高等数学及其应用电子教案（第二版）（同济大学数学系）ch(9)

1、编辑ppt第十二节第十二节 曲线的曲率曲线的曲率编辑ppt本节要点本节要点 本节引入平面曲线曲率的概念并给出相应的计算方本节引入平面曲线曲率的概念并给出相应的计算方一、平面曲线的曲率概念一、平面曲线的曲率概念二、曲率公式二、曲率公式法法.编辑pptM1 M2M3 在下图中在下图中, 我们看到弧段我们看到弧段 比较平坦比较平坦, 而弧段而弧段 12M M点点 再到点再到点 时时, 切线所转过的切线所转过的2M3M一、平面曲线的曲率概念一、平面曲线的曲率概念23M M1M弯曲得比较比较厉害弯曲得比较比较厉害. 即动点沿这段弧从点即动点沿这段弧从点 到到角有较大的差异角有较大的差异.编辑ppt 但是

2、但是, 转角的大小还不能完全反映曲线的弯曲程度转角的大小还不能完全反映曲线的弯曲程度.例如在下图中例如在下图中, 两段弧两段弧 与与 有相同的切线转有相同的切线转12M M12M M角角, 但曲线的弯曲程度则是不同的但曲线的弯曲程度则是不同的.编辑ppt则则 的弧长为的弧长为 , MM 设平面曲线设平面曲线 是光滑的是光滑的, 在在 上取一点上取一点 作为度量弧作为度量弧CC0M度的基点度的基点, 设点设点 是曲线上任意一点是曲线上任意一点, 弧弧 的弧长的弧长0M MM为为 点点 是曲线是曲线 上的另外一点上的另外一点, 弧弧 的弧长为的弧长为0M M, sMC点点 处切线的倾处切线的倾,s

3、s M角为角为 处切线的倾角为处切线的倾角为 ,MMMxyO s, s切线的转角为切线的转角为编辑ppt称称 为弧段为弧段 的的平均曲率平均曲率, 记为记为 即即sMM,K.Ks若当若当 时时, 平均曲率的极限存在平均曲率的极限存在, 则称此极限为则称此极限为0s lim.MMKs（2.29）曲线曲线 在点在点 处的处的曲率曲率, 记为记为 即即,KMC编辑ppt0,Ks从而曲率从而曲率lim0.MMKs即即: 直线上任意点处的曲率为零直线上任意点处的曲率为零.例如例如 对直线而言对直线而言, 动点从动点从 到到 相应的切线的转角相应的切线的转角MM0,为为 则则编辑pptsR1,KsR1li

4、m.MMKsR因而因而, 此说明此说明圆周上每一点的曲率相同圆周上每一点的曲率相同,再例再例 设曲线是半径为设曲线是半径为 的圆的圆, R率为率为且等于半径的倒数且等于半径的倒数.,sR 则则 平均曲平均曲编辑ppt二、曲率公式二、曲率公式 设曲线的直角坐标方程为设曲线的直角坐标方程为 ,yf x在曲线上取定点在曲线上取定点 作为度量弧长的基点作为度量弧长的基点, 并并000,Mxy设曲线在区间设曲线在区间 上对应的一段弧长为上对应的一段弧长为0,x x ,s x曲线上的点曲线上的点 与与,M x y,Mxx yy ,ss xxs x MMxyO sab yf x一段弧长为一段弧长为且有二阶导

5、数且有二阶导数, 曲线曲线之间的之间的编辑ppt而线段而线段 的长度为的长度为MM22,MMxy 并注意到并注意到0lim1,xsMM 因因22000limlimlimxxxxyss MMxMMxx 21,y编辑ppt又因又因, 即即tan, arctan,yy从而从而由此即得由此即得 0limlimMMxKss 即即2d1.dsyx（2.30）20lim,1xydxdxy （2.31）编辑ppt3/ 202= lim.1xyxsyx （2.32）编辑ppt , ,xttyt 其中其中: ,x ty t若曲线若曲线 由参数方程由参数方程C 22.ttttKtt二阶可导二阶可导, 且有且有220

6、,xy则则 编辑ppt例例2.82 求求lnyx解解 因因 211,yyxx 由计算公式得曲线在任一点处的曲率为由计算公式得曲线在任一点处的曲率为23/23/23/22221/,11 1/1yxxKyxx注意到注意到 0lim0,lim0,xxK xK x在任意点处的曲率在任意点处的曲率.此说明当此说明当编辑ppt 或或 曲线就越平坦曲线就越平坦.0 xx 12345-4-3-2-11编辑ppt例例2.83 计算抛物线计算抛物线2yaxbxc解解 因因 代入公式代入公式得得2,2 .yaxb ya3/222,12aKaxb由于在上式中由于在上式中, 分子为常数分子为常数, 故当故当 时时, 曲

7、率曲率20axb达到最大达到最大, 即当即当 曲率取最大值曲率取最大值, 此时此时, 对对K/2xba 的曲率的曲率, 并求出曲率最大处的位置并求出曲率最大处的位置.应曲线上的点为抛物线的顶点应曲线上的点为抛物线的顶点.上任意一点处上任意一点处编辑ppt 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径 设曲线设曲线 在点在点 处的曲率为处的曲率为 作出作出C,M x y0 ,K K 点点 处曲线处曲线 的法线的法线, 并且在曲线凹向一侧的法线上取并且在曲线凹向一侧的法线上取MC点点 使使,D1.MDKxyoD1K 以以 为圆心为圆心, 为半径作圆为半径作圆,D称该圆为曲线称该圆为曲线 在点在点 的的曲率曲率

8、CM圆圆, 为曲线为曲线 在在 处的曲率处的曲率 DCM编辑ppt中心中心, 半径半径 称为曲线称为曲线 在点在点 处的处的曲率半径曲率半径.CM 由定义可知由定义可知, 曲线曲线 在点在点 处与其曲率圆有相同的切处与其曲率圆有相同的切CM线与曲率线与曲率, 并且在点并且在点 的邻近处有相同的凹向的邻近处有相同的凹向.M编辑ppt例例2.84 （物体作平面曲线运动时所受的向心力）（物体作平面曲线运动时所受的向心力） 某游艺园的空中游艺车沿抛物线路径某游艺园的空中游艺车沿抛物线路径2100 xy （ 轴轴y铅直向上铅直向上, 单位为单位为 ）作俯冲运动）作俯冲运动, 在坐标原点在坐标原点 处游处

9、游mO艺车的速度为艺车的速度为20m/s.v 如果一乘客质量如果一乘客质量 求当求当70kg,游艺车冲至最低点即原点游艺车冲至最低点即原点 处时处时, 坐椅对该乘客的压力坐椅对该乘客的压力.O解解 由物理学知识知由物理学知识知: 物体作圆周转动所受到的向心力物体作圆周转动所受到的向心力为为2,vMR其中其中 是物体的质量是物体的质量, 是线速率是线速率, 为转动为转动MvR半径半径, 由此可知由此可知, 当物体作一般的平面曲线运动时当物体作一般的平面曲线运动时, 在某在某编辑ppt点所受到的向心力的大小为点所受到的向心力的大小为22.vMMv K这里这里 为为曲线在该点的曲率半径曲线在该点的曲率半径, 为曲率为曲率.K 在原点在原点 处座椅对乘客的压力处座椅对乘客的压力 是乘客所受