新高考新教材1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(1)B提高练(解析版)

1、1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(DB提高练一、选择题1. (2020乐清市知临中学高二期末)已知平而a的一个法向量是(2,allp,则下列向量可作为平面的一个法向量的是()A. (4,2,-2)B. (2,0,4) C. (2,-1,-5)D. (4,-2,2)【答案】D【解析】平面a的一个法向量是(2,2/，设平而夕的法向量为(X，FZ),则(2,l,l) = l(x,y,z),4wO，对比四个选项可知，只有D符合要求，故选：D.2. (2020三明三中高二期末(理)如图，在正方体ABCD-4与GQ中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为AD的中点，则下列向量中

2、，能作为平而AEF的法向量的是()A. (1, 一2, 4)B. (-4,1, -2)C. (2, -2, 1)D. (1, 2, -2)【答案】B【解析】设正方体棱长为2,则A (2, 0. 0), E (2, 2, 1), F (1, 0, 2),，瓦=(0，2, 1),祈=(-1，0, 2),设向量k=(x, y, z)是平面AEF的一个法向量n AE = 2y + z = 0则 一，取尸L得x=-4, z=-2,.,.万=(-4, 1, -2)是平面AEF的一个法向量，因n - AF = -x + 2z = 0此可得：只有B选项的向量是平面AEF的法向量,故选：B.3.(2020北京高

3、二期末)己知直线/的方向向量为1平而a的法向量为1则“而.；=o”是“/ / a ”的()B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件A,充分不必要条件C.充要条件【答案】B【,析】7, =0, ？ 二7 =0，即J.,不一定有/a,也可能/ua“是“/ 。”的不充分条件，= I/。，可以推出前J_3,而G = 0”是“/ /a ”是必要条件，综上所述，“正.=o是/ a ”必要不充分条件.故选B 4. （2020浙江高二月考）如图，在棱长为2的正方体A8CO A8A中，点尸分别是棱3CCG的中点，尸是侧而BCG片内一点，若A尸平行于平面A,则线段AP长度的最小值为（）【答案】B【解析】以。为原

4、点，ZM为X轴，OC为）轴，。2为z轴，建立空间直角坐标系,4(2,0,0),七(1,2,0),尸(0,2,1),A(2,0,2),荏=(-1,2,0),9=(-2,2,1),设平面AEF的法向量 =（x, y,z）/? AE = -x + 2y = 01 一/ 、则，一 ,，取丁 = L 得 =(2,1,2 ,”AF = 2x + 2y + z = 07设P(a2,c),0Wa42,0cW2,则 A户=(。-2,2,c 2), A】P 平行于平面 AEF,，山山仅、与。= c = g时，鼠;2A户行= 2(a 2) + 2 + 2(c 2) = 0.整理得a + c = 3,，线段吊尸长度

5、171= 7(fl-2)2+22 + (c-2)2 = 7(-2)2+4 + (l-fl)2A/1最小值苧.故选：B.5.（多选题）（2020怀仁市一中高二期末）已知直线1过点P（L0、- 1）,平行于向量力=（2,1）,平面a过直线1与点M(123),则平而。的法向量可能是()A. (1,-4,2) B. (,1,)C. ( ,1,)D. (0.-1,1)【答案】ABC【解析】由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量不= (2,1,1),和向量两，而丽=(1，2, 3) - (1, 0,-1) = (0, 2, 4),选项 A, (2, 1, 1)(1, 4 2) =0, (0, 2, 4)

6、 . (1,-4, 2) =0 满足雇宜,，收正确；选项B,(2, 1. 1)(,，-1, 1)=0, (0, 2, 4) - -, -b -，=04242上正门，汝正丽：也以 c, 1, 1 ： (，1, 一 )=0, (0, 2, 4)-1, - 1)=0 满足垂直，4242故正确：选项 D, (2, 1, 1) - (0, -1, 1) =0,但(0, 2, 4) (0, -1, 1)却，故错误.6.(多选题)(2020河北省盐山中学高一期末)若长方体ABC。-A81GA的底而是边长为2的正方形，高为4, E是。的中点，则()A. 上 AB Q c.三棱锥G-qCE的体积为m【答案】CD

7、【解析】B.平面/CE平而D.三棱锥G-8cA的外接球的表面积为24兀以A反AJA4为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则40.0,0), 3(2,0,0), C(2,2,0), 0(020), A(0,0,4),1(2,0,4), E(022),所以8石=(一2,2,2), 平= (2,0T),因为4白为总=-1+0+8 = 4。0,所以瓦后与诵不垂直，故A铝：。区=(0,2,4).而= (-2,0,2),设平n - CB. = 0_!，得n-CE = 0-2y. +4幻=0(y1 =2z.面BCE的一个法向量为 =(X,),Z1) .则由二 一 八，所以,不妨取、-22+2&=0司=&

8、q=l,则玉=1. % =2所以7 = (1,2,1),同理可得设平面A3。的一个法向量为而= (2,2,1),故不存住 奕数4使得【忘，故平面4CE与平面4即不平行，故B错误;在长方体4BCD-AqGA中,B 1 平面CDD ,故与G是三棱锥5 -CE三的高,所以11 1Q&馋=&他1珀=5, -5 =-x-x4x2x2 = - ,故C正确；三棱锥G 的外接球即为JJ X0J长方体A88 A8A的外接球，故外接球的半径R =+ 2? + 4、= ,所以三棱推C8cA的 2外接球的表面积5 = 4乃/?2=24用，故D正确.故选：CD.二、填空题7 .给出下列命题：若为共而向量，则所在的直线平

9、行：若向量所在直线是异而直线，则 一定不共而：平而的法向量不唯一，但它们都是平行的：平行于一个平面的向量垂直于这个平面的法 向量.其中正确命题的个数为.8 . (2020上海市青浦区第一中学高二期中)若平面。的一个法向量为兀=(3,y,2)，平面夕的一个法向量 为元= (6,2,z),且。分，则丁=, z =.一【答案】LT【解析】.aa .；石，.存在实数入使得=入西，即(-3, y, 2) =X (6, -2, z),-3 = 62/. y = -22 ,解得 X= - - , y=l, z= - 4.2 =改29.在空间直角坐标系中，已知三点A(L2,l), 8(0,3,1), C(2,

10、-2,l),若向量与平面48c垂直，且 同=&1,则3的坐标为.【答案】(2,-4,-1)或(-2,4,1)【解析】由d(”2,1), 5(0,-3,1), C(2,2,1),可得血=(1,一1,2)3 = (1,0,2),万福=0-X - y + 2z = 0x = 2x = -2设 = (x,y,z)，根据题意可得，万衣=0,可得x + 2z = 0 ，解得，y = -4 或，y = 4.同=a7厂+厂+ 7 =21z = -lZ = 1所以 = （2,T,-1）或力=（一2,4,1）.10.如图，在长方体ABCDBDi中，力=皿=1为CD的中点，点P在棱3力上，且。尸平面屈出则【答案】【

11、解析】如图，建立分别以HAzLELLh所在直线为xj”轴的空间直角坐标系设 3=心（0,04）,则 a（000）B（a（M）R（M,0）.展,1.0）于是福=00.1）,族=（，1,0）.元?=0-1 力）.:DP 平而即坦,存在实数九必使而=上画+,次，即(01力)=如01)+(1,0)=(而+ 凡/1).伽+彳=o.= .1,即 乂尸芭A = b,三、解答题1L已知M为长方体.铝CZM/CS的棱BC的中点，点P在长方体ABCD-A.BD,的而CCQQ内，且PM 平面仍。,试探讨点P的确切位置.【解析】以D为坐标原点，以DA.DCJ)Di所在直线分别为xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系.AiA根据题意可设 X(4,0,0*(。设 0)n(0,0,c)7(0yz)C(0a。),则 崂 Q,b,o).m =子丫 =2z = -nc、nR.又PM/平面班QQ,根据空间向量基本定理知,必存在实数对(“),使得丽=加济+西.-a = ma.%_y = 7nb.解得-z = nc,则点尸的坐标为(01,-nc).所以点P在平面DCC的边DC的垂直平分线EF上.12.(2020银川一中中学高二月考)已知三棱锥P.43c与方尸分别为棱E4/APC的中点, 求证:平面DEF/平而-15C.【解析】如图,设而=a.PE =bF =c,则港=2ajB =2bjc =