高级中学常见分段函数题型归纳

1、*它是一个函数,f(x)例1.已知函数分段函数常见题型及解法分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数,非几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集与分段函数有关的类型题的求解，在教材中只出现了由分段函数作出其图象的题型，并未作深入说明,因此，对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多，现举例说明其求解方法.1 .求分段函数的定义域和值域2x 2 x 1,0; f(x) 1x x (0,2);例1.求函数3 x 2,"的定义域、值域.解析：作图，利用“数形结合”易知 f(x)的定义域为1)，值域为(-1, 2U 3.(A &g

2、t;0)划=4 3例2.求函数(彳二 口)的值域.解析：因为当xno时，x2+1>l；当x<0时，-x2<0.所以，原函数的值域是2 .求分段函数的函数值|x 1| 2,(|x| 1)11 x2,(|x| 1)求 ffG)解析：因为f(2) 11 1| 23 HF)凡所以f( 1)1 ( 1)2413.或)依1圈】X例2.已知函数L -(/ < 0),(。工"D，(,求 f联a) (a<0)的值.分析：求此函数值关键是由内到外逐一求值,即由a<0, f(a)=2a ,又 0<2a<1,7(V3) = 10gl = -7VU D3 &qu

3、ot; ，所以，注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段.g(x)练1.设ex, x 0.lnx,x 0.则1以町)(x 2).则 ff(2)f(x)练2.设x 12e (x 2),.2log 3(x 1)3 .求分段函数的最值4x 3 (x 0)f(x) x 3 (0 x 1)fmax(x)f(1) 4当x 1时,例1.求函数x 5 (x 1)的最大值.解析：当x 。时，fmax(x)f3,当0 x 1时4,综上有fmax (x)例2.设a为实数，函数f(x)=x 2+|x-a|+1,x £ R,求f(x)的最小值 分析：因为原函数可化为/十二一口十1所以，只要分别

4、求出其最小值，再取两者较小者即可铲 * 叶：f 2解：当x<a时，函数f(x)=x2-x+a+1 乙3十厘十一4a < -所以若 2 ,则函数f(x)在(-8,a止单调递减，从而f(x)在(-8,a止的最小值为f(a)=a2+1.-2 ,则函数f(x)在(-°0,a止的最小值为一3十口4 ，且/ (a) =+ x- a-l = (x + )J当x>a时，函数20 + 4; 3八一 0 =ja八一三”2 4，且 2a若 2 ,则函数f(x)在a,+的最小值为f(a)=a2+1.综上，当 2时，函数f(x)的最小值是4当 22时，函数f(x)的最小值是a ,则函数f(x

5、)在a,+ 8t的最小值为+1 ；、1 3 a > a 当 2时，函数造)的最小值是4.注：分段函数最值求解方法是先分别求出各段函数的最值，再进行大小比较，从而达到求解的目的4 .求分段函数的解析式例1.在同一平面直角坐标系中，函数y f(x)和y g(x)的图象关于直线y x对称，现将 y g(x)的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线(如图所示)则函数f(x) 的表达式为()A. f(x)2x 2 ( 1 x 0) 2x 2(0 x 2)B. f(x)2x 2x 22 2(1x0)(0 x 2)C. f(x)2x 2 (1 x 2)2

6、 1(2 x 4)D. f(x)2x 6 (1 x 2)2 3(2 x 4)解析：当x 2，0时,y 2x 1将其图象沿x轴向右平移2个单位，再与&y轴向下平移1个单位，得解析式为y 12(x 2) 1 11x 1,所以 f(x) 2x 2 (x 1,0)当 x 0,1时,y 2x 1将其图象沿x轴向右平移2个单位,再沿y轴向下平移1个单位，得解析式y 2(x 2) 1 1 2x 4 所以 f(x) x 2 (x 0,2)综上可得f(x)2x 2 ( 1 x 0)(0x 2)故选A.2月1日起的300天内，西红柿售价与上市时例2.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从间的关系用图

7、1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示:(I)写出图l表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t),写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q=g(t) ; (II)认定市面上售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？解析:(I)由图l可得市场售价与时间的关系为(0< 200)(200 <2 £30。)由图2可得种植成本与时间的函数关系为13上 UU(0<t<30 0(II)设t时间的纯收益为 h(t),由题意得?+ (。工 E 420022_L产 二”丹里£3。0)一h(t)=f(t)-g(t)20

8、022再求h(t)的最大值即可。注：观察图1,知f(t)应是一个关于t的一次分段函数，观察图 2可知g(t)是关于t的二次函数，可设 为顶点式，即设 g(t)=a(t-150) 2+100。5 .作分段函数的图像11nxi例i.函数ye |x 11的图像大致是()D例2.已知函数f(x)=|x2-2x-3的图象与直线 解：f(x)=|(x-1) 2-4|=|(x+1)(x-3)|,y=a有且仅有3个交点，求a的值.所以(工 > 3)由图象易知a=4.注：此题可以根据函数图像的对称性直接画出函数图像，再根据数形结合的方法求出，不用写出函数 解析式，更简单.例3.已知函数f(x)=|x2-2

9、x-3的图象与直线y=a有且仅有3个交点，求a的值.解：f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|,由图象易知a=4.(TK 3),S >3).注：此题可以根据函数图像的对称性直接画出函数图像，再根据数形结合的方法求出，不用写出函数 解析式，更简单.6 .求分段函数得反函数例1.求函数”0)(天)°)的反函数.解：: f(x)在R上是单调减函数,1. f(x)在R上有反函数.y=x2+1(x w 0两反函数是 y - 一J' 一1 (x > 1),y=1-x(x>0)的反函数是 y=1-x(x<1),函数f(x)的反函数是gl),5 &l

10、t; 1).注：求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可例2.已知y f(x)是定义在R上的奇函数且当 x 0时，f(x)3x 1设f(x)得反函数为y g(x), 求g(x)的表达式.解析：设xx0,则 x 0,所以 f( x) 31又因为f(x)是定义在R上的奇函数所以f( x)f(x),且 f(0)0,所以 f(x) 1 3因此3x1(x0)f(x)0(x0)g(x)13 x(x0),从而可得例 3.已知 f(x) l0g3(x + 1)(x>6)3x-6(x<6)log3(x 1) (x 0)0(x 0)log3(1 x) (x 0),若记f 1(x)为f (x)的反函数

11、，且1 1(9),f(a 4)7 .判断分段函数的奇偶性f (x)例1.判断函数2 ,/、，x (x 1) (x2x (x 1)(x0)0)的奇偶性.解析：当x 0时,f( 0)f(0) 0,当 x 0意 x R都有 f ( x) f(x),所以f (x)为偶函数.22 ,x 0, f( x) ( x) ( x 1) x (x 1) f(x),当 x 0时注：分段函数奇偶性必须对8.判断分段函数的单调性x值分类，从而比较f(-x)与f(x)的关系，得出f(x)是否是奇偶函数结论3xf (x)2例1.判断函数x解一：x (x 0)(x 0)的单调性.分析：由于xCR,所以对于设x1>x2必

12、须分成三类:1.当 x>x2>0 时，贝U f(x1)-f(x 2)=+1 (勺 +1) =(x1-x2)(x1+x2)>0 ；2.当0”1>x2时，则八a-7区)=-1；-(-君)=工厂硝区f)o；3.当x1>0>x2时,则以川-区)=工： C$l>0 一综上所述：xCR,且 x1>x2 时,有 f(x 1)-f(x 2)>0。所以函数f(x)是增函数.注：分段函数的单调性的讨论必须对自变量的值分类讨论'2解二：显然f(x)连续.当x 0时，f (x) 3x 1 1恒成立,所以f(x)是单调递增函数，当x 0 时，f(x) 2x

13、0 恒成立，f(x)也是单调递增函数，所以f(x)在R上是单调递增函数；或画图易知f(x)在R上是单调递增函数.例2.写出函数f(x) |1 2x| |2x|的单调减区间.解析:f(x)3x 1 (x3 x (3x1 (x2)2 x2)2),画图知单调减区间为9.解分段函数的方程例1.设函数解析：若21x 814,解得例2.设函数解析：若21x 814,解得f(x)f(x)log81 x(1,)log81 x，则2 x3 (1,)练1:函数f(x)=A.a<0(1,1) 升f (x) ,则满足方程2,得x 2 (,1,所以所以x 3即为所求.x的值为(舍去)，若log81x1”,则(,1

14、(1,) ,则满足方程f(x)2,得x 2 (，1,所以所以x 3即为所求.,1 x2(|x| 1) |x|(|x| 1)B.0<a<1,如果方程f(x)=a有且只有C.a=14的x的值为x 2 (舍去)，若 10g81 x个实根，那么a满足D.a>1f (x)练2:设定义为R的函数lg x 1 , x 1,0,x 0.则关于x的方程f2(x)bf (x) c 0有7个不同的实数解的充要条件是()A. b 0 且 C 0 b. b 0且 C 0C. b 0且 C 0 d. b 0且 c 0练3:设函数f (x)在()上满足 f(2 x) f(2 x), f(7 x)f(7 x

15、),且在闭区间0,7上，只有 f f(3) 0.(I)试判断函数y f(x)的奇偶性;(n)试求方程f (x)0在闭区间10.解分段函数的不等式2005,2005上的根的个数，并证明你的结论f(x)设函数2 x1x21 (x(x0)0),若f(x0) 1,则x0得取值范围是()A.( 1,1) C.(, D.(,b.( 1,2) (0,1) (1,解一首先画出f(x)和f(%) 1时,所对应的x0的取值范围是的大致图像，,1)(1,解二:因为f (x0)1 ,当 x00时，2x011,解得 x01 ,当 x00时,1 x021,解得x01,综上x0的取值范围是,1)(1,) .故选D.C.例2

16、:解析:f(x) 1f(x)设函数2 0,102 1,10当x 1时,(xf(x)0 x 10,故选A项.1)2.x 1(x(xB.D.1 (x1)1),22,01)21则使得f(x)0,11,1010,所以11的自变量x的取值范围为0,所以x2或0 xx 10,综上所述，x当x 1时,f (x)例3:设函数(x 1)2 (x 1)则使得f(x) 1的自变量x的取值范围为(4,x 1 (x 1)A. (,2 0,10B. (, 2 0,1C. (, 2 1,10D. 2,01,102,解析：当 x 1 时，f(x) 1 (x 1)1x2或x 0,所以x2或0 x 1,当x 1时,x 10所以1 x 10,综上所述,f(x)练1 :已知1 (x 0)0 x 10,故选A项.1 (x 0),则不等式 x (x 2)f(x 2) 5的解集是练 2:设 f(x)=x 12e , x10g 3(x22,1),x 2,则不等式f(x)>2的解集为(A) (1, 2)(3, +8)(B) (。10 , +oo)(C) (1, 2)(T10 , +oo)(D) (1, 2)1 (以；有理数)练