数值分析试卷及其答案8

1、数值分析期末考试设、；80,若要确保其近似数的相对误差限为 0.1%,则它的近似数x至少取几位有效数字？ （ 4分）解：设x有n位有效数字。因为8 v64通0通1 9 ,所以可得x的第一位有效数字为8（1分）又因为六101n焉A1.令1n2 n 3,可知x至少具有3位有效数字（3分）二、求矩阵A的条件数Cond（A% （4分）3 412A中其5 1 O 2 5 1分1z(7 一 211ACond(A)149f (1 分)三、用列主元Gauss消元法法求解以下方程组（6分）x1 2x2 3x320x1 x2 2x382x1 4x2 x3912 320解： 112824192419112812 3

2、20241032.504 2.593.524.5241904 2.524.5032.33.524104 2.500358924,5 (4 分)17582x1 4x2 x3 9,等价三角方程组为：4x2 2.5x324.5, (1分)35175x3,88回代得 x35, x23,x1 1 ( 1 分)四、设 f （x） x4 3x3 x2 10,x0 1,x1 3,x22,x3 0.1）求以x0,x1,x2,x3为节点的3次Lagrange多项式;（6分）2）求以Xo,Xi,x2,x3为节点的3次Newton多项式；（6分）3）给出以上插值多项式的插值余项的表达式（3分）解：由Xo1, X13,

3、 X2f (Xo)11, f(X1)1, f(x2) 34, f (X3)10即得:L3(x)f (Xo)(xXi)(X X2)(x X3)(XoXi)(Xo X2)(XoX3)(X Xo)(X X2)(X X3)f(x1) 一,二1:(Xi Xo)(XiX2)(Xi X3)f (X2)(x Xo)(X Xi)(X X3)(X2 X0)(X2 X1 )(X2X3)(x X0)(X x)(x X2)f(X3)(X3X0 )(X3 X1)(X3 X2)11 (X 3)(x 2)(x 0)(1 3)(1 2)(1 0)1)(x 1)(x 2)(x 0) (3 1)(3 2)(3 0)34(x 1)(

4、x 3)(x 0)(2 1)( 2 3)( 2 0)10)(X 1)(X 3)(X 2).10 6x 6x2 x3(0 1)(03)(0 2)2)计算差商表如下:Xif(Xi)一阶差商二阶差商三阶差商-2103)-11-134-7-10-22-1N3(x)115( X1) 4(x1)(x3) (x 1)(x 3)(x 2)6x6x2R3(x)3(x4!X0)(XX1)(XX2)(XX3)x(x1)(x 3)(x 2)1ww五、给定方程组Ax b,其中A3w10。w01试确定w R的取值范围，使求解该方程 组的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法均收敛。（10分）w w解：1) J

5、acobi迭代格式的特征方程为3w 0 Q即3 4w20,w 0求得 10, 22w, 3 2w于是当且仅当2w 1 w ：时，Jacobi迭代法收敛(5分)2) Gauss-Seide迭代格式的特征方程为：0求得10,2。，34w2 ,于是得 www3w23w20,22ww0故当w J时，求解该方程组的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法 均收敛。、. 、几 /、4bb a(b a) 八、设 f(x) C4a,b, f(x)dx f (a)f(b) f (a) f (b)a212求上述求积公式的代数精度，并利用求积公式给出计算b f(x)dx的一a个复化求积公式。(12分)解：

6、1)当f(x) 1时，左边=b a=右边当f(x) x时，左边=(b2 a2)=右边2当f(x) x2时，左边=3(b3 a3)=右边当f(x) x3时，左边二1(b4 a4)=右边4当f(x) x4时，左边二1(b5 a5)右边5因此，所给求积公式具有3次代数精度。(6分)2 )将可作n等分,记hbn 1 为 1f(x)dxf(x)dx,ai o xx ih而 x f(x)dx 21f(xi)由此可得复化公式bn 1 hf(x)dx f(x)ao 2b a,xia ih,0 i n.n(2分)h .,f 供 i) f (xjf (xi i),12h j,f(xi1) KfR-为川2mxih2

7、 . ''xi 1) f (a) f(b)(4 分)3七、求f (x) x2在0,1上的一次最佳平方逼近多项式。(8分)解：令所要求的多项式为:P1(x)a bx,即取 o(x)1)1,1)123(f, 0) 5(f,1, 1(x) x ,计算1) 7 (4 分)得法方程组:1 b21b32527解方程组得，、4R(x)3536一 x354 h 36b 35,35(4分)于是得一次最佳平方逼近多项式为八、写出方程的Newton迭代格式，并迭代一次求近似解（6分）(1)在x0 2 附近的根。(2)在x0 1 附近的根。解:(1)取Xo(2)2 ,则 “ 17(3 分)2_ x&#

8、39;_ xf(x) X2 3x ex 2, f (x) 2x 3 ex则xk ixkx2 3xk exk 22xk 3 e线取一，则“七（3分）九、已知三点 Gauss公式（10分）i585if(x)dx - f G 0.6) - f(0) - f( vQ6),用该公式估算yXdx 的19990.5值。解：令t ax b,于是有：1ab a 4 于是t 4x 3 1 0.5a b b 3dx 4出，于是 0yxdx14,出(5分)令f就得：1 f(x)dx 5 f(J丽)-f(0) -f( vO6) 5 1 ；3_11 8 i f3 5 1 |，3 V119999 449 4 1 4 9 4

9、 .4(5分)十、龙格库塔(10分)取步长h 0.4,写出用经典四阶Runge-Kutta方法求解初值问题dx xsin(x y)的计算公式。 y(1) 0(1 x 9)解：xn x° nh 1 0.4n y 0(1 分)Vn 1yn(kl 2k2 2k3 k4)6kl f(Xn，Vn)k2f (Xn q,yn h2kl)(6 分)h hk3 f (Xn - , yn k2)k4 f (Xn h, yn hk3)取n 0,1,2 ,20,其经典四阶Runge-Kutta计算公式为:0.4yn 1 yn g(kl 2k2 2k3 k,)k1(1 0.4n)sin(1 0.4n yn)k

10、2 (1.2 0.4n)sin(1.2 0.4n yn 0.2k1) (3 分)yn 0.2k2)yn 0%)k3(1.20.4n)sin(1.2 0.4nk4(1.4 0.4n)sin(1.4 0.4n卜一、用乘晶法计算矩阵A按模最大特征值和相应的特征向量。取x(0) (1,1,1)T ,迭代两步即可。(7分)4 14 0其中A 5 13 0解：y(1) Ax10 (3 分)4 1401105 1301810211(1) ytX(1,0.8,0.1)yy(2) Ax(1)414017.251300.85.41020.10.8(2)7.27.2相应特征向量取-1 5.4(4分)7.20.8十二、设X0,Xi, Xn为n 1个互异的节点，li(x)(i 0,1 n)为这组节点上 n的 n 次 Lagrange 插值基函数，证明：xikii(x) xk(k 0,1 n) (8 分)0证明：对于k 0,1, ,n,令f(x)xk,则f(x)的次Lagrange插值多