第十一章无穷级数

1、无 穷 级 数教学目的：1 .理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要 条件。2 .掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。3 .掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。4 .掌握交错级数的莱布尼茨判别法。5 . 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。6 . 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7. 理解幕级数收敛半径的概念，并掌握幕级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。8. 了解幕级数在其收敛区间内的一些基本性质(和函数的连续性、逐项微分和逐项积分)， 会求一些幕级数在收敛区间内的和函数，并会由此求

2、出某些常数项级数的和。9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10 .掌握ex,sinx,cosx, ln(1+x)和(1十a产的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幕级数。11 . 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在-1 , 1上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在0, l上的函数展开为正弦级数与余弦级数， 会写出傅里叶级数的和的表达式。教学重点：1、级数的基本性质及收敛的必要条件。2 、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；3 、交错级数的莱布尼茨判别法；4 、幕级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；_-JI J 产.5 、ex ,s

3、in x,cos x , ln(1 + x)和(1 + a产的麦克劳林展开式；6 、傅里叶级数。1'''. | ,教学难点：1、 比较判别法的极限形式；2、 莱布尼茨判别法；3、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛；4、 函数项级数的收敛域及和函数；5、 泰勒级数；6、 傅里叶级数的狄利克雷定理。§11? 1常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念常数项级数?给定一个数列Ui ： U2 ： U3-Un :g则由这数列构成的表达式Ui ' U2 ' U3- Un'' '叫做常数项）无穷级数?简称常数项）级数？记为三un ?即

4、AziO0、%=Ui U2 U3 Un：n 1其中第n项Un叫做级数的一股项?qQ=._ -级数的部分和?作级数工Un的前n项和 n 1称为级数£ Un的部分和？n 1厂一“：二：qQ级数敛散性定义?如果级数£ Un的部分和数列Sn有极限s ?即lim sn = s?nWnI g -,-q*1.,则称无穷级数£ua收敛？这时极限S叫做这级数的和？nV并写成O0S = " Un =U| ' U2 U3 '''''Un ：n 1 | ry <如果sn没有极限?则称无穷级数三Un发散？ndoOoO余项？当级

5、数£ Un收敛时？其部分和S n是级数Z Un的和S的近似值?它们之间的差值 nTn=1n , S ,Sn , Un 1 , Un 2 ,叫做级数三Un的余项？n 1例1讨论等比级数（几何级数）的敛散性？其中a?0? q叫做级数的公比？例1讨论等比级数 Jaqn(aW)的敛散性？nW)解如果q ?1?则部分和Sn ta aq aq2，aqn.二 a aq =a_aq-：1q1-q 1-qoO当| q| ?1时？因为lim?所以此时级数 £ aqn收敛？具和为-a- ?n 吐 1-qn=o1-qqQ当|q|>1时？因为limsn=g ?所以此时级数£aqn发散

6、？ n 'n =0qQ如果|q|则当q?1时，？ Sn ?na?因此级数£aqn发散？ n=0qQ当q?1时？级数£ aqn成为n =0 / :; 1f 广a ：a ：a ：a ： 'I 1 . 'L 、时| q| ?1时，？因为Sn随着n为奇数或偶数而等于a或零？qQ所以Sn的极限不存在？从而这时级数£aqn也发散？n=0qQqQ综上所述？如果| q| ?1?则级数Z aqn收敛？具和为-a- ?如果| q| ?1 ?则级数Z aqn发散？ n田1-qn田_-JI 匕/ 丁”，qQ仅当| q| ?1时？几何级数£ aqna?0)

7、收敛？具和为台? n 斗1- q例2证明级数1：2 3二：二n：:是发散的：证此级数的部分和为sn=1 2 3n-nn” ：显然？ lim Sn=8?因此所给级数是发散的？ n 二例3判别无穷级数的收敛性：精心整理解由于un -n(n 1) n n 1 1因此)=1 :从而lim & = lim (1-n 厂:n_.：:所以这级数收敛？它的和是1?例3判别无穷级数1的收敛性?n；n(n 1)解因为=(1段+岐-g)+耳)=1 :从而lim & = lim (1n )：:nc-;-所以这级数收敛？它的和是1?提示:Unn(n 1) n n 1、收敛级数的基本性质性质1如果级数Z

8、un收敛于和S?则它的各项同乘以一个常数 k所得的级数Z kUn也收敛?且其和为ks :性质1如果级数Z un收敛于和S ?则级数Z kUn也收敛？且其和为ks?8oo性质1如果£ un =s ?则£ kun =ks ?n 1n =1qQqQ?n?则这是因为？设:fun与£kUn的部分和分别为Snn=1n =1lim；=n=lim(ku1 ku2kUn)=klim(U1 U2Un) = klimsn=ks：n )： n n n 二qQ这表明级数Z kUn收敛?且和为ks ?n T性质2如果级数£un、三%分别收敛于和s、?则级数9(un±vn)

9、也收敛？且其和为s? n =1n=1n=1COooOO性质 2 如果 £ un =s、£ vn =仃？则 £ (un±vn) =s±仃？n=1n =1n 1OQqQqq这是因为？如果£un、Zvn、£ (un±vn)的部分和分别为Sn、？n、？n?则n 1 n 1 ndTim (与二;二 n) =s二二： n )性质3在级数中去掉、加上或改变有限项?不会改变级数的收敛性?比如？级数1 1 +二+ 1一 +是收敛的？1 2 2 3 34 n(n 1)级数10000+1+,+1一+也是收敛的？1 2 23 34 n(n

10、 1)级数。+，+1+也是收敛的？34 4 5 n(n 1)qQ性质4如果级数£ Un收敛？则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛？且其和不变？n=1应注意的问题?如果加括号后所成的级数收敛？则不能断定去括号后原来的级数也收敛?例如?级数1 力)+1 ?1) + ? ?叫攵敛于零？但级数1?1?1?1? ?。却是发散的？推论？如果加括号后所成的级数发散？则原来级数也发散？ 级数收敛的必要条件？ _-iI k/ .产，Q性质5如果£un收敛？则它的一般项Un趋于零？即limun = 0?ndn >0oO性质5如果Z un收敛？则lim un =0 ? ndn.

11、76;证 设级数Eun的部分和为sn?且lim sn = s?则nTn一二lim un = lim (务sn)=lim *一 lim sn=s s=0 :n；0 n n ：n，二n一应注意的问题？级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件？例4证明调和级数11 =1+1+1+ . 1- + 是发散的?n”2 3 n例4证明调和级数 三是发散的？n -1n证 假若级数占1收敛且其和为S? Sn是它的部分和？ n =1n显然有 lim 4=s 及 lim s2n =s ?于是 lim (s2n -sn) = 0 ?n j 二二n )二二n >但另一方面：1111111、S2n -Sn2n n

12、 1 n 2 2n 2n 2n 2n 2故lim (S2n-Sn)#0?矛盾？这矛盾说明级数工工必定发散?n，二n = n§11? 2常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数？各项都是正数或零的级数称为正项级数？定理1正项级数Eun收敛的充分必要条件它的部分和数列Sn有界？n 1qQqQCQ定理2(比较审敛法)设£un和£vn都是正项级数？且助加(口?1? 2? ? ? ? ) ?若级数£vn收 n 1 n 1n=1qQqQqQ敛？则级数Z Un收敛？反之？若级数Z Un发散？则级数£ Vn发散？% I : J .*11ndn1nd定理

13、2(比较审敛法)cOQO设£ un和Z Vn都是正项级数？且UnRn( k ?0? ?n?N) ? n 1n 1qQqQqQOQ若£Vn收敛？则£un收敛？若£ Un发散？则£ 片发散？nWn=1nTnT设？Un和Wn都是正项级数？且Un?kVn(k?0? ?n，时？若级数Wn收敛，？则级数？Un收敛，？反之？若级数?Un发散？则级数？Vn发散.？qQqQ证 设级数f Vn收敛于和？则级数f Un的部分和nWn4Sn ：U1 / ： ： ： ： ：Un 丫1 : V2 ： ： ： ： ：Vn ： ： ( n ：1,2,:：)：即部分和数列Sn有

14、界？由定理1知级数三Un收敛？n反之？设级数£ Un发散？则级数Vn Vn必发散?因为若级数n=1Vn Vn收敛?由上已证明的结论?将有级数Un Un也收敛?与假设矛盾?n=1n=1证仅就Un?Vn (n?1 ? 2 ? ? ? ?)情形证明?设级数Wn收敛？具和为?则级数？Un的部分和SnU ： U2： ： ： ： ： Un M：V2： ： ： ： ：Vn： ( n ：1,2,:)：即部分和数列Sn有界？因此级数？Un收敛？反之？设级数 心 发散？则级数？Vn必发散？因为若级数Wn收敛，？由上已证明的结论?级数？Un也收敛？与假设矛盾？推论设£ Un和£ Vn都

15、是正项级数?如果级数V： Vn收敛?且存在自然数 N使当n?N时有n =1n=1UnTkVn(kR)成立？则级数£ un收敛？如果级数£Vn发散？且当n?N时有Un?kVn(k?0)成立？则级数n=1£ Un发散？n 1i , 例1讨论p嗷数的收敛性?其中常数p?0?解设p，?1 ?这时1->1 np例1讨论p呦数1 4r(p>0)的收敛性?nN np?而调和级数£ 1发散？由比较审敛法知？当p?1时级数£发散？ n Wnn =1 n设p?1?此时有1npn_in1pdx-nnpnpf(n：2, 3,对于级数£ 焉-2?其

16、部分和n9(n-1严 np-1Sn =1工-1;=1np< (n 1严(n 1)p因为 lim sn = lim 1 1-( =1 :n ： n n ： (n 1)p-1所以级数£ 一工收敛?从而根据比较审敛法的推论i可知？级数三当p?i时收敛?n占(n1)pnpJn=i np综上所述? p啾数£ 4当p ?1时收敛?当p ?1时发散？nd np解 当p?1时？1之1 ?而调和级数去工发散?由比较审敛法知?np nn；n当p?1时级数三发散？ns np当p?1时？1 = n 1 dxE n 1 dx= 1 11,np nnp n,xp p -1 (n-1)p_1np，

17、(n：2, 3,:):而级数£ 二_$是收敛的？根据比较审敛法的推论可知n1(n-1)pnp-1qQ级数£，当p?1时收敛？n, np提示?OQ级数;1n 2(n-1)p1j的部分和为np 一sn.方力卡-3"- 昌飞7小=1年小 因为 lim sn = lim 1 二 =1'?n n (n 1产一p,啜数的收敛性？ p ,呦数14当p?1时收敛?当p?1时发散？nT np所以级数一 一Jn，(n-1)p-1卡收敛？qQ例2证明级数£ / 1 是发散的?nw 、n(n 1)证因为 -1l ：&l 1l ; Vn21 _ 1=?* n(n

18、1) . (n 1)2 n 1而级数1 1=+1+,.+是发散的?nn 1 2 3 n 1根据比较审敛法可知所给级数也是发散的：定理3(比较审敛法的极限形式)设2un和夏vn都是正项级数?如果lim业万(0胃制)？n 1n=1n >:：vnqQqQ则级数£Un和级数£Vn同时收敛或同时发散？n 1n定理3(比较审敛法的极限形式)设三Un和：F Vn都是正项级数？n 1nW/ 丁 产:产 厂(1) 如果lim un=l (0 ?lk?) ?且级数£ Vn收敛？则级数Z Un收敛？n，二vnnWn=1 如果limun=l >0或limun = z ?且级数

19、克vn发散？则级数Sun发散？n，二Vnn >：:VnnVn=1定理3(比较审敛法的极限形式)；. ：1设?Un和？Vn都是正项级数？(1) 如果 lim(Un/ Vn)?l(0 ?l 您)？且?Vn收敛?则？Un 收敛？(2) 如果 lim(Un/ Vn)?l(0 ?l ?) ?且?Vn发散?贝1j ?Un 发散？证明 由极限的定义可知？对名-2l ?存在自然数 N当n'N时？有不等式即加 <Un<3lVn?再根据比较审敛法的推论1?即得所要证的结论？Q0例3判别级数£ sin1的收敛性？n 1 n.1sin二解因为lim n =1"而级数上一发

20、散”n 1nnn精心整理根据比较审敛法的极限形式？级数£ sin1发散？ni nqQ例4判别级数f ln(1+4）的收敛性？ n1ln(1 -2)解因为lim匚=1n )：:1n2?而级数f 4收敛？n zi nn=1根据比较审敛法的极限形式？级数工ln（1+2）收敛？ nJ n定理4（比值审敛法？达朗贝尔判别法）qQ若正项级数£Un的后项与前项之比值的极限等于?n 1limn Un则当？?1时级数收敛？当？1（或lim u±=g ）时级数发散？当？1时级数可能收敛也可能发散？ J' un定理4（比值审敛法？达朗贝尔判别法）若正项级数玄un满足lim u&

21、#177; = P?则当？?1时级数收敛?ndf : Un当？?1（或lim殳上=8）时级数发散？当？1时级数可能收敛也可能发散？f UnoO定理4（比值审敛法?达朗贝尔判别法）设工Un为正项级数?如果n 1lim 与=：f： Un则当叼时级数收敛？当？叫或nf时级数发散？当？1时级数可能收敛也可能发散？例5证明级数什丁考总十一+ * *1 2 3 (n -1)是收敛的：精心整理解因为 lim 汕=iim123 '(n-"lim#?n. un n ： 1 2 3 n n ：n根据比值审敛法可知所给级数收敛：例6判别级数。+粤+/+里+ .的收敛性？10 10210310nUn

22、 1. (n 1)! 10n. n 1 一、用牛 内力 lim= lim -n-#= lim二如？n ：: Unn ：: 10 n ! n ：: 10根据比值审敛法可知所给级数发散：qQ例7判别级数£1的收敛性？n ：(2n-1)2n解 limUn1 = lim (2n-1) 2n =1：n二 un n )：(2n 1) (2n 2)因为 1 ：二2(2n -1) 2n n2这时？?1?比值审敛法失效？必须用其它方法来判别级数的收敛性？?而级数z 4收敛？因此由比较审敛法可知所给级数收敛 nW n2解因为小1c 凸?而级数:£ 4收敛？因此由比较审敛法可知所给级数收敛(2n

23、-1) 2n n2 -n n2提示？ nl瑞二罂22(22；2尸?比值审敛法失效？因为一1:二(2n -1) 2n n?而级数qQZ 4收敛？因此由比较审敛法可知所给级数收敛nd n2精心整理定理5(根值审敛法？柯西判别法)qQ设£un是正项级数?如果它的一般项Un的n次根的极限等于?n 1则当？?1时级数收敛？当？?1(或lim如n f)时级数发散？当？?1时级数可能收敛也可能发散？ n 二'qQ若正项级数”Unn =1定理5(根值审敛法？柯西判别法)满足lim n% = P ?则当？?1时级数收敛?当？叫或lim n/un=y)时级数发散?当?1时级数可能收敛也可能发散?

24、n 7二定理5(根值审敛法？柯西判别法)qQ设£ Un为正项级数？如果n =1则当？?1时级数收敛？当？1(或lim £而；=收)时级数发散？当？?1时级数可能收敛也可能发散？ n_,例8证明级数1 +1.1. 1 ,22 33nn是收敛的并估计以级数的部分和Sn近似代替和S所产生的误差？解 因为 lim n/U7= lim=lim 1=0 ?n)二' n ：: i. n n ：: n所以根据根值审敛法可知所给级数收敛：以这级数的部分和Sn近似代替和S所产生的误差为 k广-广I， 二1.1.11:,(n 1)n 1 (n 1)n 2 (n 1)n 3二 1、n(n

25、1)n例6判定级数£2+(n1)n 的收敛性？nV 2n解因为'I 1、/lim n u lim 1 n，2 (-1)n -1 :ni nn-；.：22所以？根据根值审敛法知所给级数收敛？定理6(极限审敛法)qQ设t un为正项级数？n =1qQ(1) 如果 lim nun =l 0(或 lim nun =+°°) ?则级数 £ un 发散？n 二n ：eqQ(2) 如果p?1?而lim npun=l (0Wl 依)？则级数£un收敛？n 'inTqQ例7判定级数Z ln(12)的收敛性？nW n解因为ln(1+12)2(nT叼

26、？故n nlim n2un = lim n2ln(1 -12) = lim n2 & =1 : n )：:n )：n n )二 n根据极限审敛法？知所给级数收敛？qQ例8判定级数n <zn+1(1 -cos-)的收敛性？n 1n3 lim n2un n_.解因为=lim n2、n 1(1-cos) = lim n2 n 1 1()2 =工二2nn n ： in 2 n 2根据极限审敛法？知所给级数收敛？二、交错级数及其审敛法交错级数？交错级数是这样的级数？它的各项是正负交错的?交错级数的一般形式为 £ (-1)n/Un ?其中Un >0 ?n 1例如？克(-1)n

27、工是交错级数？但(1)n/1-c0Sn71不是交错级数?n =1nn 1n定理6 (莱布尼茨定理)qQ如果交错级数£(-1)n,un满足条件？n 1(1)Un Ln 1 ( n ：1 ： 2 ： 3 ：)： lim un=0 :n1二则级数收敛？且其和s%1?其余项rn的绝对值| rn| ?Un?1?定理6 (莱布尼茨定理)-I I :卢、工I:1 % I .1 产0O如果交错级数£(-1)n,un满足？ (1) un之Un由？ (2) limUn =0 ?则级数收敛?且其和s?U1?其余项rn的绝对值| rn| ?Un?简要证明？设前n项部分和为Sn?由 S2n ?( U

28、1 ?U2) ?( U3 %4) ? ? ? ? ?( U2n 1 ?U2n) ?及S 2n :U1 ：( U2 :U3) ：( U4 ：U5) ； ； ； ； ( U2n 2 :U2n 1) 12n看出数列S2n单调增加且有界(S2n%1) ?所以收敛?设 S2nan?) ?则也有 S2n?S2n，2n?S(n?) ?所以 Sn ?S( h?) ?从而级数是收敛的？且 Sn?U1? 因为| rn| Rn?Un? ? ?也是收敛的交错级数?所以|n| ?Un?例9证明级数9(1)n/工收敛？并估计和及余项?n n证这是一个交错级数?因为此级数满足111(1)Un =-、Uni(n：1,2, ：

29、 ： ) ： (2) lim Un = lim 1=0 ：n n 1n ： n ： n由莱布尼茨定理？级数是收敛的？且其和s?U1?1?余项|rn区Un4=n11 ?三、绝对收敛与条件收敛：绝对收敛与条件收敛：若级数占iuni收敛？则称级数£ un绝对收敛？若级数£ unn 1n =1nqQqQ收敛?而级数工|Un|发散？则称级Z Un条件收敛?n =1n 1"IqQqQ例10级数£(_1)nJ2是绝对收敛的?而级数£ (-1)n是条件收敛的?n， nnWn定理7如果级数£ un绝对收敛?则级数£ un必定收敛?n 1n =

30、1值得注意的问题?qQqQ如果级数£|un|发散？我们不能断定级数£4也发散？ndn 1但是？如果我们用比值法或根值法判定级数£ |un|发散?nToO则我们可以断定级数£un必定发散？nTqQ这是因为?止匕时| un|不趋向于零？从而5也不趋向于零？因此级数£un也是发散的？n=1qQ例11判别级数£叫应的收敛性?n =1 n解因为|吗aF？而级数£ 4是收敛的？n2n2nw n2所以级数£|sn"|也收敛?从而级数£典”绝对收敛?nnnJ n例12判别级数(1)n /(1+1严的收敛性?n=

31、i2n' n，解？由 |unl=4r(1+1)n2 ?有 lim n/iUnLim (1+)n=2e>1?nl 2nn n nl 2n n 2可知lim un#0?因此级数£(-1)n4-(1+1)n2发散？n，二n=12n ' n'§ 11 ? 3 幕级数一、函数项级数的概念函数项级数？给定一个定义在区间I上的函数列Un(x) ?由这函数列构成的表达式U1(x) ：U2(X)：U3(X)Un(x)：称为定义在区间I上的(函数项)级数？记为克un(x)?n=1收敛点与发散点：对于区间I内的一定点xo?若常数项级数克Un(xo)收敛？则称n 1点

32、xo是级数三小(x)的收敛点？若常数项级数 玄Un(xo)发散？则称n 1n =1点xo是级数£ Un (x)的发散点？n 1收敛域与发散域？函数项级数Z Un(x)的所有收敛点的全体称为它的收敛域?所 n 1有发散点的全体称为它的发散域？和函数?Q0在收敛域上?函数项级数£ un(x)的和是x的函数s(x)?n =1qQqQs(x)称为函数项级数£un(x)的和函数？并写成s(x) =Z un(x) ?n 1n =1qQ!2un(x)是Z-Un(x)的简便记法？以下不再重述？ n 1在收敛域上？函数项级数12 Un(x)的和是x的函数s(x) ?s(x)称为函数

33、项级数三Un(x)的和函数?并写成s(x) ?Eun(x) ?这函数的定义就是级数的收敛域：部分和：函数项级数 克un(x)的前n项的部分和记作sn(x) ?n =1函数项级数13 Un(x)的前n项的部分和记作Sn(x) ?即Sn(x) ; u l(x) :U2(x) :U3(x) , , , , Un(x):在收敛域上有 lim sn(x)=s(x)或 Sn(x)，?s(x)( n?) ?n1二二余项：函数项级数玄Un(x)的和函数S(x)与部分和Sn(x)的差 n 1rn (x) ?s(x) %n(x)叫做函数项级数Z Un(x)的余项？ nW函数项级数Un(x)的余项记为rn(x)?它

34、是和函数s(x)与部分和Sn(x)的差r n( x) ?s(x) ?Sn(x) ?在收敛域上有lim rn(x)=0：n )：: n二、幕级数及其收敛性幕级数：函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幕函数的函数项级数?这种形式的级数称为幕级数？它的形式是n-rff-a0 aix ,&x ,anx一 一其中常数ao? ai ? a2? ? ? ? ? an ? ? ? ?叫做幕级数的系数?幕级数的例子：/23n1: x：x ：xx ：1 x 1 x2：； ： 1 xn2! n!注？幕级数的一般形式是2nao：ai(x：xo) :a2(x：x0) ： ： ： ： a(x：xo);：经变

35、换 t TxTxo就得 ao?ait ?a2t2? ? ? ? ?antn? ? ? ? ?幕级数可以看成是公比为x的几何级数?当| x| ?1时它是收敛的？当| x| ?1时，？它是发散的？因此它的收敛域为(？1? 1) ?在收敛域内有11 -x=1 x x2 x3 -xn:定理1 (阿贝尔定理)如果级数£ anxn当x?x0 ( xo?0)时收敛？则适合不等式n =0| x| ?| xo|的一切x使这幕级数绝对收敛？反之?如果级数an anxn当n0x?x0时发散?则适合不等式|x|彳xo|的一切x使这幕级数发散?定理1 (阿贝尔定理)如果级数三anxn当x/0 ( x0p)时收

36、敛？则适合不等式| x| ?| xo|的一切x使这幕级数绝对收敛？反之？如果级数12 anxn当x%0时发散?则适合不等式|x|彳xo|的一切x使这幕级数发散？提示?三anxn是£ anxn的简记形式?n 0)证 先设x。是幕级数支axn的收敛点？即级数支anxn收敛？根据级数收敛的必要条件？有 n =0nd。lim anxn =0 ?于是存在一个常数 M使 n_.| a nx0nlM n ：0, 1,2,：)：这样级数 /anxn的的一股项的绝对值 n zzDn.:'lanx+laX xn|=|anxni|X|"M |x|n ：x°x0x0/ : Ss

37、厂因为当|x| Tjx0|时？等比级数M M占1n收敛？所以级数 万anxn|收敛？也就是级数 支anxn绝对收敛 n -0x0n -0n H0?简要证明设!2anxn在点x0收敛？则有anx0n?0(n?) ?于是数列anx0n有界，？即存在一个常数M?使| anx0n | MnQ 1,2,? ? ?) ?7 ci 因为|anxn|=|anxn 'xn| = |anx(n|x0而当|x|<|x0|时？等比级数M M产1n收敛?所以级数三| anxn|收敛？也就是级数三anxn绝对收敛? n =0x0定理的第二部分可用反证法证明？倘若幕级数当xTx0时发散而有一点xi适合|xi|

38、>| x0|使级数 收敛？则根据本定理的第一部分?级数当乂取0时应收敛？这与所设矛盾？定理得证?推论如果级数?anxn不是仅在点x汨一点收敛？也不是在整个数轴上都收敛？则必有一个完n =0全确定的正数R存在？使得 当| x| ?R时，？幕级数绝对收敛？ 当|x| ?R时？幕级数发散?当x OR与x 2?R时？幕级数可能收敛也可能发散?收敛半径与收敛区间?正数R通常叫做幕级数Z anxn的收敛半径？开区间（？R R）叫做事级数n=0an斗xn的收敛区间？再由幕级数在X?nR处的收敛性就可以决定它的收敛域？幕级数a anXn的收敛n =0nd0域是（？R R）（或浜 R）、（？R R、职 R

39、 之一？00规定?若幕级数an anxn只在xP收敛？则规定收敛半径R?0 ?若幕级数a anxn对一切x都收n =0敛?则规定收敛半径R?这时收敛域为（?, ?） ?定理2n=0如果恨誓其中an、an?是幕级数自nxn的相邻两项的系数？则这幕级数的收敛半径R=(+001-P0P - +cc定理2如果幕级数 克anxn系数满足lim 1ati=P?则这幕级数的收敛半径n吐ann =0R=4十co1P0=0：=0 :P = -Re定理2Q0|=p?则幕级数Z anxn的收敛半径R为.?n=0当? ?0时R =4？当?0时R?当？您时 R0?简要证明：lim |n，n 1 2*1二 nim瑟 |x

40、|=：1x|：n例1求幕级数£（1尸工的收敛半径与收敛域?n=1n1解 因为 p= iim|a史|= lim 与1=1?nan n1 1n所以收敛半径为R =4=1 ：当x?1时？幕级数成为£（1）52是收敛的？ nd n当x ?1时？幕级数成为£（）?是发散的?因此？收敛域为（？1, 1 ?n 1 n例2求幕级数克xn ndon!的收敛域：例2求幕级数£lxn的收敛域？ndon!二 f1解 因为 P= lim 1a3=lim 9T11 = lim 上=0 ?n 二 ann，二 1 n 二（n 1）!n!所以收敛半径为R?从而收敛域为（？?，？?）？例3

41、求幕级数克n!xn的收敛半径？n -0解因为小"小（7!=所以收敛半径为RT0?即级数仅在x?0处收敛？例4求幕级数:f (2吗x2n n/(n!)2的收敛半径?解级数缺少奇次幕的项?定理2不能应用？可根据比值审敛法来求收敛半径？幕级数的一般项记为Un（x户黑x2n：因为 nmiiwxi2：当4|x|2月即冈2时级数收敛?当4|x|2?1即|x|2时级数发散?所以收敛半径为R=T?2(n 削! x2(n 1)Un i(x)(n 1)!2(2n 2)(2n 1)Un(X)一 (2n)! 2n 一 (n 1)22 X例5求幕级数£虫工的收敛域?n=i 2nn n因为an 1解

42、令t ?x?1 ?上述级数变为£？ n/2nn2n n 1、=f2n 1 (n 1) 2所以收敛半径R：2：当t笈时？级数成为1 1 ?此级数发散？当t可2时？级数成为£（一1） ?此级数收敛?因此级nnnnn数的收敛域为*2曾，2?因为？27/。2?即？17x?3?所以原级数的收敛域为?1,3） ? n2nn三、幕级数的运算OQqQ设幕级数£anXn及Tbnxn分别在区间（？R 2及（？卬，R）内收敛？则在（虫，2与（？田，R） n =0n =0中较小的区间内有加法：“，anxn，.二 bnxn = （不 bn）xn :n -0n -0n -0减法：'

43、anxn - ' bnxn =' （斗-bn）xn : n =0n =0n =0设幕级数三anxn及三bnxn分别在区间（？R 2及（？卬，Rf内收敛？则在（OR 2与（？R，R）中较 小的区间内有加法？ -anx- bnxn ?E （an?bn）xn ?减法？ ZZanxn ?E bnxn ?E （an?bn）xn ?乘法？（£anxn） （£bnxn）匕0卜%01%七0）乂?（20132%心1?22E）乂2? ? ? ?n =0n=0：（a0bn：a1bn2加0）乂入：:qQ性质1幕级数f anxn的和函数S（x）在其收敛域I上连续？如果幕级数在x?R

44、（或x，?职）也收敛？则和函数s（x）在（？R R（或?R R）连续？性质2幕级数£anxn的和函数s（x）在其收敛域I上可积？并且有逐项积分公式n =0；s（x）dx =；（二 anxn）dx = " ；anxndx = ' -a xn 1 （x ：I ）:00 n 为n=00n5 1逐项积分后所得到的幕级数和原级数有相同的收敛半径：性质3幕级数£anxn的和函数s(x)在其收敛区间(？R? R)内可导？并且有逐项求导公式n=0n=1s(x)=anXn),：=工(anXn),：=nanXn(| x| ：R :n =0逐项求导后所得到的幕级数和原级数有相同

45、的收敛半径：性质1幕级数三anxn的和函数s(x)在其收敛域I上连续？性质2幕级数!2anxn的和函数s(x)在其收敛域I上可积？并且有逐项积分公式:s(x)dx = ；anXn)dx-" janxndxC -ax" (x：I ):n=0n=0n=0n 1逐项积分后所得到的幕级数和原级数有相同的收敛半径：性质3幕级数三anxn的和函数s(x)在其收敛区间(？R? R)内可导?并且有逐项求导公式s(x)=anXn),：= Y (anXn) = " nanXn-1 (| x| H :n J3n =0逐项求导后所得到的幕级数和原级数有相同的收敛半径：例6求幕级数克，xn

46、的和函数？ndDn 1解 求得幕级数的收敛域为?1? 1) ?、1； C £ t/ - $x' I 、r 一一 、，、，- rr291 c一设和函数为 s(x) ?即 s(x) =Zxn ? x? ?1? 1) ?显然 s(0) ?1?nn 1在xs(x)=£-xn'1的两边求导得nn 1xs(x) = J 1 xn1)：xn= 1 ;n =0 n 1n=01-X对上式从0到x积分？得xs(x) = (1 dx = -ln(1-x) ?1 -x-ln(1 - x)x10："x卜：1、x = 0于是？当 X ?0 时？ <s(x) = -ln(

47、1-x)?从而 s(x) = ； X因为 xs(x) = - 1 xn1=：1 xn 1 dxn=on 10 n=on 1=(工 xndx =，dx =ln(1x) ? n -01 -X所以?当X犯时,？有s(x) = ln(1x) ?x从而 s(x)= Tln(1 - x)10：|x卜：1、x = 0例6求幕级数£一七Xn的和函数?n=0n 1解 求得幕级数的收敛域为?1? 1) ?设幕级数的和函数为s(x) ?即s(x) = £-工xn? x?1? 1) ?n与n 1ndx 二显然S(0) ?1 ?因为dx - - ln(1 -x) (-1 :二 x ：二 1)：1 -

48、 x所以？当 0<|x|<1 时？有 s(x)=-ln(1-x) ? x从而 s(x)-lxln(1-x)10：二冈：二1 ：x = 0由和函数在收敛域上的连续性？(二 1)n、S(-1)= lim S(x) = ln2 : x l.综合起来得 s(x); .xln(1 一x) x 一1'0)0'1)：提示？应用公式(F'(x)dx = F(x) F(0) ?即 F(x)=F(0) +：F'(x)dx ?1 =1 x x2 x3xn：1 -x例7:求级数三上1n的和?nJ n 1解考虑幕级数H，xn ?此级数在?1, 1)上收敛？设其和n*n 100

49、函数为 s(x) ?则 s(-1) =£ -n =0在例 6 中已得到 xs(x) 21n(1 ?x) ?于是?s( ?1) 71n2 ? s(-1)=ln- ?即:£上方=/ ?2 nn 12§ 11? 4 函数展开成幕级数一、泰勒级数要解决的问题？给定函数f(x) ?要考虑它是否能在某个区间内”展开成幕级数”?就是说？是否能找到这样一个幕级数？它在某区间内收敛？且其和恰好就是给定的函数f(x)?如果能找到这 样的幕级数？我们就说?函数f(x)在该区间内能展开成幕级数？或简单地说函数f(x)能展开成幕 级数？而该级数在收敛区间内就表达了函数 f (x) ?泰勒多

50、项式？如果f(x)在点x。的某邻域内具有各阶导数？则在该邻域内f(x)近似等于.fn(x-x0)n Rn(x)：n!(n/其中fU"(?介于x与X0之间)?泰勒级数？如果f (x)在点X0的某邻域内具有各阶导数f Xx) ? f ?(x) ? ? ? ? ?f (n)(x) ? ? ? ? ?则当n?时? f(x)在点x0的泰勒多项式成为幕级数这一幕级数称为函数f( x)的泰勒级数？显然？当x »0时？ f ( x)的泰勒级数收敛于f ( xo) ?需回答的问题?除了 x)0外？ f(x)的泰勒级数是否收敛？如果收敛?它是否一定收敛于f(x)? 定理 设函数f (x)在点x

51、。的某一邻域U(x。)内具有各阶导数?则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项R(x)当n?0时的极限为零？即lim R(x) =0 (x U (x0)： n1证明先证必要性？设f (x)在U(x0)内能展开为泰勒级数?即f (x0)2f (n)(x0) . n _f (x) = f(x0)+f (xO)(xxO)+ °-(x-x0)2+ +j-0-(x-x0)+r2!n!又设Sn?(x)是f (x)的泰勒级数的前nk项的和？则在U(x0)内Sn?(x) ?f (x)( n?) ?而 f (x)的 n 阶泰勒公式可写成 f (x) ?Sn?(x)

52、 “(x) ?于是 Rn(x) 2f (x) ?Sn?(x) ?0(n?) ?再证充分性？设R(x) ?0(n?)对一切x?U(x0)成立？| . 二。11r"，uf '：因为 f (x)的 n 阶泰勒公式可写成 f (x)%n?(x) ?Rn(x) ?于是 Sn?(x) ?f (x) ?Rn(x)?f (x) ?即f (x)的泰勒级数在U(x0)内收敛？并且收敛于f (x) ?麦克劳林级数?在泰勒级数中取x0?0?得f(0) + f(0)x+粤X2+中xn+-？此级数称为f(x)的麦克劳林级数？展开式的唯一性？如果f(x)能展开成x的幕级数?那么这种展式是唯一的？它一定与f

53、(x)的1-. I 1麦克劳林级数一致？这是因为？如果f (x)在点x0 ?0的某邻域(？R F)内能展开成x的幕级数？即2nf (x)为0?aix%2x ? ? ? ? ?anx ? ? ? ? ?那么根据幕级数在收敛区间内可以逐项求导？有2_ n_1_f ：(x) ：ai 2a2x 3a以. nanx ：.n 2f 二(x) ：2!a2：3：2a3x，一 ，n：(n：1)anx '：n 3f 二：(x) ：3!a3, 一 ，n：(n：1)( n：2)anx ,999 999999 999 999 (f (n)(x) ：n!an：(n：1)n(n：1) : : :2 an ix ：f (n)(0)n!于是得a 0 ：f (0) : ai ：f ：(0) : a2 =皿an = 2!n应注意的问题？如果f (x)能展开成x的幕级数？那么这个幕级数就是f (x)的麦克劳林级数？但 是？反过来如果f (x)的麦克劳林级数在点x0?0的某邻域内收敛？它却不一定收敛于f (x) ?因止匕？如 果f(x)在点x。*处具有各阶导数？则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来?但这个级数是否在某个区间内收敛？以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察9二、函数展开成幕级数展开步骤：第一步 求出 f ( x)的各阶导数? f ?(x) ? f ?(x) ? ? ? ? ? f