高考讲坛(2)极值点偏移问题的处理策略及探究

1、极值点偏移问题的处理策略及探究所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点 左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数/（X）在"X。 处取得极值,且函数y = /（x）与直线y = /?交于A（X,Z?）, 8（占,6）两点，则 A3的中点为M（止乜，而往往乜5.如下图所示.22极值点没有偏移此类问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给 出，很多学生对待此类问题经常是束手无策。而且此类问题变化多样, 有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的。不含参数的 如何解决含参数的又该如何解决，参数如何来处理是否有更方便的方 法来解决其实，处理的手段有很多

2、，方法也就有很多，我们先来看看 此类问题的基本特征，再从几个典型问题来逐一探索！【问题特征】极值点左偏：4+%2%，x=土/处切线与x轴不平行：若/（冷上凸（/递减），则/'作手/'（%）=0,若/下凸（厂递增），则/空&r伉）=0,极值点右偏：为+4：2.%, x;%/处切线与x轴不平行；若/住）上凸（/'递减），贝/'（） = 0,若/（X）下凸（广（X）递增），则/工手卜/'（引=0,【处理策略】一、不含参数的问题.例1. （2010天津理）已知函数/（x） = x/、（xeR）,如果王¥超，且f（x） = f（x2）,证明:X

3、+± >2.【解析】法：r（x） = （l-x）c7 ,易得f（x）在 （y）,l）上单调递增，在（1,20）上单调递减,时，f （x） n , /（0） = 0, xf+co 时， /（x） -0,函数/（x）在x = l处取得极大值/，且/=1,如图所示. e由/（再）=/（*2），X1 W占，不妨设X v x2 ,则必有0 VX| V 1 V X2，构造函数 F(x) = /(1 + x)-/(I-x),x e (0,1,则尸(幻=f(l + x)+ r(l-x) = -(2A-l)>0,所以 E(x)在xe(0,l上单调递 e增，F(x) > F(0) =

4、0 ,也即/(l + x)>/(l-x)对 xe(0,l恒成立.由。<玉，则1 一%w(0J,所 以 /(1 + (1-x1) = /(2-xi)>/(1-(1-x1) = /(x1) = /(x2),f(2-xx)> f(x2),又因为 2-2,为 e(l,+oo),且f(x)在(l,+«o)上单调递减,所以2 -再v/，即证% +修2.法二：欲证王+公>2,即证>2-玉，由法一知。<内v 1 <% ,故 2-XrX2 (1,4-00),又因为/(X)在(1,-F<o)上单调 递减，故只需证 /(x2)</(2-),又因为

5、/但)=/*2),故也即证 /(x,)</(2-xJ,构造函数 ”(.v) = /(x)-/(2x),xe(0,l),则等 价于证明H(a) v 0对x e (0,1)恒成立.由 HXx) = fx)+f (2-x) = (1 -e2x-2)>0 ,则”(x)在 xe(0,l)上单调递 ex增，所以H(x)=0,即已证明H(x)vO对xe(0,l)恒成立，故原不 等式Xi + W > 2亦成立.法三：由/(%) = /(xJ ,得=招6-与，化简得*, 王不妨设4 > X,由法一知，0 c X v 1 v & 令，=公一，则，> 0,£=，+玉，

6、代入 式，得e' = ,反解出, 则<= 2. +/ =+/ ,内e -1.e -1故要证：%, + x2 >2,即证：-+ r>2,又因为，-1>0,等价于证明： e -12f+ (1-2)(，-1)>0，构造函数 G(t) = 2t + (t-2)(ef -l),(r>0),则 Gt) = « - l)d + yGt)=步 > 0 ,故G")在fe(0,+oo)上单调递增,GXt) > G0) = 0 ,从而 G(f)也在f w(0,+oo) 上单调递增，G(t) > G(0) = 0 ,即证 式成立，也即原

7、不等式玉+超>2成 立.法四：由法三中 式，两边同时取以e为底的对数，得 x7 x = In =" = In - In x1 , 也 即 i-=也1 = 1 , 从 而 一 8 一 ”演上+1%+占=a+ x,) mTn内=5m 土 = j in工 - 一为 & 一玉 ±_1 为令/= ±”>1),则欲证：X+x>2,等价于证明：上lnf>2, 演/ _ 构造M。)= (/ + 1)ln/ =(1 + 三)Inr,(r>l),则 Mt)=匚-T/叫, r-1r-1- 1厂又令喇=一1_2 八 nr,«>l),

8、则 (0 = 2r - 2(ln r +1) = 2(r -1 - In t), 由于 对V/e(l,+s)恒成立，故的)>0, *(f)在t e(L+oo)上单调递增,所以西)>例1) = 0,从而AT(/)>0,故M(f)在/e(l,xo)上单调递增，由洛卜匕塔法则次口 ： limM(t) = lim " += nni= jmqn/ + U11)= 2 ,ktix>i t i工-I (1y 工 ff即证A/(f)>2 即证 式成立，也即原不等式+超>2成立.【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元 不等式，方法一、二利用构造

9、新的函数来达到消元的目的，方法三、 四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从 而达到消元的目的.二、含参数的问题.例2.已知函数/'0) = x-C有两个不同的零点打打，求证：xI+x2 >2 .【解析】思路1：函数/a)的两个零点，等价于方程的两个实 根，从而这一问题与例1完全等价，例1的四种方法全都可以用；思路2:也可以利用参数a这个媒介去构造出新的函数.解答如下：因为函数/*)有两个零点内，所以卜尸",(2)由+ (2)得:耳+=4(夕”+)，要证明须+x2>2,只要证明+*) > 2 ,由一得：mx,="(/),即 =士

10、二_, 1 - e 2司 +00丑-M , 1即'正：(x, -x2) -> - > 2(x, -x2) -> 2 ,e -e -e - -1不妨设X >工2，记，=X-9，则f >0,/ > 13因此只要证明：/.5>20"当U>0, /一1 ，+1再次换元令"=x > 1, t = In x,即证 lnx-3 > 0Vxe (l,+oo)x + 1构造新函数 F(x) = lnx- 2d), FXl) = 0x + 求导 F(a) =-L = -(A-1)- >0,得 F(x)在(1,4-00)递

11、增，A (X+1)-X(X+1)所以F(x) > 0 ,因此原不等式七+占> 2获证.【点评】含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元打的基础上, 又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数, 从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个 变元的新的函数。例3.已知函数/(A)= ln.r-av , a为常数，若函数f(x)有两个零点芭,公 ,试证明：xx X2>e2.【解析】法一：消参转化成无参数问题：/(x) = 0 = Inx = or = Inx = aelnx , x1,是方程/(x) = 0 的两根，也是方程 In x = ael

12、nx 的 两根,则 lnxplnx2 是 x = aex ,设 u =lnxp/2 =nx2 g(x) = xex , 贝I g(%) = g(D , 从而 为 > J = InX+ln%2 > 2 0 %+% > 2 ,此问题等价转化成为例1,下略.法二：利用参数4作为媒介，换元后构造新函数：不妨设X > A 2 ,:nx 一、= OJnx2 -ax2 =0, / lnxt +lnx2 =a(x1 +x2)Jn-Inx2 =a(xl -x2),=欲证明七入,>/,即证In%+lnx, > 2.%一占e/ In % + In k = a(X + 占)，e R

13、f7 ii a > - 玉+原命题等价于证明1呷T门色 >= ,即证：乜2 GJ),令 X -x2 X + x2x2 x1 + x2r = ,(r>l),构造g(/) = lnf-卫心>1,此问题等价转化成为例2中 X)t + 思路二的解答，下略.法三：直接换元构造新函数:°"设占 <3 = &，。>1)，x x2 In x x- xxmiIn tv. In f + In x.贝 ijx, =5, = / =- = tIn $In &匕 M 山 1 In / ,1! In t r In r反降 出：In % =-Jn x2

14、 = In tx = In r + In xx = In f h=-故玉石> J = In%+lnx? >2 = Lln/>2 ,转化成法二，下同，略. t 例4.设函数/(x) = ex -ax + a(a e /?),其图像与x轴交于A(%,0), 8(0)两 点，且为 < 占.证明：/'(Jx . x2 ) < 0.【解析】由/(%) = /-o¥ + aj'(x) = e'-。，易知:。的取值范围为(e+<«), /(a )在(-co, In a)上单调递减，在(In a, +=o)上单调递增.法一：利用通

15、法构造新函数，略；法二：将旧变元转换成新变元：,“”两式相减得：”=力士，e" -ax2 +a = 0,占一%V己 i =,(/>0),则= .(_(/_ /),22x2 -xx 2t设g(0 = 2t-(e'-e-f),a>0),则 g(f) = 2© + /)<0 ,所以 g在f w(0, +oo)上单调递减，故g(/)vg(0) = 0,而三一>。，所以r(三土)<0, 2/2又r(X)= 6>，一"是 R 上的递增函数，且 < ' ；d- , *, X, ) < 0 .容易想到，但却是错解的过

16、程：XiXf欲证：八口不)<。，即要证：/亦要证6丁-公。，也即 2证：yvc广，很自然会想到：对卜"一3+" = °0卜"="®T)'两式* 一 ax, + a = 0, e" = a(xy - 1),相乘得：e"。=cJ(M -1)(工2 T),即证：($-1)(考虑用基本不等式(X)-l)(x2 -1)< (-1- _-)2 ,也即只要证：x1+x2 <4.由于 X > 1, 公 > In ". 2当取a = /将得到±> 3 ,从而为+占>

17、; 4.而二元一次不等式$+/<4对任意46(4+8)不恒成立，故此法错误.【迷惑】此题为什么两式相减能奏效，而变式相乘却失败两式相减的思想基础是什么其他题是否也可以效仿这两式相减的思路【解决】此题及很多类似的问题，都有着深刻的高等数学背景.拉格朗日中值定理：若函数/(X)满足如下条件：(1)函数在闭区间d勿上连续；(2)函数在开区间(涉)内可导，则在他涉)内至少存在一点g,使得b-a当/(b) =/(a)时，即得到罗尔中值定理.上述问题即对应于罗尔中值定理，设函数图像与戈轴交于A(xpO),B(x2,O),两点，因此勖=0。用匕®=00竺生%匕2=0,一x2 -x12x2 -

18、x由于/(七) = /(±)=。，显然/(占)+ /3)=。与/*|>/区)=。,与已知 /3)=/&)=。不是充要关系，转化的过程中范围发生了改变.例5. (11年，辽宁理)已次口 函数 f (x) = In x “x? +(2-a)x.(I)讨论的单调性;(II)设。>0,证明：当 0<工<1 时，/(- + x) > /(-X)； aaa(III)若函数y = /(x)的图像与x轴交于A,8两点，线段A6中点的横坐标为x0,证明：fko) < 0.【解析】(I)易得：当时，/(x)在(0,+oc)上单调递增；当>0时,/(X)在

19、(0)上单调递增，在(士)上单调递减. aa(II)法一：构造函数 g(x) = J'(Lx) >/(!-x),(0<-<),利用函数单 aaa调性证明，方法上同，略；法二：构造以为主元的函数，设函数"3)=/d+x)>/d-x),则 aah(a) = ln(l + ax') - ln(l - ax) 2cix , h'a) = - + 2x= '：一、, 由1 + ax -ax 1-aX0<x<,解得 0<<L,当 0<av»!"时，/(«) > 0 ,而 /z

20、(0) = 0 , 所以 axxha > 0 ,故当 0vx<L 时，f(- + x)> /(-x). aaa(III)由(I)知，只有当4>0时，且/(x)的最大值/d)>0,函数y = fW a才会有两个零点，不妨设4(X,0),8(占,0),0 vx) ,则0VX X),故 al-x,e(0,i), 由 ( II ) 得：aa/(2-玉)=/'(1+,-不)>/(!(1 一$)=/(%)= /(/),又由/“)在(L)上单调递减，所以占>2一%，于是/=±二上>_1,由(|)知，:(4)<0.a2 a【问题的进一步探

21、究】对数平均不等式的介绍与证明a-b 乙一/八两个正数。和人的对数平均定义：L3/)=<'a(a =b).对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：b<L(a,b)<(此式记为对数平均不等式) 2取等条件：当且仅当4 =。时，等号成立.只证：当aW/?时，y/ab v L(a,b)<" J不失一般性，可设"/?.证明如 2下：(I )先证：-Jab < L(a,b)不等式 =lna lnb0 ln v A曰一已 o 21nx v x-L(其中x =，口> 1)4b b bx b构造函数/(x) = 21nx_(x_，),(x>

22、l),则/(幻=二_1_L=_(1_，了.因为 XXX"Xx>l时,f(x) < 0,所以函数/(X)在(1,)上单调递减，故/(x)v/(l) = O,从而不等式成立；(II)再证:L(a,b) < -2=In a-nh>2(一。) a<=>ln->a + b b2(y-D<=> lnx>G+i)b2(D(x + 1)(其中=代>1)构造函数 g(x) = lnx 生二上(x>l),贝，g'(x) = 1-二= 34.因为 (x + 1)X (x + 1厂 x(x + yX>1时，g'(x

23、)>o,所以函数g(x)在(1,口)上单调递增，故g(x)vg=0,从而不等式成立；综合(I ) ( I I )知，对Vtz,b e R-,都有对数平均不等式yfab < L(a,b) < " + "- 2成立，当且仅当时，等号成立.前面例题用对数平均不等式解决例1. (201 0天津理)已知函数/(x) = x“-x(xe R),如果工产石，且%)=)。2)，证明：xt+x2> 2.【解析】法五：由前述方法四，可得斯 一土，利用对数平均不In x - In x2等式得：1 = -v即证：x+x, >2,秒证.In A, - In x2 2说明

24、：由于例2,例3最终可等价转化成例1的形式，故此处对数平 均不等式的方法省略.例4.设函数/(x) = e' -x+a(aeR),其图像与x轴交于420),以当,。)两点,且X < 占证明：/'(J% ,%) <0.【解析】法三：由前述方法可得：a =(1 < Xj < In 6/ <x2),等A'j 1 X-y 1式两边取以e为底的对数，得In a = x, - ln(Xj -1) = x2- ln(x2 -1),化简得：1= (a-,-1)-(a-2-1), 由对数平均不等式知：ln(Xj -l)-ln(x2 -1)1 = T-一告一&

25、gt; j(x -1)(2， 即 XjX2 -(X)+X,) < 0 , 故要证111( -l)-ln(x2 -1) "f'“XX2) < 0 o 证<na <=> 证2占电 <x- ln(Aj -1) + x2 - ln(A -1)<=>证ln(x -1) + ln(x2 -1)<x1+x2 -Zj匕x2 <=> ilEln(x1x2 -(xt +x2) + l)<x1 +x2-2xxx2x1x2 -(X + &) v 0 / ln(XjX2 一 (xx +x2) +1) < In 1 =

26、 0 ,而玉十一2"E' = (北一北 >0m区七一(玉+ X?) +1)<玉+ % - 2jxX,显然成立，故原问题得证.例5. (11年,辽宁理)已佚口 函数 f (x) = In x - ax2 +(2-a)x.(I)讨论/(x)的单调性；(II)殳4>0,证明：当 0<xv，时，/(- + X)>/(-X); aaa(III)若函数y = /(x)的图像与x轴交于A,8两点，线段A8中点的横坐标为,证明：/'(.%) <。【解析】(I) (II)略,(HI)由/但)=/(修)=。o In ± - ax12 + (2

27、 a)x1 = In x2 - ax + (2 a)x2 = 0 =In & -lnx2 +2(X -x2) = "(xj x； +x1 -x2)Inxx -Inx2 + 2($ -x2)=心>2<=><古攵要，正 v 0 =%)=' + * > - 2 aIn Xj - In x2 +2(玉-x2) In xx - In x2 为一马gd吗.根据对数平均不等，此不等式显然成立，故原不 玉一等式得证.【挑战今年高考压轴题】(2016年新课标I卷理数压轴21题)已知函数/(x) = (x-2)e、c«x-l)2 有两个零点X,4.

28、证明：xt+x2 <2.【解析】由 f(x) = (x 2)/+4(x l)2,得/(x) = (x-l)(/+2a),可知/(x)在 (fj)上单调递减，在(1,y)上单调递增.要使函数y = /(x)有两个零点 xpx2 ,则必须a >0.法一：构造部分对称函数不妨设石<不，由单调性知$ t (-8,1),占e (l,xo),所以2-石e (-s,l),又/(a)在(y), 1)单调递减，故要证：X +V 2 ,等价于证明：/(2-)</区)=0，又二 (2 - w)= fe 2"+ g2 T)2,且 /(w) = *2 - 2)/2 + a(x2-l)2

29、=o/(2 电)=一七/-" 一(占一2)/2, 构 造 函 数g(x) = -xe J - (x- 2)ex,(x e (1, *o),由单调性可证，此处略.法二：参变分离再构造差量函数由已知得:/() = /(x2) = 0,不难发现x尸1,差工1,故可整理得：力叱2匕=(”2)：(内-1)-(x2-l)'设 g(x)J' I；,则 g(x) = g(z)(1)那么 g1(x) = S" , lex ,当 X<1 时,j?1(x)<0 , g(x)单调递减；当 X>1 (、T)时，葭(x)>o, #(刀)单调递增.设?>0,

30、构造代数式：g (1 + ?) _ g (1 _ 1)="nr一Ll l_m 1 +？ /_/加一1 Jm-e=e -enr "r m +1设小>0 则= 2m' -e2m >0 ,故 h(m)单调递增，有 /2(zh)>/j(0) = 0.(阳 + 1)一因此,对于任意的?>0, (l + m)>g(l-Zn).由g(xJ = g(W)可知X、公不可能在g(x)的同一个单调区间上，不 妨设< X2 ,则必有为< 1 < X2令/ = 1一为 >0,则有0g(2一$)>g(xJ = g(X2)而2-玉>1 , x2>l , g(x)在(1,+»)上单调递增，因此：8(2-为)>身(S)Q2 一为 >天整理得：X, + X, <2 .法三：参变分离再构造对称函数由法二，得g(x) = 0 2，构造60)=晨幻一放2-幻,(4七(7)，利用单 (x-l)-调性可证，此处略.法四：构造加强函数【分析说明】由于原函数"X)的不对称，故希望构造一个关于直线 x = l 对称的