排列组合典型例题

1、典型例题一例1用0到9这10个数字可组成多少个没有重复数字的四位偶数？解法1:当个位数上排“ 0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有A个；当个位上在“ 2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一 个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有a4 A8 As (个)没有重复数字的四位偶数有A； +a4 a8 A； =504 +1 792229个典型例题二例2三个女生和五个男生排成一排(1) 如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2) 如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？(3) 如果两端都不能排女生，可有多少

2、种不同的排法？(4) 如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？解：(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这. . 6样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有人种不同排法.对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有 A对种不同的排法，因此共有 A A = 4320种不同的排法.(2) (插空法)要保证女生全分开， 可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档.这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三 个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有As种不同排

3、法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有A种方法，因此共有 A A(3 =14400种不同的排法.(3) 解法1:(位置分析法)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有Af种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有As种排法，所以共有A aS =14400种不同的排法.(4) 解法1:因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有 a5 a7种不同的排法；如果首位排女生，有 a1种排法，这时末位就 只能排男生，有a5种排法，首末两端任意排定一种情况后， 其余6位都有 A种不同的排法， 这样可有a3 a5

4、aS5种不同排法.因此共有 a5 A + a3 a1识：=36000种不同的排法. 8 2 6解法2:3个女生和5个男生排成一排有 As种排法，从中扣去两端都是女生排法 A3 As种，就能得到两端不都是女生的排法种数.因此共有A8 - A； A = 36000种不同的排法.典型例题三例3排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。(1 )任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2) 歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？5解：(1 )先排歌唱节目有 As种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有 A中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：A A = 43200.

5、(2)先排舞蹈节目有 A：中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供 5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：A A = 2880种方法。典型例题四例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第 一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法.分析与解法1： 6六门课总的排法是 A，其中不符合要求的可分55为：体育排在第一书有 A种排法，如图中i；数学排在最后一节有 A5种排法，如图中n；但这两种排法，都包括体育排在第一书数学排在最后一节，如图中川，这种情况有A：种排法，因此符合条件的排法应是：654A -2A5 A4

6、-504 (种).典型例题五例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员.问 车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？分析：可以把3辆车看成排了顺序的三个空：，然后把3名司机和3名售票员分别填入因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题.解：分两步完成.第一步，把 3名司机安排到3辆车中，有Af =6种安排方法；第二步把3名售票员安排到3辆车中，有 启=6种安排方法故搭配方案共有33A3 A3 -36 种.典型例题六例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表如果有4所重点院校，每所院校有 3个专业是你较为满意的选择. 若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业

7、也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？学校1专业112212312解：填表过程可分两步.第一步，确定填报学校及其顺序，则在4所学校中选出3所并加排列，共有 A4种不同的排法；第二步，从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其2 2 2顺序，其中又包含三小步，因此总的排列数有a a3a3种.综合以上两步，由分步计数原理得不同的填表方法有：A4 A A 兀=5184种.典型例题七例57名同学排队照相.(1) 若分成两排照，前排 3人，后排4人，有多少种不同的排法？(2) 若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？(3) 若排成一排照，甲、乙、丙三

8、人必须相邻，有多少种不同的排法？若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？ 解: (1) A； A：=5040 种.第一步安排甲，有 A3种排法；第二步安排乙，有 a4种排法；第三步余下的5人排在 剩下的5个位置上，有A55种排法，由分步计数原理得，符合要求的排法共有 A1 a4 a5 =1440 种.(3) 第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，有其余 4个元素排成一排，即看成 5个元素的 全排列问题，有 a5种排法；第二步，甲、乙、丙三人内部全排列，有 a；种排法.由分步计 数原理得，共有 A5心=720种排法.(4) 第一步，4名男生全排列，有A4种排法；第

9、二步，女生插空，即将3名女生插入4名3男生之间的5个空位，这样可保证女生不相邻， 易知有 乓种插入方法.由分步计数原理得， 符合条件的排法共有：A： A3 = 1440种.典型例题八例8从2、3 4、5、6五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数的和.解：形如 丽习的数共有 A个，当这些数相加时，由“ 2 ”产生的和是 A 2 ;形如祀的数也有 A个，当这些数相加时，由“ 2 ”产生的和是 A：2 10 ；形如 丽阳的数也有 A4 个，当这些数相加时，由“ 2 ”产生的和应是 A 2 100 .这样在所有三位数的和中， 由“ 2 ” 产生的和是A4" 2111 .同理

10、由3 4、5、6产生的和分别是A4" 3 111 , A2 4111 ,A2 5 111 , A： 6 111，因此所有三位数的和是A；2 111 (2 3 4 5 6H 26640 .典型例题九例9计算下列各题：m -1 n -m26An _1 An m(1) A15 ；(2) A ；(3) -nj；An123n1(4) 1! 2 2! 3 3! n n!(5) 亠 亠 亠 亠2! 3! 4!n!解： a25 =15 14=210 ； (2) A(6 =66 5 4 3 2 1 = 720; (n 1)!1 (n 1)!1(3)原式(n - m)!(n - m)!1 ;n 1(m1

11、)!(n 1) ! (n m)!(n 1)!(4)原式二(2! -1)(3! - 2!)(4 ! -3!)(n1) ! -n ! = (n 1) ! -1 ; n J 1 - 11 .2 3一1n! (n 1)!n! 2! 3! 4!n!111111 1 1 1=-+ - + - + + = 1 _ 1!2!2!3!3!4! (n -1) ! n! n本题计算中灵活地用到下列各式：n ! = n(n -1)! ; nn !=( n，1)!- n! ; n11；使问题解得简单、 快捷.n ! (n 1)! n !典型例题十例10 a,b,c,d,e,f六人排一列纵队，限定 a要排在b的前面（a与

12、b可以相邻， 也可以不相邻），求共有几种排法对这个题目，A、B、C、D四位同学各自给出了一种算式：A的算式是-A6 ; B的算式是（A；+冗+冗+A： + a5）A4 ； C的算式是A ；2D的算式是C2 A4 上面四个算式是否正确，正确的加以解释，不正确的说明理由.解：A中很显然，“ a在b前的六人纵队”的排队数目与“b在a前的六人纵队”排队数目相等，而“六人纵队”的排法数目应是这二者数目之和这表明：A的算式正确.B中把六人排队这件事划分为 a占位，b占位，其他四人占位这样三个阶段，然后用乘法求出总数，注意到 a占位的状况决定了 b占位的方法数，第一阶段，当 a占据第一个位置 时，b占位方法

13、数是 A5 ；当a占据第2个位置时，b占位的方法数是 A； ” ；当 a占据 第5个位置时，b占位的方法数是 A ,当a , b占位后，再排其他四人，他们有A种排法， 可见B的算式是正确的.C中A；可理解为从6个位置中选4个位置让c, d ,e, f占据，这时，剩下的两个位置 依前后顺序应是a ,b的因此C的算式也正确.2D中把6个位置先圈定两个位置的方法数 C6,这两个位置让a,b占据，显然，a , b占 据这两个圈定的位置的方法只有一种（ a要在b的前面），这时，再排其余四人，又有 a4种 排法，可见D的算式是对的.说明：下一节组合学完后，可回过头来学习D的解法.典型例题十一例11八个人分

14、两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排， 共有多少种安排办法？解法1：可分为“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐 在前排的八人坐法”两类情况应当使用加法原理，在每类情况下，划分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人坐下”三个步骤，又要用到分步计数原理，这样可有如下算法：A2 a2 a5 +a" a4=8 640（种）解法2：采取“总方法数减去不命题意的所有方法数”的算法把“甲坐在第一排的八 人坐法数”看成“总方法数”，这个数目是a4 A 在这种前提下，不合题意的方法是“甲 坐第一排，且乙、丙坐两排的八人坐法.”这个数目是a1 c2 a3冗

15、人5 .其中第一个因数A表示甲坐在第一排的方法数，c2表示从乙、丙中任选出一人的办法数，A表示把选出的这个人安排在第一排的方法数，下一个a4则表示乙、丙中沿未安排的那个人坐在第二排的方法数，a5就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为AA4 a7 _a4 c2 a3 A： A5 =8 640（种）说明：解法2可在学完组合后回过头来学习.典型例题十二例12计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成 一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有（ ）a a4 a5 b AA4a5c c3a4a5d A2a4a5解：将同一品种的画“捆”

16、在一起，注意到水彩画不放在两端，共有A；种排列.但 4幅油画、5幅国画本身还有排列顺序要求所以共有A A44 A种陈列方式.应选D 说明：关于“若干个元素相邻”的排列问题，一般使用“捆绑”法，也就是将相邻的若 干个元素“捆绑”在一起，看作一个大元素，与其他的元素进行全排列；然后，再“松绑”，将被“捆绑”的若干元素，内部进行全排列本例题就是一个典型的用“捆绑”法来解答的 问题典型例题十三例13由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（）A 210 B 300 C 464 D 600解法1：（直接法）：分别用1,2,3,4,5作十万位的排列数，共有 5

17、 A；5种，所以其中1个位数字小于十位数字的这样的六位数有1 5 a5 = 300个2解法2:（间接法）：取0,1，5个数字排列有 A，而0作为十万位的排列有 A，所 以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有丄（A： -岸）=300（个）2应选B 说明：（1）直接法、间接法是解决有关排列应用题的两种基本方法，何时使用直接法或这时应考虑能间接法要视问题而定，有的问题如果使用直接法解决比较困难或者比较麻烦， 否用间接法来解.(2) “个位数字小于十位数字”与"个位数字大于十位数字”具有对称性，这两类的六 位数个数一样多，即各占全部六位数的一半，同类问题还有6个人排队照像时，甲必须站在乙

18、的左侧，共有多少种排法.典型例题十四例14用1,2,3,4,5，这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有().A . 24 个 B . 30 个 C . 40 个 D . 60 个分析：本题是带有附加条件的排列问题，可以有多种思考方法，可分类，可分步，可利用概率，也可利用本题所提供的选择项分析判断.解法1:分类计算.将符合条件的偶数分为两类.一类是2作个位数，共有 Af个，另一类是4作个位数，2 2 2也有A4个因此符合条件的偶数共有A A4 =24个.解法2：分步计算.先排个位数字，有A2种排法，再排十位和百位数字， 有A：种排法，根据分步计数原理，三位偶数应有 A；=24个.解法

19、3:按概率算.用1-5这5个数字可以组成没有重复数字的三位数共有Af = 60个，其中偶点其中的22一.因此三位偶数共有 60 一 =24个.55解法4:利用选择项判断.用1-5这5个数字可以组成没有重复数字的三位数共有Af = 60个.其中偶数少于奇数，因此偶数的个数应少于 30个，四个选择项所提供的答案中，只有A符合条件.应选A .典型例题十五例 15 (1)计算 A； +2Af +3A3 + +8A：.求Sn =1!2!3 n ! (n 一 10)的个位数字.分析：本题如果直接用排列数公式计算，在运算上比较困难，现在我们可以从和式中项的特点以及排列数公式的特点两方面考虑.在(1)中，项可

20、抽象为 nA；=(n+1_1)An=(n+1)A；门厲“二人辛一人；,(2) 中， 项 为n! = n(n -1)(n -2)3 2 1，当n _ 5时，乘积中出现5和2,积的个位数为0,在加法运算中可不考虑.解：由n卞=(n 1)! n!原式=2!_1!3!_2!9!_8!=9!_1! = 362879 .当n_5时，n!=n(n-1)(n-2) 3 2 1的个位数为0, Sn = 1! 2 ! 3 !亠 亠n! ( n _ 10)的个位数字与1!2 !3 ! 4 !的个位数字相同.而1!2!3!433 , Sn的个位数字为3.说明：对排列数公式特点的分析是我们解决此类问题的关键，比如：求证

21、:123n11，我们首先可抓等式右边的2!3!4!(n 1)! (n 1) !n n 1-1 n11_ 11(n 1)! " (n 1)! 一(n 1)! (n 1)! 一 n! (n 1)!左边=12!2!3! 1 (n 1)! (n 1) !典型例题十六例16用0、1、2、3、4、5共六个数字，组成无重复数字的自然数，(1)可以组成多少个 无重复数字的3位偶数？ (2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数？分析：3位偶数要求个位是偶数且首位数字不能是0，由于个位用或者不用数字 0，对确定首位数字有影响，所以需要就个位数字用 0或者用2、4进行分类.一个自然数能被3整 除的条

22、件是所有数字之和是 3的倍数，本题可以先确定用哪三个数字，然后进行排列，但要 注意就用与不用数字 0进行分类.解：(1)就个位用0还是用2、4分成两类，个位用 0，其它两位从1、2、3、4中任取两数排列，共有Af=12(个)，个位用2或4 ,再确定首位，最后确定十位，共有2 4 4 = 32(个)，所有3位偶数的总数为：12 32 =44(个).从0、1、2、3、4、5中取出和为3的倍数的三个数，分别有下列取法：(0 12)、(0 15)、(0 2 4)、(0 4 5)、(12 3)、(1 3 5)、(2 3 4)、(3 4 5)，前四组中有 0,后四组中没有0，用它们排成三位数，如果用前4组，共有4 2 a|=16(个)，如果用后 四组，共有4 A； =24（个），所有被3整除的三位数的总数为 16 - 24 = 40（个）.典型例题十七例