数学物理方法（MethodofmathematicalPhysics）

1、2022-3-7太原师范学院 物理系 焦志莲1数学物理方法复变函数论2022-3-7太原师范学院 物理系 焦志莲2复变函数论n 复数n 复变函数n 导数n 解析函数n 本章小结2022-3-7太原师范学院 物理系 焦志莲3复数u 数的扩张（完善化）l 自然数l 减法不封闭整数l 除法不封闭有理数l 不完备2 实数l 方程可解性复数2022-3-7太原师范学院 物理系 焦志莲4复数u 复数的表示 代数表示 z = x + iy x = Real(z), y = Imagine(z) 三角表示 z = r (cos + i sin)r = |z|, = Arg(z) 指数表示 z = r exp(

2、i)exp(i) = cos + i sin2022-3-7太原师范学院 物理系 焦志莲5复数u 几何表示l关系x = r cosy = r sinr = (x2+y2)= Arctan(y/x)l特点无序性复数无大小 矢量性：复数有方向2022-3-7太原师范学院 物理系 焦志莲6复数u 运算l加减法 (x1+ iy1)(x2+ iy2) = (x1x2) + i(y1y2) l乘除法 r1exp(i1) r2exp(i2) = r1r2 expi(1+2) l幂和开方 r exp(i)n = rn exp(in) r exp(i)1/n = r1/n exp(i/n)l复共轭 z = x

3、+ iy z* = x iy z = r exp(i) z* = r exp(-i)2022-3-7太原师范学院 物理系 焦志莲7复变函数u 概念l定义 函数：从一个数域(定义域）到另一个数域（值域）的映射 实变函数：f:xy 复变函数：f:zwl举例 f(n) = fn = (1+i)n, nN f(z) = zn f(z) = exp(z) f(z) = ln(z)2022-3-7太原师范学院 物理系 焦志莲8复变函数l更多的例子 w = az2 w = az2 + bz +c w = 1/(az + b) w = (az + b) w = Ln(az + b) w = sin z w =

4、 Arccos z w = an zn w = an sin(nz) w = (1-z2/n22) w = exp(-z2)dz2022-3-7太原师范学院 物理系 焦志莲9复变函数复变函数的分类复数数列整式分式有理函数无理函数代数函数超越函数初等函数幂级数傅立叶级数级数无穷乘积无限次运算无限次复合非初等函数复变函数（狭义）复变函数（广义）2022-3-7太原师范学院 物理系 焦志莲10复变函数n 分析与比较u 定义域和值域l 相同点：都是数集l 不同点：实数集是一维的，可以在(直)线上表示；复数集是二维的，必须在(平)面上表示。l 典型例子：|x|2 是连通的， 1|x|是不连通的；|z|2

5、是单连通的， 1|z|是复连通的。2022-3-7太原师范学院 物理系 焦志莲11复变函数u 映射l 相同点在形式上：y = f(x), w = f(z)l 不同点在变量上：z = x+iy, w = u+iv在描述上：实变函数可以用两个数轴组成的平面上的曲线表示；复变函数不能用一个图形完全表示。l 联系u = u(x,y), v = v(x,y)可以用两个曲面分别表示复变函数的实部与虚部。2022-3-7太原师范学院 物理系 焦志莲12复变函数u 结构l 相同点：复杂函数都可以分解为简单的基本函数组成。l 不同点：基本实变函数 xn, x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arc

6、tan(x)基本复变函数 zn, z1/n,exp(z),ln(z)原因 cos(z)=(eiz +e-iz)/2, sin(z)=(eiz -e-iz)/2i2022-3-7太原师范学院 物理系 焦志莲13复变函数n 基本函数u 二次函数l 定义:w = z2l 分析 u + iv = (x+iy)2 = x2 +2ixy -y2 u = x2 -y2 ,v = 2xyl 性质对称性、无周期性无界性、单值性-10-50510-10-50510-100-50050100-10-50510-10-50510-10-50510-200-1000100200-10-505102022-3-7太原师范

7、学院 物理系 焦志莲14复变函数u 三次函数l 定义：w = z3l 分析u + iv = (x+iy)3 = x3 +3ix2y-3xy2 -iy3 u = x3 3xy2 ,v = 3x2y - y3 l 性质对称性无周期性无界性单值性-10-50510-10-50510-2000-1000010002000-10-50510-10-50510-10-50510-2000-1000010002000-10-505102022-3-7太原师范学院 物理系 焦志莲15复变函数u 指数函数l 定义：w = exp(z)l 分析u + iv = exp(x+iy) = exp(x)cosy +i

8、sinyu = exp(x) cos y ,v = exp(x) sin yl 性质不对称性周期性exp(z+2i)= exp(z)无界性单值性-2-1012-5-2.502.55-5-2.502.55-2-1012-2-1012-5-2.502.55-4-2024-2-10122022-3-7太原师范学院 物理系 焦志莲16复变函数u 对数函数l 定义：w = Ln(z)l 分析u + iv = Ln r exp(i) = ln r + i u = ln r,v = l 性质对称性非周期性无界性多值性：=argz+2k (k=0,1,2,) 123451234500.511.5212345-

9、2-1012-2-1012-101-2-10122022-3-7太原师范学院 物理系 焦志莲17复变函数u 三角函数l 定义：w = sin(z)l 分析u + iv = sin(x+iy) = sin(x)ch(y) + i cos(x)sh(y)u = sin(x)ch(y) ,v = cos(x)sh(y)l 性质对称性周期性无界性单值性-5-2.502.55-4-2024-20020-5-2.502.55-5-2.502.55-4-2024-20020-5-2.502.552022-3-7太原师范学院 物理系 焦志莲18复变函数的导数n 基本概念实变函数复变函数极限连续导数Axfxx)

10、(lim0Azfzz)(lim0)()(lim00 xfxfxx)()(lim00zfzfzz)( )(lim00 xfxxfxx)( )(lim00zfzzfzz2022-3-7太原师范学院 物理系 焦志莲19复变函数的导数u 可导条件l分析C-R条件ux = vy ，vx = -uy充要条件偏导数 ux ，vy ，vx ，uy 连续满足C-R条件意义可导函数的虚部与实部不是独立的，而是相互紧密联系的。xvixuxviuzzfxxyyxx000lim)(limyuiyvyiviuzzfyyyyxx000lim)(limzzfzfzzfyyxxyyxx)(lim)( )(lim00000202

11、2-3-7太原师范学院 物理系 焦志莲20复变函数的导数l 典型情况初等函数在定义域内都可导；函数Re(z),Im(z),|z|, Arg(z), z*不可导。l 导数的计算法则：复变函数的求导法则与实变函数完全相同；例子：(sin2z) = 2 sin z cos zexp(z2 ) = 2 z exp(z2 )(z3)” = 6 z2022-3-7太原师范学院 物理系 焦志莲21复变函数的导数u 导数的意义l微商表示f(z) = dw/dz l模：|f(z)|= |dw|/|dz| l幅角：Argf(z)= Arg(dw) - Arg(dz) 2022-3-7太原师范学院 物理系 焦志莲2

12、2解析函数n 定义u 点解析：函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导。u 区域解析：函数f(z)在区域B上每一点都解析。n 性质u 调和性：解析函数的实部与虚部都是调和函数，即 u=uxx + uyy = 0, v=vxx + vyy = 0u 正交性：解析函数的实部与虚部梯度正交， 即 u v=（uxi+uyj)（vxi+vyj)= uxvx+uyvy = 0 或曲线 u(x,y)=C1, v(x,y)=C2 相互垂直。2022-3-7太原师范学院 物理系 焦志莲23解析函数n 应用例例1：已知平面电场的电势为u=x2-y2，求电力线方程。分析：分析：等势面与电力线相互正交，对应的函数组成一

13、个解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。解：解：设电力线为v(x,y)=C,由C-R条件得 vx=-uy=2y, vy=ux =2x dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy) v = 2xy注意：电力线方程的一般形式为 f(2xy)=C2022-3-7太原师范学院 物理系 焦志莲24解析函数例例2：已知平面电场的等势线为x2+y2=C，求电势u(x,y)。分析：分析：等势线方程的左边不一定恰好是电势表达式，电势必须有调和性，可看成某个解析函数的实部。解：解：设电势为 u=f(x2+y2) ux=2xf, uxx=2f+4x2f” uy=2yf, uyy=2f+4y2f” uxx+uyy=4f+4(x2+y2)f”=0 令 t = x2+y2, g = f(t)， 则有g +t g = 0 g = -ln t +C f = 1-ln(x2+y2) (x2+y2)+C2022-3-7太原师范学院 物理系 焦志莲25解析函数例例3：已知平面温度场的温度分布为u=x2-y2，求热流量函数。分析：分析：热流的方向与等温线相互正交，对应的函数组成一个 解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。解：解：设热流量函数为v(x,y)=C,由C-R条件得 vx=-uy=2y, vy=ux =2x dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d