齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)

1、线性方程组解的结构(解法)一、齐次线性方程组的解法【定义】r(A)= r <n，若AX = 0 (A为m n矩阵)的一组解为 自,&,“A，且满足：1 h，|，&r线性无关；(2) AX = 0的)任一解都可由这组解线性表示 .则称&，&，|“，& r为AX = 0的基础解系.称Xkiak2 &"IknrEnr为AX = 0的通解。其中k,卜2,，加为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组 AX = 0有解，则(1)若齐次线性方程组 AX = 0 (A为m n矩阵)

2、满足r(A) n ,则只有零解；(2)齐次线性方程组有非零解的 充要条件是r(A) n .(注：当m n时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 A 0.)注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于n r(A).2 、非齐次线性方程组 AX B的同解方程组的导出方程组(简称“导出组” )为齐次线性方程组 AX 。所对应的同解方程组。由上述定理可知，若 m是系数矩阵的行数(也即方程的个数)，n是未知量的个数，则有：(1) 当m n时，r(A) m n ,此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数 大于方程的个数就一定有非零解；

3、(2)当m n时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式A 0；(3)当m n且r(A) n时，若系数矩阵的行列式|A 0,则齐次线性方程组只有零解；(4)当m n时，若r(A) n ,则存在齐次线性方程组的同解方程组；若r(A) n ,则齐次线性方程组无解。1、求AX = 0 (A为m n矩阵)通解的三步骤(1) A 行 C (行最简形)；写出同解方程组 CX =0.(2)求出CX =0的基础解系&, &,|“，& r ;写出通解Xk1 &k2 &Illkn其中k1, k2,，kn-为任意常数.2X13x?X35x40,3X1X22x3X40

4、,4X1X23X36x40,X12x24X37x40.【例题1】解线性方程组解法一：将系数矩阵A化为阶梯形矩阵1014III431672643显然有r（A）则方程组仅有零解，即X1X2X3X40.解法二:由于方程组的个数等于未知量的个数（即n ）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即以用行列式的方法来判可计算系数矩行列式：3270 ,知方程组仅有零解,X1X2X3X40.注：此法仅对n较小时方便X1X2X3X4X50,3X12x2X3X43X50,X22X32X46X50,5X14x23X33X4X50.【例题2】解线性方程组解：将系数矩阵A化为简化阶梯形矩阵1A 305121411231

5、12313611 ( 5)1 ( 3)4r2100011111222122216662r2 2(1)r1r31) r42可得r(A) 2则方程组有无穷多解,同解方程组为X1X2X32X3X42X45X5, 6X5.(其中 X3, X4,人为自由未知量）令 X3 1 , X40 , X5 0 ,得 X11必 2 ；0 ,得为1,X22;1 ,得 Xi 5,X26,12125611，20,30010001所以，原方程组的通解为 Xk1基础解系为于是得到原方程组的一个1k2二、非齐次线性方程组的解法k3 3 ( k1 , k2 , k3R ).求AX = b的解（Am n, r(A)用初等行变换求解

6、,不妨设前列线性无关c11c12c22c1 rc2r5C2d1d2(A：b)HI crndrdr 10其中g 0(i1,2,|,r),所以知(1)dr 10时，原方程组无解.(2) dr 10,r n时，原方程组有唯一解.dr 10,r < n时，原方程组有无穷多解.其通解为,kn r为任意常数。其中:,A r为AX = b导出组AX = 0的基础解系，0为AX = b的特解,【定理1】如果是非齐次线性方程组 AX=b的解,是其导出组 AX=0的一个解，则是非齐次线性方程组AX=b的知I。【定理2如果°是非齐次线性方程组的一个特解,是其导出组的全部解，则 0是非齐次线性方程组的

7、全部解。由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解其中：0是非齐次线性方程组的一个特解,nr是导出组的一个基础解系。【例题3】判断下列命题是否正确,A为m n矩阵.AX=0只有零解,则AX=b唯一解.答：错,因 r(A)= n, r (A)= n = r(A | b)(2)AX=0有非零解,则AX=bl'无穷多解.答：错,因 r(A)< n, r (A)= r (A | b)AX=bW唯一解,则AX=0只有零解.r(A)=r(A | b) = n.(4)AX=0有非零解,则ATX=0也有非零解.答：错,A为m n,r(A)=m&l

8、t;n, r(AT)=m 这日AX=0只有零解.例如A为 3 4, R(A)=3 <4, r(A)=3=m 若r( A)= r =m则AX=b必有解.答:卡寸，r(A)=r=m= r( A b).(6)若r(A)=r =n,则AX=b必有唯一解.答：错，A为n 时，可以 r (A | b) = n+1.唯一解：r(A) r(A)线性方程组有唯一解【例题4】解线性方程组X12X14X1X2X2X22x32x34X31,4,2.n LI4 22 41 12 4BA一 AII:角2)4)2r2 16 0 001 0 3 0 100LI 1-22)r 4-3 /.V2 (3)X1可见r(A)r(

9、A)3,则方程组有唯一解，所以方程组的解为X2X31,2, 0.无解:r(A)r(A)线性方程组无解(或若阶梯形方程组出现dr0 ,则原方程组无解)【例题5】解线性方程组解：A (AB)2X1X1X22x2X3X32x31,2, 4.2111121212121212r1 r2r1 2 r20333r2 r30333 ,1124r1 ( 1)r303360003X1X22 ,所以原方程组无解可见 r(A) 3 r(A)无穷多解：r(A) r(A) n线性方程组有无穷多解【例题6】解线性方程组X1 2x( 2x1X2X2解：A(A B)10X32x3r1rr2 2 r2 1 r2 (r3 r11)

10、可见r(A)r(A)X2x32X35X4,7X4.令X30,X4又原方程组的2X43x410x42) r22 r33,1,4.则方程组有无穷多解，其同解方程组(其中X3, X4为自由未知量)0,得原方程组的一个特解导出组的同解方程组为X1X21410X32x35X4,7X4.(其中X3, X4为自由未知量)令 X3 1 , X4 0 ,得 X11,X2X30,X45区7,于是得到导出组的一个基础解系 为所以，原方程组的通解为k1【例题7】 求线性方程组:k2 2k2R).2X1X1X1解：A (A B)X22x2X2X3X4X32x33X4X41,2,3.的全部解.r1r2r1 ( 2)r1

11、( 1)2310334r20222(3)(2)(1)31r3r3(13)2(3)(2)12可见r(A)r(A)X13232 1所以方程组有无穷多解,同解方程组X2X33X4,232x4,1X4.2（其中X4为自由未知量）令X40,可得原方程组的一个特解X1又原方程组的导出组的同解方程组为X2X332X4,3-X4,(其中X4为自由未知量)21- x4.2 4令X42 （注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数），得X1 3,X23,X3 1,于是得到导出组的一个 基础解系所以，原方程组的通解为 Xk ( k R).【例题8】求非齐次线性方程组X13x2 3x3 2x4 x52x1 6x2 x

12、3 3x4 2X1 3x2 2x3 x4 x5 3x1 9x2 4x3 5x4 x5的全部解。12131241241241 332130 051240000000000001332611 32394213302111515133005005005因为r(A)r(A) 2 5,所以非齐次线性方程组有无穷多组解，取自由未知量为X2, X4, X5 ,原方程组与方程组X1 3x2 3x3 2x4 X53 口加向解5X3 X4 2X540取自由未知量x2,x4,x5为0 ,得原方程组的一个 特解：03 c 4i一，0, ,0,0再求其导出组的基础解系，其X13X23x32x4X50导出组与方程组123

13、45 同解5X3 X4 2X5010对自由未知量X2,X4,X5分别取 0,10000 ,代入上式得到其导出组的一个基础解系为,215 ,325010001则原方程组的全部解为：X C1 1 C2 2 C3 3三、证明与判断【例题9】已知1, 2, 3是齐次线性方程组 AX= 0的一个基础解系，证明次线性方程组AX= 0的一个基础解系。证：由已知可得：齐次线性方程组 AX= 0的基础解系含有 3个解向量，并且由齐次线性方程组解的性质可知1, 12, 123都是AX= 0的解；因此只要证明1, 12, 123线性无关即可。设存在数k1,k2,k3使k11 k2 ( 12

14、 )k3 ( 123)0 成立。整理得：卜 k2 k3 )1*2 k3 )2 卜3 30( 1)已知1, 2, 3是齐次线性方程组AX= 0的一个基础解系，即得1, 2, 3线性无关，则由(1)得k1 k2 k30k2 k30 ,解得：k1 k2 k30 所以1, 12, 123线性无关。k30即1, 12, 123也是齐次线性方程组 AX= 0的一个基础解系。【例题10】已知&,&,&, &是齐次线性方程组AX= 0的一个基础解系，若1& t&, 2& t&, 3t&,4& t&。讨论t满足什么条件时1,

15、 2，3，4是齐次线性方程组AX= 0的一个基础解系解：首先,1, 2, 3, 4是齐次线性方程组 AX= 0的解，只须证1 , 2 , 3 , 4线性无关由已知有：(1, 2, 3, 4)(&,&,&, a)因为:1 , 2, 3 , 4线性无关1 0 0 tt 1 0 00 t 1 00 0 t 1所以当t1时,1, 2, 3, 4是齐次线性方程组AX= 0的一个基础解系【例题11已知n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且r(A)=n-1,求线性方程组 AX=0的通解.解：由r(A)= n-1知AX=0的基础解系有一个非零解向量.又 ai1ai2"J ain0

16、, i 1,2,|“，n,即 ai1 1 ai2 1 ain 10Xk(1,1,|,1)T, (k为任意常数)为所求通解.【例题12】设X1,X2，Xt是非齐次线性方程组AX =b 0的解向量，证明：对于 %=k1X+k2 X2+ +kt X当 k1 +k2+kt=1 时，是 AX=b 的解；当 k1 +k2+kt=0 时，X)是 AX=0 的解.证：AX=A( k1 X+k2 %+-+ktX)= k1 AX+k2 AX+ktAX=k1 b+k2 b+ktb=(k1+k2+kt)b故：当 k1+k2+kt=1 时，AX =b当 k1 +k2+kt=0 时，AX=0由此可见，非齐次方程组的解对于

17、线性组合并不一定封闭，只有组合系数的和等于1的时候，解向量组的线性组合才是非齐次方程组的解！【例题13】已知1, 2为AX的两个不同解，&, &是AX = 0的一个基础解系.k1,k2为任意常数则AX的通解为（(A) ki 4 k2( 4(B)K& k2( &(C)ki &k2 ( 1(D)K & k2( 12) -22【例题 14】3是四元非齐次线性方程组AX= b的三个解向量，且矩阵A的秩为 3,1, 2,3, 4T,230, 1, 2, 3 T，求 AX= b 的通解。解：因为A的秩为3,则AX= 0的基础解系含有 4-3= 1个解向量。由

18、线性方程组解的性质得:1)是AX= 0的解,则解得AX= 0的一个非零解为:2,3,4,由此可得AX= b的通解为:1,2, 3, 4T c2, 3,4,【例题15设A是4阶方阵，(W0)是4X1矩阵,r(A)2,3,4 是 AX =的解,且满足 124208,230 33 ,3321 01试求方程组AX = 的通解.解：先求AX二的一个特解12 04再求AX = 的一个基础解系3(2 23)021，32(2)(3 327015因为4 R(A)2,&, &线性无关,所以&, &是AX = 0的一个基础解系.故方程组AX =的通解是k1 a1204k10213k227 , k1,k2为任意常数