二、空间曲线的切线与法平面

1、目录 上页 下页 返回 结束 二、空间曲线的切线与法平面二、空间曲线的切线与法平面 第六节一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数 三、曲面的切平面与法线三、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第九章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、一元向量值函数及其导数一元向量值函数及其导数引例引例: 已知空间曲线 的参数方程:,)()()(ttztytx)(),(),()(),(ttttfzyxr记 的向量方程,),(ttfrMrxzyO 对 上的动点M ,即 是此方程确定映射3R, :f,称此映射为一元向量 ，显然OMr r的终点M 的轨迹 , 此轨迹称为向量值函数的终端曲线

2、 .值函数. 要用向量值函数研究曲线的连续性连续性和光滑性光滑性，就需要引进向量值函数的极限、连续和导数的概念.目录 上页 下页 返回 结束 定义定义: 给定数集 D R , 称映射nDfR:为一元向量值函数（简称向量值函数）, 记为Dttfr),(定义域自变量因变量向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、连续和导数密切相关,进行讨论.123( )( ),( ),( ),f tf tf tf ttD设则极限极限：连续连续：导数导数：严格定义见P93)(lim),(lim),(lim()(lim3210000tftftftftttttttt)()(lim00tftftt)(),(),()(

3、321tftftftfttfttftftt)()(lim)(0000因此下面仅以 n = 3 的情形为代表目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数的导数运算法则向量值函数的导数运算法则: (P94-95)设vu,是可导向量值函数, )(t是可导函数, 则OCtdd) 1 ()()()2(ddtuctuct)()()()()3(ddtvtutvtut)()()()()()()4(ddtuttuttutt)()()()()()()5(ddtvtutvtutvtut)()()()()()()6(ddtvtutvtutvtutC 是常向量, c 是任一常数,)()()()7(ddtuttut目录 上页

4、 下页 返回 结束 向量值函数导数的几何意义向量值函数导数的几何意义:在 R3中, 设Dttfr),(的终端曲线为 , MxzyOr)(0tf tr)(),(00ttfONtfOMN)()(00tfttfr)(lim00tftrtt表示终端曲线在t0处的 切向量,其指向与t 的增长方向一致.)(0tf , 则0)(0 tf设r目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数导数的物理意义向量值函数导数的物理意义:设)(tfr 表示质点沿光滑曲线运动的位置向量, 则有 )()(tftv)(tva)(tf ).(lim,)(sin)(cos)(4tfktjtittft求例例1. 设速度向量：加速度向量：解

5、：解：ktjtittftttt4444lim)sinlim()coslim()(limkji42222)(4f目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设空间曲线 的向量方程为 求曲线 上对应于解解:20t)62, 34, 1()(22tttttfrR,ttttf)6442()(的点处的单位切向量.R,t故所求单位切向量为)31,32,32()2()2(ff)2, 4, 4()2( f222)2(44)2( f其方向与 t 的增长方向一致另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为)31,32,32(= 6目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 一人悬挂在滑翔机上, 受快速上升气流影响作螺求旋式上升

6、, 其位置向量为),sin3,cos3(2tttr (1) 滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量;(2) 滑翔机在任意时刻 t 的速率;(3) 滑翔机的加速度与速度正交的时刻.解解: (1)2,sin3,cos3(ttva)2,cos3,3sin()(ttttrv222)2()cos3()sin3()()2(ttttr249t0av(3) 由即, 04sincos9cossin9ttttt,0t得即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交.目录 上页 下页 返回 结束 二、二、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面法平面.TM置.空间光

7、滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限位)(),(),()(ttttf：给定光滑曲线 在)(),(),()(ttttf点法式可建立曲线的法平面方程利用时，不同时为，则当0点M (x, y, z) 处的切向量及法平面的法向量均为点向式可建立曲线的切线方程目录 上页 下页 返回 结束 1. 曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况,),(, )(, )(ttztytx：因此曲线 在点 M 处的000zzyyxx)(0t)(0t)(0t,),(0000ttzyxM对应上的点设则 在点M 的导向量为)(00 xxt)( )(00yyt0)(00zzt法平面方程法平面方程 )(),(),

8、()(0000ttttfM)(0tf 不全)(),(),(000ttt给定光滑曲线为0, 切线方程切线方程目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求曲线32,tztytx在点 M (1, 1, 1) 处的切线 方程与法平面方程. ,3,2, 12tztyx解：解：, 10t点(1, 1, 1) 对应于故点M 处的切向量为)3, 2, 1 (T因此所求切线方程为 111zyx123法平面方程为) 1( x) 1(2y0) 1( 3z即632zyx)()(:xzxy思考思考: 光滑曲线的切向量有何特点?), 1(T答答:)()(:xzxyxx切向量目录 上页 下页 返回 结束 时，当0),(),(

9、zyGFJ2. 曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxF)()(xzxyxydd曲线上一点),(000zyxMxyz, 且有xzdd,),(),(1xzGFJ ,),(),(1yxGFJ 可表示为处的切向量为 MMyxGFJxzGFJ),(),(1,),(),(1,1)(, )(, 100 xxT目录 上页 下页 返回 结束 000zzyyxxMzyGF),(),(则在点),(000zyxM切线方程切线方程法平面方程法平面方程有MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0 xx MyxGF),(),(MxzGF),(),()(0

10、yy 0)(0 zz或MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(目录 上页 下页 返回 结束 0)()()()()()(000MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表为)(),(),()(),(),(00yyMxzGFxxMzyGF法平面方程法平面方程0)(),(),(0zzMyxGF目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求曲线0,6222zyxzyx在点M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. MzyGF),(),(切线方程121zyx解法解法1 令, 6222zyxGzyxF则即0202yzx切向量;0),(),(MxzGFMzy11

11、22Mzy)(2;606xyz66),(),(MyxGF)6,0, 6(T目录 上页 下页 返回 结束 06222zyxzyx法平面方程0) 1(6)2(0) 1(6zyx即0 zxxxzzxyydddd解法解法2 方程组两边对 x 求导, 得1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲线在点 M(1,2, 1) 处有:切向量解得11zx,zyxzzyyx)1,0, 1 (MMxzxyTdd,dd,1目录 上页 下页 返回 结束 切线方程121zyx即0202yzx法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即0 zx点 M (1,2, 1) 处的切向量011)1,0,

12、 1(T目录 上页 下页 返回 结束 0),(:zyxF三、三、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点),(000zyxM0tt 设对应点 M,)(, )(, )(000ttt切线方程为)()()(000000tzztyytxx不全为0 . 则 在, )(, )(, )(:tztytx且点 M 的切向量切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为 在该点的切平面切平面. 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. )(, )(, )(000tttTMT目录 上页 下页 返回 结束 MT证证:在 上,)(, )(, )(:tztytx0) )(, )(, )(

13、tttF,0处求导两边在tt ,0Mtt对应点注意 )(0t0),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t得)(, )(, )(000tttT),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令nT 切向量由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以为法向量n的平面上 , 从而切平面存在 .n目录 上页 下页 返回 结束 )( ),(0000 xxzyxFx曲面 在点 M 的法向量法向量: 法线方程法线方程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz 切平面方程切平面方程),(000zyxF

14、x),(000zyxFy),(000zyxFz),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 过M点且垂直于切平面的直线 称为曲面 在点 M 的法线法线. MTn目录 上页 下页 返回 结束 )(,(000 xxyxfx曲面时, ),(yxfz zyxfzyxF),(),(则在点),(zyx故当函数 ),(yxf),(00yx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法线方程法线方程,yyfF 1zF令有在点),(000zyx特别特别, 当光滑曲面 的方程为显式 在点有连续偏导数时, )( ),(000yyyxfy0zz,xxfF 切平面方程切平面方

15、程法向量法向量) 1),(),(0000yxfyxfnyx目录 上页 下页 返回 结束 )(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面上点的切平面上点的竖坐标的增量竖坐标的增量因为曲面在因为曲面在M M处的切平面方程为处的切平面方程为的全微分的全微分在点在点函数函数),(),(00yxyxfz .),(),(,),(),(00000增量增量切平面上点的竖坐标的切平面上点的竖坐标的处的处的，在点在点曲面曲面表示表示的全微分的全微分在点在点zyxyxfzyxyxfz 全微分的几何意义全微分的几何意义设空间曲面方程为设空间曲面方程为),(yxfz 目录 上页 下页 返回 结束 ,

16、法向量法向量用2211cosyxff将),(, ),(0000yxfyxfyx,yxff法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：表示法向量的方向角, 并假定法向量方向.为锐角则分别记为则,1cos,1cos2222yxyyxxffffff向上,) 1, ),(, ),(0000yxfyxfnyx复习 目录 上页 下页 返回 结束 若曲面方程为参数方程形式若曲面方程为参数方程形式( , ):( , )( , )xx u vyy u vzz u v 00000000(,)(,)(,)(,)( , )( , )( , )(,)( , )( , )( , )uuuvvvu vu vu vu vijknxy

17、zxyyy zz xx yu vu vu v 000000000(,),(,),(,)xx u vyy u vzz u v 则曲面在点则曲面在点 处的处的法向量法向量为为000(,)M xyz00(,)( , )0( , )u vx yu v 若若目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求球面14222zyx在点(1 , 2 , 3) 处的切平面及法线方程. 解解: 令14),(222zyxzyxF所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x01432zyx即法线方程法线方程321zyx)2(4y0)3(6z123法向量)2,2,2(zyxn )6,4,2()

18、3, 2, 1(n即321zyx(可见法线经过原点，即球心)目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 确定正数 使曲面zyx222zyx在点),(000zyxM解解: 二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切, 故000000000zyxyzxxzy0 x202020zyx又点 M 在球面上,32202020azyx故于是有000zyx2a相切.333a与球面, ),(0000001yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有20y20z2目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1. 证明曲面0),(ynzymxF与定直线平行,.),(可微其中vuF证证: 曲面上任一

19、点的法向量,1F, )()(21nFmF )2F取定直线的方向向量为,m,1)n则(定向量)故结论成立 .的所有切平面恒(n(l,0nl目录 上页 下页 返回 结束 2. 求曲线0453203222zyxxzyx在点(1,1,1) 的切线解解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为)2,2, 1(因此切线的方向向量为)1,9,16(由此得切线:111zyx1691法平面:0) 1() 1(9) 1(16zyx024916zyx即与法平面.) 1 , 1 , 1 (1)2,2,32(zyxn)5,3,2(2n21nnl目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 如果平面01633z

20、yx与椭球面相切,提示提示: 设切点为, ),(000zyxM则223yx .求000226zyx3301633000zyx163202020zyx2162 z(二法向量平行) (切点在平面上)(切点在椭球面上)目录 上页 下页 返回 结束 证明 曲面)(xyfxz 上任一点处的切平面都通过原点.提示提示: 在曲面上任意取一点, ),(000zyxM则通过此0zz)(0 xxxzM)(0yyyzM2. 设 f ( u ) 可微,第七节 证明原点坐标满足上述方程 .点的切平面为目录 上页 下页 返回 结束 1. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1) 参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量内容小结内容小结)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00z