高等数学第四讲（4学分）

1、编辑ppt1 第一章 1、和差积商的极限等于极限的和差积商、和差积商的极限等于极限的和差积商第三讲主要内容回顾：第三讲主要内容回顾：2、复合函数极限的运算法则、复合函数极限的运算法则3、分式函数的极限：、分式函数的极限：)(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR编辑ppt2x趋于无穷大时，分式函数的极限：趋于无穷大时，分式函数的极限：为非负常数为非负常数 )nmba,0(00mn 当mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 当mn 当编辑ppt34、两个重要的极限、两个重要的极限1sinlim0 xxxex

2、xx)1 (lim15、无穷小量的阶：重点掌握等价无穷小、无穷小量的阶：重点掌握等价无穷小6、求极限时的等价无穷小因式代替规则、求极限时的等价无穷小因式代替规则:编辑ppt4第四节第四节函数的连续性函数的连续性 第一章 编辑ppt5函数函数)(xf在点在点0 x4.1、连续函数的概念、连续函数的概念定义定义:)(xfy 在0 x的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfAxfxx则称函数则称函数.)(0连续在xxf(1) )(xf在点在点0 x即即)(0 xf(2) 极限极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx设函数设函数连续必须具备下列条件

3、连续必须具备下列条件:存在存在 ;且且有定义有定义 ,存在存在 ;1、函数在点、函数在点x0处连续的概念处连续的概念编辑ppt6若若x0不是函数的连续点，不是函数的连续点，则称则称x0是函数的间断点是函数的间断点 ，函，函数在此点是间断的。数在此点是间断的。编辑ppt7考察函数考察函数讨论讨论 0 x处的连续性的连续性 . xyo11 xy11 xy解解:因为因为)(lim0 xfx不存在不存在 .1,0( )0,01,0 xxf xxxx所以上述函数在所以上述函数在0处不连续处不连续。编辑ppt8自变量在自变量在x0的增量的增量,0 xxx函数在点函数在点x0的增量：的增量：)()(0 xf

4、xfy)()(00 xfxxf)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx函数函数0 x)(xf在点在点连续有下列连续有下列等价命题等价命题:函数在函数在 x0处连续的处连续的增量定义增量定义编辑ppt9结论：函数在结论：函数在 x0处连续的充要条件处连续的充要条件是函数在此点处的增量是无穷小。是函数在此点处的增量是无穷小。编辑ppt10函数在点函数在点x0处单侧连续处单侧连续左连续：左连续：右连续：右连续：, )()0()(lim000 xfxfxfxx, )()0()(lim000 xfxfxfxx函数在点函数在点x0处连续的充要条件是函数处连续的充要条

5、件是函数在此点既左连续又右连续。在此点既左连续又右连续。编辑ppt11例：设函数例：设函数1/13)(xxaxxxf问：当问：当a取何值时，函数在取何值时，函数在1处连续？处连续？解解：.41)/(lim)(lim4)3(lim)(lim1111aaxaxfxxfxxxx处有极限，则欲使函数在。的函数值恰好是时，414xa处连续。时，函数在时，当14) 1 (4)(lim41afxfax编辑ppt12函数在区间连续的概念函数在区间连续的概念若若)(xf在某开区间上每一点都连续在某开区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上则称它在该区间上连续连续 , 或称它为该区间上的或称它为该区间上的连续函数

6、连续函数 .编辑ppt13证明：证明：nnxaxaaxP10)(在),(上连续上连续 .证明：证明： 有理分式函数有理分式函数)()()(xQxPxR在其定义域内连续在其定义域内连续.编辑ppt14函数在闭区间上连续函数在闭区间上连续函数在函数在a,b 连续指：函数在右端点处左连续，连续指：函数在右端点处左连续，而在左端点处右连续及相应的开区间连续。而在左端点处右连续及相应的开区间连续。编辑ppt15在在在在函数的间断点（不连续点）：函数的间断点（不连续点）：(1) 函数函数)(xf0 x(2) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在;(3) 函数函数)(xf0 x)(lim

7、0 xfxx存在存在 ,但但)()(lim00 xfxfxx设设0 x在点在点)(xf的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 ,符合上述情形之一的点符合上述情形之一的点0 x虽有定义虽有定义 , 但但虽有定义虽有定义 , 且且称为函数的称为函数的间断点间断点 . 在在无定义无定义 ;编辑ppt16例：例：x=1/2是函数是函数12142)( xxxf的间断点的间断点例：考察例：考察x=0是不是符号函数是不是符号函数 010001sgn)(xxxxxf的间断点。的间断点。编辑ppt17间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:左右极限都存在的间断点。左右极限都存在的间断点。, )()

8、(00 xfxf若若称称0 x第二类间断点第二类间断点:左右极限至少有一个不存在的间断点。左右极限至少有一个不存在的间断点。为为可去间断点可去间断点 .无穷间断点无穷间断点:属于第二类间断点。属于第二类间断点。)(lim0 xfxx或或)(lim0 xfxx, )()(00 xfxf若若称称0 x为为跳跃间断点跳跃间断点 .编辑ppt181) 1 (1)(lim1fxfx显然显然1x为其可去间断点为其可去间断点 .1,1,)(21xxxxfyxoy211 考察考察y=tanx的间断点的间断点xytan2xyo编辑ppt19连续函数的运算与连续函数的运算与初等函数的连续性初等函数的连续性 第一章

9、第一章 编辑ppt20定理定理2. 连续单调递增连续单调递增(递减递减) 函数的反函数函数的反函数也连续单调递增也连续单调递增(递减递减).一、连续函数的运算法则一、连续函数的运算法则定理定理1. 在某点连续的在某点连续的有限个有限个函数经函数经有限次有限次和和 , 差差 , 积积 ,( 利用极限的四则运算法则证明利用极限的四则运算法则证明)商商(分母不为分母不为 0) 运算运算, 结果仍是一个在该点连续的函数结果仍是一个在该点连续的函数 .(证明略证明略)编辑ppt21xey 在),(上连续上连续 单调单调 递增递增,其反函数其反函数xyln在),0(上也连续单调递增上也连续单调递增.因为因

10、为 xx cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续连续xx cos,sin因为因为因为因为xysin在,22上连续单调递增，上连续单调递增，其反函数其反函数xyarcsin在在 1 , 1 上也连续单调递增上也连续单调递增.结论：基本初等函数在其定义域内连续结论：基本初等函数在其定义域内连续编辑ppt22函数函数f(u)在在u0连续连续，则，则)()(lim)(lim000ufufxgfuuxx)(lim(0 xgfxx若若函数函数g(x)在在x0连续连续，)(0 xgf连续函数的复合运算法则连续函数的复合运算法则00)()(lim0uxgxgxx编辑ppt23例如例如,xy1sin是由

11、连续函数是由连续函数),(,sinuuy,1xu *Rx因此因此xy1sin在在*Rx上连续上连续 .复合而成复合而成 ,编辑ppt24二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数在在定义区间内定义区间内连续连续例如例如,21xy的连续区间为的连续区间为1, 1(端点处单侧连续端点处单侧连续)xysinln的连续区间为的连续区间为Znnn, ) 12( ,2(求初等函数的连续区间只要求定义域求初等函数的连续区间只要求定义域即可。

12、即可。编辑ppt25利用连续性求极限利用连续性求极限例：求例：求xxxxarctan4)2ln(12lim 322lim xxe)ln(arctanlimxx编辑ppt26闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 第一章 编辑ppt27注意注意: 若函数在若函数在开区间开区间上连续上连续,结论不一定成立结论不一定成立 .一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在在闭区间闭区间上连续的函数上连续的函数即即: 设设, ,)(baCxf则, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值值和最小值. .或在闭区间内或在闭区间内有间断点有间断点 在该区间上一定有最大

13、在该区间上一定有最大(证明略证明略)编辑ppt28例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值无最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也无最大值和最小值也无最大值和最小值 又如又如, 编辑ppt29推论推论. 二、介值定理二、介值定理定理定理2. ( 零点定理零点定理 ), ,)(baCxf至少有一点至少有一点, ),(ba且使.0)(f0)()(bfaf( 证明略证明略 )在闭区间上连续的函数在该区间上有界在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 编辑ppt30中间值定理中间值定理设设 , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf则对则对 A 与与

14、 B 之间的任一数之间的任一数 C ,一点一点, ),(ba证证: 作辅助函数作辅助函数Cxfx)()(则则,)(baCx 且且)()(ba)(CBCA0故由零点定理知故由零点定理知, 至少有一点至少有一点, ),(ba使,0)(即即.)(Cf推论推论:Abxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有至少有在闭区间上的连续函数在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最必取得介于最小值与最大值之间的任何值大值之间的任何值 .编辑ppt31例例. 证明方程证明方程01423 xx一个根一个根 .证证: 显然显然, 1 ,014)(23Cxxxf又又,01)0(f02) 1 (f故据零点定理故据零点定理, 至少存在一点至少存在一点, ) 1 ,0(使使,0)(f即即01423在区间在区间)1 ,0(内至少有内至少有编辑ppt32)15)(1()3)(2)(1(2lim nnnnnn1、求下列数列的极限、求下列数列的极限习题选讲习题选讲)1(limnnn1sin3limnnnn115)2(5)2(limnnnnn编辑ppt33)(lim442122xxx1cos102limxexxxxxsinlim2、求下列函数的极限、