非轴对称荷载下考虑流体流速的饱和土稳态动力响应.docx

1、第38卷第6期上海交通大学学报Vol.38No.62004年6月JOURNALOFSHANGHAIJIAOTONGUNIVERSITYJun.2004文章编号.1006-2467(2004)06-0947-05非轴对称荷载下考虑流体流速的饱和土稳态动力响应张正林，高绍武，王建华(上海交通大学土木工程系，上海200030)摘要：由于饱和土中流固柄合，饱和土的动力问题不但要考虑土骨架的运动，而且还要考虑流体的运动.对此，不忽略流体相对于土骨架运动的惯性项，应用Hankel积分变换方法，对Biot波动方程逐次解柄后直接求解得通解；根据通解和半空间内部或表面作用水平力时的边界条件和作用面上的连续条件，

2、求得边值问题的解；对边值问题的解进行相应的Hankel逆变换，就可求得应力、应变、位移、孔压等.最后给出了Hankel逆变换的数值方法.关键词：饱和土；非轴对称荷载；Hankel变换；稳态动力响应中图分类号：TU411.8文献标识码：ASteadyDynamicResponseofSaturatedSoilunderNonaxisymmetricalLoadConsideringVelocityofLiquidZHANGZheng-linGAOShao-wuWANGJian-hua(Dept,ofCivilEng.,ShanghaiJiaotongUniv.,Shanghai200030,Ch

3、ina)Abstract:ThesteadydynamicresponseofsaturatedsoilwasstudiedbymeansofHankeltransform.Theliquid*sinertiaisconsidered*i.e.thereisnotanyhypothesis.ByusingHankelintegraltransformmethodthesolutionofhorizontalharmonicforceappliedtotheinteriororthesurfaceofsaturatedsoilisobtained.Thegeneralsolutionsofthe

4、BiotdynamicequationsinfrequencydomainareestablishedthroughtheuseofHankelintegraltransformstechnique.Utilizingtheabove-mentionedgeneralsolution*theboundaryconditionsofthesurfaceofhalf-spaceandthecontinuousconditionsattheplaneofhorizontalforce*thesolutionsoftheboundaryvalueproblemcanbedetermined.Bythe

5、numericalinverseHankeltransformsmethodthestressandthedisplacementofharmonichorizontalforceareobtainable.Intheend,thenumericalmethodofinversionofHankeltransformwasgiven.Keywords:saturatedsoil；non-axisymmetricalloadiHankeltransform；steadydynamicresponse收稿日期,2003-06-21基金项目：国家自然科学基金资助项目（59879012）；教育部博士点

6、基金资助项目（980224832）作者简介：张正林（1968-）.男.上.海人.硕土.工程师，主要从事工程管理和岩土工程数（fl计算等研究.王建华（联系人）.男.教授.博土生导师.电话（Tel.）,O21-62932915；E-mail：wjh417.饱和土的动力响应问题是土动力学、水利工程、土木工程和地震工程等领域的重要研究课题.自Riot：建立饱和土的运动方程以来，Pau3：讨论了饱和土的Lamb问题，Chen3：推导出了饱和土的Green函数，杨峻等用积分变换方法分析了轴对称条件F弹性层和饱和土体系稳态动力响应，以上他们都是研究轴对称间题.张引科等和陆建飞等利用Zienkiewicz等提

7、出的简化模型（忽略流体相对于土骨架运动的惯性项）对非对称动力响应问题进行了研究，这种解适用于低频振动.金波指：和Zeng等”分别在求解饱和土体上和土体内圆板的轴对称振动问题时，考虑了水相对于土骨架运动的惯性项.本文利用饱和土的动力基本方程Biot波动方程及积分变换方法求解了饱和土在非轴对称荷载下考虑水相对于土骨架运动惯性项的稳态动力响应问题，而且考虑了表面透水和不透水两种边界条件以及表面作用水平集中荷载、内部作用水平集中荷载（圆形均布荷载）等多种荷载情况.Q3,=伊“一我式中：&=择pjm必ibcu）p将盘（p6佝）（0。）0成尚=丽人+2“十Q+2点）。ft=画（q+2“）由式（9）可得(9

8、)(10)(11)(12)(13)皿=品。，-s对式（7）进行m阶的Hankel变换,可得到一个常微分方程，解此微分方程1控制方程及通解饱和土的本构关系为%=血户式中:i,j=r,Ef以拉为正；为体积应变;P为孔压，以压为正且孔压的表达式为p=aMe+MS(1)p=”e个+庆一个4-CeW+Def(14)其中：由式（3）得:式中：寿+*第+票,.Wr,_1_3叫3叫r)rrr38dz/V2r+(义+“)其中，右、的分别为土骨架和流体相对于骨架的径向、切向以及轴向位移.在非对称情况下，柱坐标系下的饱和土体动力基本方程为网,+（人+o2M+/）心+aMzu,./=pH,+P西+MiVj.y=Pji

9、i,+miv,+bw,(3)(4)drrrrlo/(p&pt)ur(a0)孕=0arVW+(A+“)+爵一号(吻_a制a?(ppt)u(a0)-i-=0AV2i+(义+)景+择IP。位)孔(a)孕=0dZ根据Mukim的方法,则有(15)4-(16)(17)(7)(8)(18)a(r,0,z,t)=2amr,z,t)cosm0)式中、/为Lame常数为考虑两相材料压缩性的Biot参数止=爪5为孔隙水的动力粘滞系数涓为土体的动力渗透系数；p=”,+（l）R；S0分别为流体和土骨架的质量密度式（3）和（4）即为非对称情形的流固两相介质动力问题的控制方程,本文采用逐次解耦方法求解此方程.将式（2）代

10、入式（3）和（4）,可得匕.+（义+ap=pu.+Piiv,（5）p.,=P（u,+mib,+bzv.（6）把稳态条件/=7e-代入式（5）和（6）,且约去因子ey得p.njj+2=0&,1泌一a)P“+8122“s(r,z,，)cosS。)yM（r,z,，）sinS。）m-0oey孔5（尸，z,）cos（m。）m-0EYem(r,z,/)cos(w)(r,z,Z)cos(w)事实上.根据文献12,对于作用z方向的水平力的情形，式（18）中的、下只有一项m=l,因此在以张正林，等：非轴对称荷载下考虑流体流速的他和土稳态动力响应949后的公式中省略下标取式（18）中的第个分量，代入式（15）和（

11、16）,并把两式相加后得/V2（w,+）+以+）（靠ye!-+wj)+2m(“，+如)+3pm子Pdrr(19)令并对式(19)进行”7+1阶的Hankel变换.可得Id2a)f+i.Mp0佝)IdP-),+个一M(A+QEf(a：e十p(20)同理，有人+/de+。一。dpde/du-m-l|Jp2(。a)*M(0a)A0aa%*。2=将式(14)代入式(27),可得e=aAYaAz+6/4)ez*+aAY一aA2+M)e-y+(技彳一aA+e*+aAYl一aA2+M)e*=a/e个+axBey+a2Cex*+aDe(28)式中：ax=a/f那+b、a2=a/jaV+b将式(14)、(28)

12、代入式(20),可得=Ee*+d+；(29)式中：u；=jt|i4ex*+k2Ce*+k2De*k=山=41-/f2-/f同理，有=GeV+He+妃(30)us=Jez*+KeV+；(31)式中：u：=-kAe一知Be个-k2Cer-k2Dereu：=幻Ae个+幻Be*gCe%*+g?Defh、_“2另外，利用柱坐标系下的几何和物理关系进行相应阶数的Hankel变换，可得一女“，一io）-pdz（,_房T_心，一鼠尸7fxdz对式（9）进行m阶Hankel变换，可得式中,%=&/(佝少2).将式(28)(31)代入式(32)(35),可得o；=2jw(Jeze/3KeSQ+ij.Aer+7；B

13、ey*+iCeW+1=尸厂七名)一(32)(33)(34)(35)(379田土+心Ce勺+qDcf(46)Bg）L.a|S.A=0b”|：=方一皿=0e+1十：财+os0Lihtr财|一财成(Jg+Kef+Me个一加氏一个4-一中Def(38)Sm“(Ge。Hef%)+/$(Jez3*+Ke_x3*)们月。个+-aCe勺+/Oe-W(39)wg=8(./e孚乙+Ke_xir/j)4-M/le。+Ce出一JDk*(40)式中：7i2g7】+Aaa勿=2g2,2+加2a%=席I+“gif,%=M2/2+法们=弓乃+g).&=a2+幻&同理.有芯=一0(EeV+Fe-V)+yAe牛+AtjBe_zi

14、*4-K2Bor2t+K2De*(45)wm=一8(Ger+He-V)+k3A!+式中:OS.n，0C.Q=两7+8刈灼=泊+例2&3=；-01Kq=例1PW另外.将式（28）（&2）代入式（23）.且对于任意的都成立.故J=G)(47)K=-F)(48)由此可知,A、B、C、D、E、F、G、H共有8个未知函数.2边值问题的求解本文讨论边界完全透水条件和完全不透水两种特殊情况.变换域内的边界完全透水条件和完全不透水条件分别为/|,_0=0,孳|=。（50）+%L-oJ+a|：-Q=Oj+z61x0JL-0=r）确定.由于式（50）所得出的任意函数B、D、F和H的表达式比较复杂.故本文不再列出.

15、图1半空间饱和土表面受简谐水平力作用Fig.1Thesurfaceofsaturatedsoilsubjecttoharmonichorizontalforceinside（2）半空间内部作用水平力.以水平力所在的水平面为界面把半空间区域分为n和d2两个区域（见图2）.其中n厚度为h的有限区域，而d2则为无限区域.对于区域。：内的任意函数A.B,.K用：.&,，来表示；由于为无限区域.根据无穷远处正则条件.可以得出对应于D2内的任意函数A=C=E=G=0.其他任意函数B、D、F和H用B，D2、F，和IV来表示.由此可得.对于图2所示的问题有出.&，和BDFHZ共12个任意函数需要求解.因此.必

16、须相应地建立边界条件和连续性条件来求上述12个未知任意函数.利用边界条件和连续性条件：7l.o=o（|t_o=o|bnc=0叫+atr+l0=0，Ur+U0liWr2可得任意函数4,8,.尸和BDF2JP.由于式（51）所得出的任意函数4,可，W和BDFLH，的表达式比较复杂.故本文不再列出.张正林，等：非轴对称荷栽下考虑流体流速的饱和土稳态动力响应实际上.通过符号运算软件Maple不谁得出上述任意函数.此外，式（50）和（51）中的兀当水平力大小为P的集中力时E取尸/山当水平力合力为P、且是在半径为R在圆上的均匀分布的沿方向的分布载荷时，n取丝竺籍，其中A为均布圆形载荷作用面面积，S为Han

17、kel变换参数.图2半空间饱和土内部受简谐水平力作用Fig.2Theinsideofsaturatedsoilsubjecttoharmonichorizontalforceinside3数值解的实现以上求出的是积分形式的解.做相应的Hankel逆变换就能求解出应力、应变、位移和孔压等，Han-kel逆变换的公式为=c/（）J,（cr）dc（52）0对式（52）积分，如果对于计算点和力的作用点的垂直距离较大，则积分收敛较快；如果计算点和力的作用点在同一水平面上或计算点和力的作用点的垂直距离很近，则积分收敛较慢.因此,采用欧拉变换来加速积分的收敛.式中的为阶第1类贝塞尔函数.设其零点为&,则式（

18、52）可表示为假定式中的每一项的绝对值为则式（53）的积分可表示为/（r）=“0以i+（1u,+（55）假设从每m项开始欧拉变换,则式（55）可表示为1=、匕+r1111（一1广分七一2泰-+百工“*一（56）式中：95】皿=wm+)umS=Ji2j+i+un参考文献：1BiotMA.Thetheoryofpropagationofelasticwavesinafluid-saturatedporoussolid.J.JAcoustSocAm.1956,28(2),168-191.2PaulS.Onthedisplacementsproducedinporouselastichalf-spac

19、ebyanimpulsivelineload(no-dissipativecase)J.PureApplGeophys.976】14(5)：605-614._3ChenJ.TimedomainfundamentalsolutiontoBiot*scompleteequationofdynamicporoelasticity.PartI:Two-dimensionalsolution.JIntJSolidStruct,1994,31:1447-1490.4 杨俊.吴世明，陈云敏.弹性层和饱和半空间体系稳定动力响应J.土木工程学报，1997,30(3)：3947.YANGJun,WUShi-min

20、g.CHENYunmin.Steadystateresponseofelasticsoillayerandsaturatedlayeredhalf-space.J.ChinaCivilEngineeringJournal.1997,30(3):39-47.5 张引科，黄义.禅性饱和多孔介质在非对称荷载下的稳态动力响应J.土木工程学报.2002,35(3):41一45.ZHANGYin-ke,HUANGYi.Steadydynamicresponseofelasticsaturatedporousmediumundernonoatisymmetricalload：J.ChinaCivilEngineeringJournal.2002.35(3):4145.6 陆建E,王建华.沈为平.半空间饱和土作用水平力的格林函数J.地震学报，200】，23(2)；185-191.LUJian-fei,WANGJianhua.SHENWei-ping.Thegreensfunctionoftheharmonichorizontalforceappliedtotheinteriorofthesaturatedhalf-space：J.ActaSeismologiesSinica.2001.23(2)：1