大于 3米/秒）运动时，阻尼力与速度 的平方成正比，其方向与速度方向相反，其值可近似表示为FC bx2, b为常数。假定振动物体位移X = BSin（ t ）X B cos（ t ）

51、则流体阻尼力在一个振动周期内所作之功为T /4T /432233832We 4FCXdt 4 bx dt 4 2 bB CoS （ t ）dt bBeOC0/代入（3-43）式，得Ce 8b B/3（3-45）3. 结构阻尼大多数结构材料如金属钢和铝，由于它们自身内摩擦造成的阻尼，称为结构阻尼。实验 指出，结构阻尼在每一个周期中消耗的能量We与振动频率无关，而与振幅的平方成正比。所以有 We=aB2,式中a为一常数。将 We值代入（3-43）式，得Ce a/（3-46）4. 多阻尼系统：在系统中存在几种性质不同的阻尼时，可以把它们折算成等效粘性阻尼。设系统中同时起作用的几种性质不同的阻尼在一个周期中所消耗的能量（或所作的功）分别为W1、W2、W3、，则系统阻尼在一周期中所消耗的总能量为We W1 W2 W3