整式乘除与因式分解(竞赛)

1、补充公式:三项完全平方公式：(a b c)233,_、一， x y (x立方和与立方差：33x y (x完全立方公式:代数222_-a b c 2ab 2bc 2ca22、y)(x xy y )22、y)(x xy y )33223(xy)x3x y3xyy33223(xy)x3x y3xyy杨辉三角(x y)01 (x y 0)(x y)1x y 22(x y) x33(xy)x44(xy)x(xy)5x5(xy)6x62xy y22233x y 3xy y ,3- 2 2,344x y 6x y 4xy y43 22 3455x y 10x y 10x y 5xy y54 23 32 45

2、66x y 15x y 20x y 15x y 6xy y1 1f '71 2 1* W1 3 3 1VW1 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 13、因式定理和待定系数法1 .多项式x2+mx+5因式分解得(x+5)(x+n),则 m=2.若关于x的多项式x2 px 6含有因式x 3,则实数p的值为3,已知 x4+mx3+nx 16 有因式(x1)和(x 2),贝U m =, n =4.已知多项式ax3+bx2 47x 15可被3x+1和2x- 3整除.试求a, b的值及另外的因式.5.如果x4 x3+kx2 2kx-2能分解为两个整系数的二次因式，

3、试求 k的值.6.已知x2-xy-2y2+mx+7y- 3能够分解成两个整系数的一次因式的乘积，求 m的值.7,对x5- 1进行因式分解8 .观察下列式子的因式分解做法：2x 1 (x 1)(x 1)x31 = x3x+x1 = x(x21)+x1 = x(x1)(x+1)+(x 1) = (x 1)x(x+1)+1 = (x 1)(x2+x+1)x41 = x4x+x1 = x(x31)+x1 = x(x1)(x2+x+1)+(x 1) = (x 1)x(x2+x+1)+1 = (x 1)(x3+x2+x+1)模仿以上做法，尝试；x5 1(2)观察以上结果，猜想 xn 1 =; (n为正整数

4、，直接写结果，不用验证 )(3)根据以上结论，试求 45+44+43+42+4+1的值.9 .(x 1)()=x61;D (x 1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1) = 1+4+4 2+43+4 2013=.10 .设多项式2x2+5x+3的一个因式为x+a,另一个因式为 2x+b贝 U (x+a)(2x+b)= 2x2+5x+3贝U 2x2+(2a+b)x+ab= 2x2+5x+3贝U ab = 3，2a+b=5®若 a, b 都取整数，由知有 a= 1, b= 3; a= 1 . b= 3; a= 3, b= 1; a= 3, b= 1只有a=1, b=3满足则多项式2x

5、2+5x+3分解因式为(x+1)(2x+3)仿照以上(1)的解题过程，分解因式3x2 5x 2.43x x 7x x 611 .分解因式32x x 4x 443223x 9x y 26xy 24 yx5 x 112.分解因式3,.、 2x (a b c)x (ab bc ca)x abc32(a b)x (3a 2b c)x (2a b 3c)x 2(b c)13.试证明：(1)x 1是的x9 1因式x a是的xn an因式。(n是正整数)1814.设 f(x) 3x3 2x219x 6,试问下列何者是f(x)的因式?2x 1, (2) x Z (3) 3x 1 (4) 4x+1 , x ,

6、(6) 3x 4-32_ x3 4x2 x 615 .把下列多项式分解因式:3_ x3 5x 432 3x 5x 4x 2432 x 9x 25x27x 101 2-x2(y z)5 (z x)5 (x y)5x416 .因式分解a3(b c) b3(c a) c3(a b)二、拆项、添向和换元1 把下列多项式因式分解(2) x4+x2y2+y4(1) x4+642分解因式：x3-9x+837x2 1a3 4a 3224ab b432x x 2x x 1x4+4y42x 3x 14 .分解因式:(x4 x2 4)(x4 x2 3) 10(x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 2444_ _(

7、x 1) (x 3)272;22_ 2(a a 1)(a 6a 1) 12a5 .因式分解(x+1)4+(x+3)4 272 =6 .因式分解：16(6x1)(2x1)(3x+1)(x 1)+25=用新字母代7 .你会对多项式(x2+5x+2)(x2+5x+3) 12分解因式吗？对结构较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，替(即换元)，能使复杂的问题简单化、明朗化.从换元的个数看，有一元代换、二元代换等.对于(x2+5x+2)(x2+5x+3) 12.解法一：设 x2+5x=y,则原式=(y+2)(y+3)12=y2+5y 6=(y+6)(y 1) = (x2+5x+6)(x2+5x

8、1) = (x+2)(x+3)(x2+5x 1).解法二：设 x2+5x+2=y,则原式=y(y+1) 12 = y2+y 12=(y+4)(y 3)=(x2+5x+6)(x2+5x 1)= (x+2)(x+3)(x2+5x 1).解法三：设 x2+2=m, 5x=n,则原式=(m+n)(m+n+1) 12= (m+n)2+(m+n) 12= (m+n+4)(m+n 3)= (x2+5x+6)(x2+5x 1)= (x+2)(x+3)(x2+5x 1).按照上面介绍的方法对下列多项式分解因式：(1)(x2+x 4)(x2+x+3)+10;(2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x2;(

9、3)( x+y 2xy)(x+y 2)+(xy 1)2.8 .因式分解 m(n+1)(n+2)(n+3)+1 =9 .证明：四个连续的正整数的乘积加上1是一个完全平方数.三、分式的恒等变形1 .解方程：？ + £ = 3(?+ ?.11a 12 .已知X 4,求下列各式子的值：X2 =x3 FXX2X33.若a、b、c均为非零常数，且满足求X的值。a b c 口 (a b)(b c)(c a) 日 ,且 x ，且 X 0aabc片114.已知一 一x y3,求2X 3Xy 2y x 2Xy y2x 3xy 2yabc5 . 已知二个正数 a、b、c 满足 abc=1, 求 的值x 2

10、xy yab a 1 bc b 1 ac c 1八 x 1, 、x2-的值。16 .已知- -,试求分式十二x x 1 4x x7.已知三个不全为零的数x、V、z满足4x,2x2 3v2 6z23y 6z 0, x 2y 7z 0,求2的值。x2 5y2 7z2四、对称式和轮换对称式、定义在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中,如果变量x, y,例如：x+y,xy,x+y+z ,222x y x ；xyzxy yz zxx3+y3+z3 - 3xyz,x5+y5+xy,1 1 ；x y在含有多个变量的代数式f(x,y,z)中，如果变量x, y,z任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数

11、式为对称式x V y z z x .都是对称式.xyz xyz xyzz循环变换后代数式的值不变，则称这个代数式为轮换对称式,简称轮换式。显然，对称式一定是轮换式，而轮换式不一定是对称式1 .分解因式(x y z)5x5y5z52 .分解因式 f (x, y) x4 y4 (x y)43 .设实数 a, b, c满足a+b+c= 3,a2+b2+c2=4,则/+等+芸=(A. 0B. 3C.D. 9?4 .已知abcO,且a+b+c= 0,则代数式 而+而+力期值为a+b+c=5 .设 a、b、c 均为非零实数,且 ab=2(a+b), bc=3(b+c), ca = 4(c+a),则6.若数

12、组（x, y, z）满足下列三个方程:?=1、?+?+?3?_?+?+?= 2、 ?+?+?=，贝 U xyz=7,已知 a、b、c均为实数，且 a+b+c=0, abc= 2,求|a|+|b|+|c|的最小值.8.已知a, b, c均为实数，且 a+b+c=0, abc= 16,求正数c的最小值.111.111 ,一9-已知 a+b+c = °，?+ ?+ ?= - 4,求可+ ?2+ 费的值.10 .不等于0的三个数a、b、c满足?+ 1?+ ；?= ?篇?求证:a、b、c中至少有两个互为相反数.一 ?111 已知?+?= 15，?1=一?+?17 )?=?+?116 )?+?一

13、一？?一. ？吊 ?12.已知a、b、c满足？?+?+ ?不?+而?=1,则？不?+济?+而?勺值为多少?五、不定方程如果一个方程（组）中，未知数的个数多与方程的个数，那么把这种方程（组）叫不定方程（组）。不定方程（组）的解是不确定的，一般不定方程 （组）总有无穷多个（组）解。若加上整数（或正整数）解的限制，则不定方程（组）的解有无数组，或有限组，或不存在。1 .如图，在高速公路上从 3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志.问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是（）Y 丫浦1甲Y37 10 11

14、151923A. 32千米B. 37千米C, 55千米D. 90千米2 .购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需（）A. 4.5 元B. 5 元C. 6 元D. 6.5 元3.某次足球比赛的计分规则是：胜一场得顺序，则该队胜、平、负的情况可能有3分，平一场得1分，负一场得。分，某球队参赛15场，积33分，若不考虑比赛A. 15 种B. 11 种C. 5种D. 3种4.某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有种购买方案

15、.5 .正整数 m、n满足8m+9n = mn+6,则m的最大值为 6 .甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答.以后在抢答过程中若甲答对1题，就可提6个问题，乙答对1题就可提5个问题，丙答对l题就可提4个问题，供另两人抢答.抢答结束后，总共有 16个问题 没有任何人答对，则甲、乙、丙答对的题数分别是 .7 .陈老师给42名学生每人买了一件纪念品，其中有：每支 12元的钢笔，每把4元的圆规，每册16元的词典，共用了 216 元，则陈老师买了钢笔 支，词典 册.8 .中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?9 . 一个盒子里装有不多于 200颗糖，如果每次2颗，3颗，4颗或6颗地取出，最终盒内都只剩一颗糖，如果每次 11颗地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少颗糖?10 .某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？11 .将一个三位数？?件间数码去掉，成为一个两个