高考导数专题复习

1、高考数学专题复习一一导数目录一、有关切线的相关问题二、导数单调性、极值、最值的直接应用三、交点与根的分布1、判断零点个数2、已知零点个数求解参数范围四、不等式证明1、作差证明不等式2、变形构造函数证明不等式3、替换构造不等式证明不等式五、不等式恒成立求参数范围1、恒成立之最值的直接应用2、恒成立之分离常数3、恒成立之讨论参数范围六、函数与导数性质的综合运用导数运用中常见结论(1)曲线y f (x)在x xo处的切线的斜率等于f (xo),且切线方程为y f (xo)(xxo)f(x。)。(2)若可导函数y f(x)在x x0处取得极值，则f (xo) 0。反之，不成立。对于可导函数f(x),不

2、等式f (x) 0( 0)的解集决定函数 f(x)的递增(减)区间。(4)函数f (x)在区间I上递增(减)的充要条件是：x I f (x) 0 ( 0)恒成立(f (x)不恒为0).函数f (x)(非常量函数)在区间 I上不单调等价于f(x)在区间I上有极值，则可等价转化 为方程f (x) 0在区间I上有实根且为非二重根。(若f (x)为二次函数且I=R,则有 0)。(6) f (x)在区间I上无极值等价于f (x)在区间在上是单调函数，进而得到f (x) 0或f (x) 0在I上恒成立若 x I, f(x)0 恒成立，则 f(x)min 0；若 x I, f (x) 0 恒成立，则 f(x

3、)max 0(8)若x。 I ,使得 f(&)0,则 f(x)max0；若x。I ,使得 f(K)0,则f (x)min 0.(9)设f (x)与g(x)的定义域的交集为 D,若 x D f(x) g(x) 恒成立，则有f(X)g(X)min 0.(10)若对x1Il、x2 I2, f(x1)g(x2)恒成立，则 f (x)ming(x)max .若对xiIl,x2I2,使得f(x1) g(x2)，则 f(x)ming(x)min .若对xiIi,x2I2,使得f(xi) 9(x2),则 f (x)maxg (x)max .(11)已知f (x)在区间Ii上的值域为A, g(x)在区间

4、I2上值域为B,若对xiIi, x2I2,使得 f(xi)= g(x2)成立，则 A Bo(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程 f (x) 0有两个不等实根 x1 > x2 ,且极大值大于0,极小值小于0.(13)证题中常用的不等式：lnx(x 0)xD x+1 win(x+1 x (x 1)1nxx 11 (x 1)D 1nx2x112 (x 0)22x2 sinx<x (0<x<兀) lnx<x<x /e (x>0)、有关切线的相关问题31例题、【2015局考新课标1,理21已知函数f (x) = x ax -，g(x) ln x . 4(

5、I)当a为何值时，x轴为曲线y f(x)的切线;3【答案】(I) a4跟踪练习:1、12011高考新课标1 ,理21已知函数f (x)aln xx 1f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为x 2y 3 0。(i)求a、b的值;解：(i) f'(x)zx 1 .(ln x) x(x1)2由于直线x 2y0的斜率为1 ，一 一-,且过点(1,1),故2f(1)f'(1)1,1即2,1,12,1。2、(2013课标全国I, 和曲线y = g(x)都过点21)设函数P(0,2),且在点f(x) = x2 + ax+ b , g(x)= ex(cx+d).若曲线 y= f(x)P处有

6、相同的切线y=4x+2.求a, b, c, d的值；解：(1)由已知得 f(0)=2, g(0)=2, f'(0)=4, g'(0) = 4.而 f'(x) = 2x+a, g'(x) = ex(cx + d + c),故 b=2, d = 2, a = 4 , d+c=4.从而 a = 4, b=2, c=2, d = 2.3、(2014课标全国I ,理21)设函数f (x0x 1x. beae ln x ,曲线xy f (x)在点(1, f(1)处的切线为y e(x 1) 2.(1)求2巾;【解析】：(I )函数f (x)的定义域为 0,f (x) aex

7、In x由题意可得f2, f (1) e ，故a 1,b 2、导数单调性、极值、最值的直接应用 (一)单调性1、根据导数极值点的相对大小进行讨论例题：【2015高考江苏，19已知函数 f(x) x3 ax2 b(a,b R).(1)试讨论f (x)的单调性;【答案】(1)当a 0时，f x在上单调递增；当a 0时，f x在2a2a -.，一,0,上单调递增，在 ,0上单调递减;33当a 0时，f x在 ，0 ,2a3八 2a上单调递增，在0, 上单调递减.3:解析】/二§亡-5令r国=。，解得巧=o,工一 3.当次=0时，因为(上金0),所以函薮可在(一工厂盯上单调递呜当八。时，HE

8、； 一工厂三；”0工)时，工匕一工。即 r(x) < 0 ,r为、F % 、所以施救/Ui在一二一二，血+邙上单调递乱 在一 j=0；上单调抽嬴 I4< j J2a2a当 a 0时，x ,0 U ， 时，f x 0, x 0,时，f x 0, 33所以函数f x在,0 ，2a八 2a上单调递增，在0, 上单调递减.31 a练习：1、已知函数 f (x) ln x ax 1 (a R).x，1 .当a < 2时，讨论f (x)的单倜性； 2,1al a 1 ax x a 1答案： f (x) Inx ax 1(x 0), f (x) a 2(x 0)xx xx2令 h(x) a

9、x x 1 a(x 0)当 a 0 时，h(x) x 1(x 0),当 x (0,1),h(x) 0, f (x) 0,函数 f (x)单调递减;当 x (1,), h(x) 0, f (x) 0,函数 f(x)单调递增.1 当a 0时，由f (x) 0,即ax2 x 1 a 0,解得x1 1名 -1.a1当a 2时xx2 , h(x) 0恒成立，此时f (x) 0,函数f(x)单倜递减；1 1当 0 a 一时，一 1 1 0,x (0,1)时 h(x) 0, f (x) 0,函数 f(x)单调递减;2 a一 1x (1- 1)时，h(x) 0, f (x) 0,函数 f(x)单调递增； a1

10、 _ 一、x (- 1,)时，h(x) 0, f (x) 0 ,函数 f(x)单调递减.a1当 a 0时一1 0,当 x (0,1), h(x) 0, f (x) 0,函数 f(x)单调递减； a当 x (1,),h(x) 0, f (x) 0,函数 f(x)单调递增.综上所述：当a 0时，函数f(x)在(0,1)单调递减，(1,)单调递增；1 ,当a 一时x1x2,h(x) 0恒成立，此时f(x) 0,函数f(x)在(0,)单倜递减;211 1,、当0 a 时，函数f(x)在(0,1)递减，(1,一 1)递增，(1,)递减.2aa2、已知a为实数，函数f(x) (1 ax)ex,函数g(x)

11、11 ax,令函数 F (x) f (x) g(x).当a 0时，求函数F(x)的单调区间解：函数F(x) Laxex,定义域为1 ax2 2a x 2a 1当 a 0 时，F (x) -T(1 ax)2, 2 a (x2a 12-a(1 ax)2人/口 2 2a 1八令 F (x) 0 ,得 x .9 分a1 .，当 2a 1 0 ,即 a 时，F (x) 0.2时，函数F(x)的单调减区间为1，一)，a1、(一，) a11分当a 0时，解2a 1得X12a 1, x22a 11 2a 1.令F (x)1，一)，a1 、(1,x1)， ax 乂,令 F (x)0,(x1,x2).13分0时，

12、函数F(x)的单调减区间为1、，一)，a1 . 2a 1(一,F(x)单调增区间为(避U,乌二).15分当2a 10,即a1 一， 一，一时，由(2)知，函数2F(x)的单调减区间为(,2)及(2,)2、根据判别式进行讨论例题：【2015高考四川,理21 已知函数f (x)2(x a)1n x x2 2ax 2a2 a,其中a 0.(1)设g(x)是f (x)的导函数，评论 g(x)的单调性;1,，、小a 一时，g(x)在区间(0, 411 4a),(11 4a)上单调递增,在区间(11 4a11 4a增.)上单调递减；当a1,，、一 、小、， u一时，g(x)在区间(0,)上单调递 4【解析

13、】(1)由已知，函数f(x)的定义域为(0,)，g(x) f (x)2x2aa 21n x 2(1 -), x所以g (x) 22a1 212(x 12)2(a -)上单调递增,当0 a 1时，g(x)在区间(0,1 -1 " 422在区间(11 4a 114a)上单调递减;)上单调递增.,1 ,当a 时，g(x)在区间(0, 4练习：已知函数f(x) ln x(1)求函数f (x)的单调区间;解：函数f (x)的定义域为(0,).2f (x)/ a x x a1-2x x(x)f(x)单调减区间为(0，)；1 1 一时,4由 f (x)0得x111 4a,x21 4a2若xx2,一

14、_, 1所以，f(x)的单调减区间为(0,-11 4a 1. 1 4a若若(x)由 f (x)1 4a) 21，(-x2x x1 .1 4a%、2,),单调增区间为7.分0,由(1)知f(x)单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,);0 ,得 x x1；由 f (x) 0 ,得 0 x x1 .f(x)的单调减区间为(11 4a),单调增区间为(0，、一 .,1 ,综上所述：当a < 一时, 4f(x)的单调减区间为(0,.1 一，当一 a 0时, 4“11 4a 1单调增区间为(,-1f(x)的单调减区间为(0,-1 4a) ；1 4a、2)，),当a>0时，f(x)单调减区

15、间为(1 * 4a ,),单调增区间为仆1厂4a、八(0,) .10,分212.已知函数 f(x) a(x 一) 21nx(a R) . x求函数f(x)的单调区间；2 9v a解：函数的定义域为0, f (x) a(1 3) 2 x一鲜一ax x x(1)当a 0时，h(x) ax2 2x a 0在(0,)上恒成立,则f (x) 0在(0,)上恒成立，此时f (x)在(0,)上单调递减. 4分2(2)当 a 0时， 4 4a ,(i)若 0 a 1,一 11a211 a2由 f (x) 0 ,即 h(x) 0 ,得 x 或 x ; 5分aa11 a21；1 a2八由 f (x) 0 ,即 h

16、(x) 0 ,得x . 6分aa所以函数f(x)的单调递增区间为小 1 二1 a 工 /11 a2(0,)和(,aa),%、11 a2 11 a2.单调递减区间为(,).十分aa(ii)若 a 1 , h(x) 0在(0,)上恒成立，则f (x) 0在(0,)上恒成立，此时f(x)在(0,)上单调递增.3、含绝对值的函数单调性讨论例题：已知函数f (x) x x a 1nx.(1)若a=1 ,求函数f (x)在区间1,e的最大值；(2)求函数f (x)的单调区间;(3)若f(x)。恒成立，求a的取值范围解：(1)若 a=l,则 f(x) x x 1 lnx.2, '_1当 x 1,e时

17、，f(x) x x In x, f (x) 2x 1 一 x2x2 x 10,2所以 f(x)在1,e上单调增，f (x)max f (e) e e 1.(2)由于 f(x) x x a In x, x (0,).一.2_12x2 ax 1(i)当 a 0 时，则 f (x) x ax In x, f (x) 2x a x x人 - a v a28,人令f (x) 0 ,得 0 (负根舍去)，4且当 x (0,xO)时，f (x) 0；当 x (x0,)时，f (x) 0,a 、a2 8a , a2 8所以f(x)在(0, )上单调减，在(44(ii)当 a 0时,当x a时,、八1f (x)

18、 2x a x2x2 ax 1xa . a2 8 / a . a2 8 公令 f (x) 0 ,得 x1 ( x a舍)，444 aa2 8 一.,、_右a,即 a 1,则 f (x) 0 ,所以 f (x)在(a,4)上单调增;# a 、a2 8'右 a,即 0 a 1,则当 x (0,x1)时，f (x) 0；当 x (x1，)时,4一，、，-a ： a2 8、，a . a2 8、，f (x) 0,所以f(x)在区间(0,)上是单调减，在 (,)上单调44增.6分当0 x、 c 12x2 ax 1a时，f (x) 2x a xx22令 f (x) 0,得 2x ax 1 0,记 a

19、 8,0,故f (x)在(0, a)上单调减;a2 8 0,即 0 a 272 ,则 f'(x)若 a2 8 0,即 a 272,广口 a . a2 8则由 f (x) 0 得 & , %44当 x (0,刈)时，f (x) 0;当 x(刈？4)时，f (x) 0 ;当 x (x4,)时,_ 、/ a 3a2 8、 工 -a . a2 8 a 、a2 8f (x) 0,所以f (x)在区间(0,)上是单调减，在(,)444上单调增；在(a8分综上所述，当a 1时，f(x)单调递减区间是a a2 8(0,a-8) , f(x)单调递增区间4);a 2拒时，f(x)单调递减区间是(

20、0,a), f(x)单调的递增区间是(a,)；2万时，f(x)单调递减区间是(0,a . a2 8)和(,a)'a “a2 8 a ”a2 8 一f(x)单调的递增区间是(,)和俎 ).10分44(3)函数f(x)的定义域为x (0,).In x由 f (x) 0 ,得 x a .*x(i )当 x (0,1)时，|x a >0,叱 x(ii)当 x 1 时，1 a > 0,叱 0, x0 ,不等式*恒成立，所以a R ;所以a 1;12分(iii)当x 1时，不等式*恒成立等价于ax叵恒成立或a x小恒成立.2 ln xx 1 In x令 h(x) x ,则 h (x)

21、2.xx因为x 1,所以h (x) 0 ,从而h(x) 1 .因为a x 小恒成立等价于a (h(x)min ,所以a1 . x ,2人lnxx 1 In x令 g(x) x ,则 g (x) 2.xx一 人 .、21再令 e(x) x 1 lnx,则 e(x) 2x - 0 在 x (1,)上恒成立，e(x)在 x (1,) ±x无最大值.综上所述，满足条件的 a的取值范围是(,1).16分2.设a为实数，函数f(x) x|x2 a |(2)求函数f (x)的单调区间当。时的单两墙区间为一 8,十 7分()当。时,，()一" ”因为 小,恒成立,所以在t g， + B)上

22、单调连增，从而人力的单沟地区间为一8，+8h 9分(fi )当心时，当或工一区时，/工)，一以工 因为 /(1) = 3/-3=3仃+57?)尸7?一向居所以当*一日也 从而fU)的单溟增区间为(_8.一石)及(而+8上U分当 一&«&财 h1 +"*/(j)（一八.一”分所起）（公的单词地区间为八中的单得戚区网为除上第述巧U工。时,曲就人力的阜阂增区间为一 8,+2人当时，曲数八八的阜宜地区同为（一 8而）.石.48一在），八”的单,款区间为 16#4、分奇数还是偶数进行讨论例题：【2015高考天津，理20已知函数f（x） nx xn,x R,其中n N*

23、,n 2.（I）讨论f（X）的单调性;【答案】（I）当n为奇数时，f（x）在（，1）, （1,）上单调递减，在（1,1）内单调递增;当n为偶数时，f （x）在（,1）上单调递增，f （x）在（1,）上单调递减.（II）见解析；（III）见解析.【解析】匚由=m一,可得，其中量仁一7且花三3下面分两种情况讨论；当也为奇被时.令广=口,解霉x = l或上=1,当x变化时，广 J(Q的变化情况如下君/f(v)(-11)十/所以 八巧在(-工1), Q-工)上单调强威 在(-L1)内单调濯唔(2)当n为偶数时，当f (x) 0,即x 1时，函数f(x)单调递增；当f (x) 0,即x 1时，函数f(x

24、)单调递减.所以，f (x)在(，1)上单调递增，f (x)在(1,)上单调递减.5、已知单调区间求参数范围例题：(14年全国大纲卷文)函数 f(x)=a x3+3 x2+3 x(a W0).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)在区间(1,2)是增函数，求 a的取值范围.22解：(1) f (x) 3ax 6x 3, f (x) 3ax 6x 3 0 的判别式 =36 (1-a)(i)若a>1,则f (x) 0,且f (x) 0当且仅当a=1 , x=-1 ,故此时f (x)在R上是增函数.11 a 11 a(ii)由于a却，故当a<1时，f (x) 0有两个根：

25、x1 ,x2)时，f (x) 0,故 f (X)在(若 0<a<1,则当 x C (, X2)或 x C (xi, +,X2), (xi, +)上是增函数;当 xC (x2, xi)时，f (x) 0,故 f (x)在(x2, xi)上是减函数;(2)当 a>0 , x>0 时，f (x) 0 ,所以当 a>0 时，f (x)在区间(1,2)若a<0时，f (x)在区间(1,2)是增函数当且仅当f (1) 0且f (2)5 a 0.45综上，a的取值范围是,0)U(0,).4二、极值(一)判断有无极值以及极值点个数问题2例题：【2015局考山东，理21 设函

26、数f x ln x 1 a x x ,其中a是增函数0 ,解得R.(i)讨论函数 f x极值点的个数，并说明理由;【解析】函数/(工)二叫三十“十口工：工的定义域为IL十工1as 、1,+j I Al =1- lax-a =*+1,t+1令片-ax + ar4- 一 口，x E | -KC (1)当不=0时f(x) =1 >0 p/'(*)。在(T京上恒成立所以，函数/(H)在(TTH I上单调展增无极值,2(2)当 a 0 时， a 8a 1 a a 9a 8 八 8,当0a 一时， 0,gx 0所以，f x0,函数f x在 1,上单调递增无极值;9当a 8时， 09设方程2a

27、x2 ax 1 a0的两根为Xi, X2 (XiX2),因为 x2211所以，x1, X244由g 1 1 0可得：1 x1所以，当x1,X1 时，g X0, f x 0 ,函数f x单调递增;当 x X1,X2 时，g x0, f X 0 ,函数f X单调递减;x 0 ,函数f x单调递增;x 0 ,函数f x单调递增；x 0 ,函数f x单调递减;当 x X2,时，g x 0, f因此函数f X有两个极值点.(3)当 a 0 时， 0由g 1 1 0可得：X11,当 x1,X2 时，g x 0, f当 x X2,时，g x 0, f因此函数f X有一个极值点.综上：当a 0时，函数f X在

28、 1,上有唯一极值点;8 . 一. 当0 a 一时，函数f x在 1,上无极值点；98 . 一. 当a 一时，函数f x在 1,上有两个极值点；9例题：【2015高考安徽，理21设函数f(x) x2 ax b.(i)讨论函数 f (sin x)在(,)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值;【解析】2(I) f(sinx) sin x asinx b sinx(sinx a) b, x .22f (sin x)' (2sin x a) cosx, x 因为 一 x 一，所以 cos x 0, 2 2sin x 2.22当a 2,b R时，函数f (sin x)单调递增，无极值.当a

29、 2,b R时，函数f (sin x)单调递减，无极值.当 2a 2,在(万，)内存在唯一的 小,使得2sin%x0时，函数f(sinx)单调递减；x0 x时，函数2f (sin x)单调递增.2 a 2 , b R 时，函f (sin x)在Xo处有极小值rr a a2f(sin%) f (2) b 4(二)已知极值点个数求参数范围例题：【14年山东卷(理)】设函数f X2k(一 xlnx)(k 为常数，e 2.71828L是自然对数的底数)(I)当k 0时，求函数f x的单调区间;(II)若函数f x在0,2内存在两个极值点，求k的取值范围。解：(1) f'(X)百工4&，

30、k( -21)XX X(x 2演叫x 0) X当 k 0时，kX 0, e kX 0令 f(X)0,则 x 2当x (0,2)时，f(X)单调递减； 当x (2,)时，f(x)单调递增。 令g x ex kx则 g'(x) ex kex k,x Ink g(0) 1 k 0,g(0) 1 02g'(2) e2 k 0,g 2e2 2k 0 k eg Ink elnk kln k 0 Ink 1 k e2综上：e的取值范围为(e,e)。2练习：1、【2014年天津卷（理）】己知昭戟y （ v ） = < （口 £ K* £耳，已知函般A =（甯J有两个等

31、却与T 且M, V , 由 /,4O在或上修晚立，H府在R上串明池上看.辜右触她.口音0 忖.当上变化对./rtAj . 八XI忖堂化情配如下衰I由，"才| = 0*轩重= In a -JT x = In <7)lu a(In a±-t- se)产（同+o/(11life 0-1、于帛.丽也3 = /. i 有两个*右”安伊干如下徜件同行成立tA Y I的单调胃整氐呵早 L 7_】fin ,单胃通畸区 问导l* f < In > O » 2"*4 Kle一x,Tnc，.消足，士 3* 存在 W （ - In 0.一丈）* 满足/；孙 *

32、 口 由 / -Ina - > 0 . KP In a i 0 . Rff 舞 0 <。. iTfi此叼,电骂一口 .词足( >c,tau)p 且 y(g)=一a < 0 * JIS j； = n -滴足与 u (Inq + x. JJ.所L：L G的联也卷围呈（Q«工|2、（2014湖南）（本小题满分13分)已知常数a 0 ,函数f （x）（I）讨论f （x）在区间（0,（n）若f（x）存在两个极值点2x ln(1 ax).x 2)上的单调性；x”x2 ,且 f (左)f（X2） 0 ,求a的取值范围.【解析】（I）1vx224 1 ax2-ax x 2ax2 4 a 121 ax x 2*)因为1 ax x 20,所以当10时,1 时，f' x0,此时，函数f x在0,单调递增，a 1时,1 ax1 24工-,x221 a 人一a （舍去），（0,整）时,f' x 0；当 x (x1,)时,f ' x 0.x在区间（0,整）.单调递减，在（。）单调递增的.综上所述1时，f' x 0,此时，函数f x在0,单调递增，a 1时，f x在区间0