高等数学第一讲（4学分）

1、编辑ppt1高高 等等 数数 学学授课教师授课教师: : 徐徐 大大 丰丰公共邮箱：公共邮箱：密密 码：码： math_2012编辑ppt2教材：大学数学文科简明教程（上册）教材：大学数学文科简明教程（上册）姚孟臣编著，北京大学出版社姚孟臣编著，北京大学出版社编辑ppt3参考书目参考书目1：高等数学高等数学（第六版）（第六版）,同济大学应同济大学应用数学系用数学系 主编主编,高等教育出版社高等教育出版社参考书目参考书目2 高等数学习题全解指南高等数学习题全解指南（同济六版）（同济六版）同济大学数学系，高等教育出版社同济大学数学系，高等教育出版社.参考书目参考书目3：数学分析数学分析习题集（习题

2、集（共六册）共六册）,吉米吉米多维奇，多维奇， 费定晖，周学圣编，郭大钧，邵品琮主审费定晖，周学圣编，郭大钧，邵品琮主审 山东科学技术出版社。山东科学技术出版社。参考书目参考书目4：微积分学教程微积分学教程(全三卷全三卷,共八册共八册) 菲菲赫金哥尔茨，人民教育出版社。赫金哥尔茨，人民教育出版社。编辑ppt4考核：期中考试与平时占考核：期中考试与平时占30，期末考试占，期末考试占70。答疑时间：答疑时间：周三下午周三下午2点到点到3点、周四下午点、周四下午1点到点到2点点答疑地点：集英楼答疑地点：集英楼A101。注意事项：注意事项：课堂要求：课堂要求：不得迟到、不得早退、不得随意讲话、不得走动

3、不得迟到、不得早退、不得随意讲话、不得走动编辑ppt5第一节第一节 函函 数数第一章第一章 函数与极限函数与极限预备知识：预备知识：1.1 实数、区间和邻域实数、区间和邻域编辑ppt6有限区间与无限区间有限区间与无限区间开区间开区间 ),(xba闭区间闭区间 ,xbabxabxa ),xbabxa ,(xbabxa半开区间半开区间有限区间：有限区间：编辑ppt7无限区间无限区间 ),xaxa ,(xb bx ),(xRx编辑ppt8点点a的的 h邻域邻域：特殊的开区间特殊的开区间 )(xaUh haxha xhax 其中其中, a 称为邻域中心称为邻域中心 , h称为邻域半径称为邻域半径 .编

4、辑ppt9点点a的空心的空心h 邻域邻域点点a的左的左 h 邻域邻域 :,(aha 点点a的右的右 h 邻域邻域 :. ),haa )(Uxah hax 0空心邻域不含邻域的中心空心邻域不含邻域的中心.注意：一点的任何两个邻域都有公共部分，注意：一点的任何两个邻域都有公共部分，其交集仍为此点的邻域。其交集仍为此点的邻域。编辑ppt10实数集实数集R与数轴上的点的对应关系与数轴上的点的对应关系 a邻域的数轴表示：邻域的数轴表示：a a编辑ppt111.2、函数的概念、函数的概念1、映射与对应、映射与对应如：学生与教官如：学生与教官居民与身份证号居民与身份证号物理学的例子：自由下落的物体，下落物理

5、学的例子：自由下落的物体，下落的路程与下落的时间的关系。的路程与下落的时间的关系。221gts 编辑ppt12函数函数:RXf:1. 函数的概念函数的概念 定义定义. 设设X是一个非空数集，是一个非空数集， f是一个确定的对是一个确定的对应关系，如果对于应关系，如果对于X中的每一个元素中的每一个元素x,通过通过f都都有内的唯一确定的一个元素有内的唯一确定的一个元素y与之对应，那与之对应，那么这个关系么这个关系f 就叫做到的函数关系，记为就叫做到的函数关系，记为x称为自变量，称为自变量，y 称为因变量。称为因变量。注意：单值函数与多值函数注意：单值函数与多值函数)(xfy 编辑ppt13定义域定

6、义域Df使表达式及实际问题都有意义的自变量使表达式及实际问题都有意义的自变量取值的集合取值的集合.值域值域Y： fDxxfY | )(决定函数的要素：定义域与对应法则，决定函数的要素：定义域与对应法则，仅当定义域与对应法则都相同时，两个仅当定义域与对应法则都相同时，两个函数才相同。函数才相同。编辑ppt14defxxf)(1、绝对值函数、绝对值函数xyoxy 0,xx0,xx定义域定义域RD值值 域域),0)(Df函数的例子函数的例子：编辑ppt152、符号函数：、符号函数：xy010001)sgn(xxxxydef编辑ppt163、取整函数：、取整函数：xydef4、狄里克雷函数、狄里克雷函

7、数)(xfx 为有理数为有理数x 为无理数为无理数, 1,05、分段函数、分段函数40000200003625)20000(*25. 0200005000625)5000(*20. 050002000175)2000(*15. 0200050025)500(*1 . 05000*05. 0)(iiiiiiiiiiiT编辑ppt17)(),(max)(xhxfxg)(),(min)(xhxfxs6.最大值函数与最小值函数。最大值函数与最小值函数。编辑ppt18 上是有上界的。在数那么则称函都有使任意的上有定义，若存在在X ,M)(, ,MX)(00 xfxfXxxfy有界性：有界性：函数在函数在

8、X上有上界上有上界函数若有上界函数若有上界,则必有无穷多个上界则必有无穷多个上界.1.3 函数的几种特性函数的几种特性编辑ppt19 上是有下界的。在数那么则称函都有使任意的上有定义，若存在在X ,M)(, ,MX)(xfxfXxxfy函数在函数在X上有下界上有下界函数若有下界函数若有下界,则必有无穷多个下界则必有无穷多个下界.编辑ppt20 上是有界的。在数那么则称函都有使任意的上有定义，若存在在X ,M|(x)|, , 0MX)(00 xffXxxfy函数在函数在X上有界上有界编辑ppt21当,21Ixx 任意任意21xx 时时, )()(21xfxf若称称 )(xf为为 I 上的上的,

9、)()(21xfxf若为为 I 上的上的单调减函数单调减函数 ;单调增函数单调增函数 .单调性单调性任意任意时时, )()(21xfxf 若若)(xf为为 I 上的不减函数上的不减函数21xx 时时, )()(21xfxf 若若)(xf任意任意为为 I 上的不增函数上的不增函数21xx )(xf称称 编辑ppt22奇偶性奇偶性,Dx 任任意意有有,Dx若若, )()(xfxf则称则称 f (x) 为为偶函数偶函数;若若, )()(xfxf则称则称 f (x) 为为奇函数奇函数. 编辑ppt23 奇函数：图象关于原点对称。奇函数：图象关于原点对称。 偶函数：图象关于纵轴对称。偶函数：图象关于纵轴

10、对称。)(xf说明说明: 若若)(xf在在 x = 0 有定义有定义 ,. 0)0(f为奇函数时奇函数时,则当则当必有必有编辑ppt24周期性周期性周周期期函函数数。则则称称函函数数是是一一个个有有使使得得对对任任意意若若存存在在设设函函数数),()(,0,),( 00txfxfxtRxxfy xo2y2周期为周期为 to)(tf22周期为周期为?编辑ppt251.4 反函数、复合函数与初等函数反函数、复合函数与初等函数)(1yfx 1、反函数：给定函数反函数：给定函数y=f(x)，如果对于，如果对于Y中的中的每一个值每一个值y0而言，都有唯一一个值而言，都有唯一一个值x0使得使得y0=f(x

11、0).那么，我们就说在那么，我们就说在Y上定义了上定义了y=f(x)的的反函数。记作：反函数。记作：反函数的求法：反函数的求法：的反函数的反函数求求12 xy编辑ppt262、 复合函数复合函数 ,arcsinuy ,122xu 复合函数：复合函数：)12arcsin(2xy为为中中间间变变量量。为为内内层层函函数数。为为外外层层函函数数，合合函函数数。通通常常称称的的复复与与为为则则称称设设定定义义uxgufyxguufyxgfyXxxguUuufy)()()()()( )(),)( 1.7 编辑ppt27 复合的作用：视复杂函数为几个复合的作用：视复杂函数为几个简单函数的复合。简单函数的复

12、合。例：例：xy12sin5 编辑ppt283. 初等函数初等函数(1) 基本初等函数基本初等函数常函数、幂函数、常函数、幂函数、指数函数、指数函数、对数函数、对数函数、三角函数、三角函数、 反三角函数反三角函数基本初等函数的性质基本初等函数的性质自然对数函数：自然对数函数：.597182818284. 2,lnlogexyxe编辑ppt29反三角函数及其图象：反三角函数及其图象：2/, 2/,1 , 1,arcsinyxxy1-12/xy编辑ppt30反三角函数及其图象：反三角函数及其图象：, 0,1 , 1,arccosyxxy1-1xy2/编辑ppt31反三角函数及其图象：反三角函数及其

13、图象：)2/, 2/(,arctanyRxxyxy2/2/编辑ppt32反三角函数及其图象：反三角函数及其图象：), 0(,cotyRxxarcyxy2/编辑ppt33(2) 初等函数初等函数 由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和有由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的函数限次复合所构成的函数 ,称为初等函数。称为初等函数。例如例如 ,2xy y0, xx0, xx可表为可表为故为初等函数故为初等函数.本课程的研究对象本课程的研究对象:初等函数初等函数.编辑ppt34 第一章 第二节第二节数列的极限数列的极限编辑ppt351、数列：、数列：按照一定的顺序排成的一列数。按

14、照一定的顺序排成的一列数。.nx123,.,.nx x xx记作：记作：其中其中n称为项数，称为项数，nx称为数列的第称为数列的第n项，或通项。项，或通项。数列的特性：有序性数列的特性：有序性一、数列极限的概念一、数列极限的概念编辑ppt362、数列的表示形式：、数列的表示形式： （1）、排列法，）、排列法， （2）、通项公式法。）、通项公式法。编辑ppt37数列的例子数列的例子用通项公式法表示：用通项公式法表示：)() 1(Nnxnn), 11(Nnqqxnn编辑ppt38写出下列数列的通项公式：写出下列数列的通项公式：2，3/4,4/9,5/16,.1/2,-1/4,1/6,-1/8,编辑

15、ppt39数列极限研究的问题：无限数列中数列极限研究的问题：无限数列中,当项数当项数n越来越大，乃至无限增大时，项的变化趋势。越来越大，乃至无限增大时，项的变化趋势。数列：有限数列与无限数列数列：有限数列与无限数列编辑ppt40例如：考察下列数列，当项数逐渐增大时，例如：考察下列数列，当项数逐渐增大时，数列项的变化趋势。数列项的变化趋势。1,1/2,1/3,.,1/ ,.n3122341, , ,.,.nn编辑ppt410 x12/33/41/2编辑ppt42数列极限的描述性定义：数列极限的描述性定义：对于数列对于数列xn而言，如果存在一个常数而言，如果存在一个常数A，当，当项数无限增加时，数

16、列中的项向项数无限增加时，数列中的项向A无限靠近，无限靠近，那么则称那么则称A为数列为数列xn的极限。的极限。若数列有极限若数列有极限,则称数列收敛；否则则称数列收敛；否则称数列为发散。称数列为发散。编辑ppt43例如例如,1nnxn)(1nnnxnn1) 1()(1nnnx2)(?n1) 1(nnx收收 敛敛发发 散散获得数列极限的方法：观察获得数列极限的方法：观察)(?n编辑ppt44若数列若数列nx及常数及常数 A 有下列关系有下列关系 :,0,N正数当当 n N 时时,总有总有记作记作此时称数列此时称数列收敛收敛 , 否则称数列极限不存在，数列否则称数列极限不存在，数列发散发散 .几何

17、解释几何解释 :AA)(Axnnlim或或)(nAxnA1Nx2Nx Axn则称该数列则称该数列nx的极限为的极限为 A ,数列极限的数列极限的-N-N定义定义或称数列收敛于或称数列收敛于A.编辑ppt45例：证明：常数列的极限是常数本身。例：证明：常数列的极限是常数本身。编辑ppt46例例. 已知已知,) 1(nnxnn证明数列证明数列nx的极限为的极限为1. 证证: 1nx1) 1(nnnn1,0欲使欲使,1nx即即,1n只要只要1n因此因此 , 取取, 1N则当则当Nn 时时, 就有就有1) 1(nnn故故1) 1(limlimnnxnnnn编辑ppt47例例. 设设0,1qq证明等比数

18、列证明等比数列,112nqqq证证:0nx01nq0 欲使欲使,0nx只要只要,1nq即即,lnln) 1(qn亦即亦即因此因此 , 取取qNlnln1, 则当则当 n N 时时,就有就有01nq故故0lim1nnq.lnln1qn的极限为的极限为 0 . 1nq编辑ppt480|lim nnx0lim nnx?结论：结论：)0(lim)0(|limaaxaaxnnnn)0(lim)0(|limaaxaaxnnnn/)0(|lim)0(limaaxaaxnnnn编辑ppt49数列收敛的判定：单调有界定理数列收敛的判定：单调有界定理定义：若存在实数定义：若存在实数M，使得对数列中的所有项，使得对

19、数列中的所有项，都有都有 （ ），则称数列为有上），则称数列为有上（下）界数列。（下）界数列。.321 nxxxx定义定义.11：若数列有性质：若数列有性质：.21 nxxx则称数列是单调上升（或单调下降）则称数列是单调上升（或单调下降）或或MxnMxn编辑ppt50定理：单调上升有上界的数列必有极限。单定理：单调上升有上界的数列必有极限。单调下降且有下界的数列必有极限。调下降且有下界的数列必有极限。编辑ppt51)(1Nnxnnn考察下列数列的极限考察下列数列的极限), 11(Nnqqxnn编辑ppt52 第一章第一章 函数的极限函数的极限 数列的极限：项数增加的时候，项如何变数列的极限：项

20、数增加的时候，项如何变化，有没有向某个数靠近的趋势？化，有没有向某个数靠近的趋势？函数的极限：自变量发生变化的时候，因变函数的极限：自变量发生变化的时候，因变量如何变化？有没有向某个数靠近的趋势？量如何变化？有没有向某个数靠近的趋势？编辑ppt53 第一章 ax )6( ax)4( ax)5( x)3(x)1(x)2(函数自变量变化的方式有很多，有六种情况函数自变量变化的方式有很多，有六种情况:编辑ppt54 Axf)(定义：给定函数定义：给定函数 f(x)，如果对于任意给定的，如果对于任意给定的正数正数，无论它怎样小，都存在一正数，无论它怎样小，都存在一正数X，当，当xX时，下式时，下式x

21、时函数的极限时函数的极限自变量自变量都成立都成立则称常数则称常数A 为函数为函数xxf当)(时的极限。时的极限。Axfx)(lim)()(xAxf当或记作记作编辑ppt55XAAoxy)(xfy A几何解释几何解释:)(xfy 编辑ppt56x 时函数的极限时函数的极限自变量自变量定义：给定函数定义：给定函数 f(x)，如果对于任意给定，如果对于任意给定的正数的正数，无论它怎样小，都存在一正数，无论它怎样小，都存在一正数X，当当x-X时，下式时，下式 Axf)(都成立都成立则称常数则称常数A 为函数为函数xxf当)(时的极限时的极限,Axfx)(lim)()(xAxf当或记作记作编辑ppt57

22、XAAoxy)(xfy A几何解释几何解释:)(xfy 编辑ppt58定义定义 . 设函数设函数f(x) 若若,)(,AxfXx有时当则称常数则称常数时的极限时的极限,Axfx)(lim)()(xAxf当或记作记作, 0X, 0 xxf当)(A 为函数为函数自变量自变量x 时函数的极限时函数的极限编辑ppt59XXAAoxy)(xfy A几何解释几何解释:)(xfy 编辑ppt60结论：结论： lim( )xf xAlim( )xf xAlim( )xf xA的充要条件是的充要条件是且且编辑ppt61例例. 讨论讨论01limxx01limxx时的极限当,1)(xxxf01limxx编辑ppt

23、62讨论函数讨论函数：时的极限当,21)(xxfx1021limxxxx21lim不存在xx21lim不存在不存在编辑ppt63ax 时函数的极限时函数的极限编辑ppt64定义定义1.15 . 设函数设函数)(xf在点在点a的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 ,0,0当当 ax0时时, 有有 Axf)(则称常数则称常数 A 为函数为函数)(xf当当ax 时的极限时的极限,Axfax)(lim或或)()(axAxf当若若记作记作注意：上述定义中并没有要求函数注意：上述定义中并没有要求函数在在a处有定义。处有定义。编辑ppt65几何解释几何解释:aaAAAxay)(xfy 极限存在极限存在函数局部有界函数局部有界(P31性质性质4)这表明这表明: 编辑ppt66证明证明)(lim0为常数CCCxx 证证:Axf)(CC 0故故,0对任意的对任意的,0当00 xx时 , 0CC因此因此CCxx0lim总有总有编辑ppt67例：讨论当讨论当的极限。