第四章级数(答案)

1、复变函数练习题第四章级数0专业班 姓名学号、选择题:§1 复数项级数§ 幕级数些重要的级数z z2 LZn L(Z 1)Z35ZSin ZZ3!5!24ZZCOSZ12!4!2ez1ZZL2!11 Z1LLn Zn!(1)nz2n1(2n 1)!(1)nZ2n2n!L (Z1.下列级数中绝对收敛的是(A)(1)n 1 n n(B)1)n2n若幂级数nCnZn 在 Z0(A)绝对收敛1 2i幕级数(1)nnon 1(A)ln(1 Z)1)nn1Z n 0 n 1(1)nzm n O n 1、填空题:L (Z(Z1 2i处收敛，那么该级数在(B)条件收敛由Abel定理易得(C)

2、发散1在|z | 1内的和函数为(B) ln(1Z)(C)n n1) Z1)nzn0 n 1dz01dzniC)n 2ln n2处的敛散性为ln丄1 Zln(1 Z)(D)(D)(D)不能确定ln丄1 Znn(1) i2n1 设 n (1 -) n ,则 Iimn 0。2 nR2 设幕级数CnZn的收敛半径为 R ,那么幕级数(2n 1)CnZn的收敛半径为 -n On O23 幕级数n! Zn的收敛半径是e。n Jn O nn4 幕级数千(D为正整数)的收敛半径是1。n 1 np三、解答题：1 判断下列数列是否收敛如果有极限，求出它们的极限。171*7时k2limn2k、一Im(2)J 23

3、'2ni(1 丄)nn12nn由Iim3122nJ3, lim(11 1丄)n 1可得,n1 2nnneIim n3ine判断绝对收敛的两种方法：(1) 绝对级数是否收敛(2) 实部和虚部的绝对级数是否收敛(1) 1 i i 判断下列级数的敛散性。若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。 i3 L in L ,由Iimin不存在可知，级数发散n(级数收敛的必要条件)(2) 5i曲曲L(3)n 13n3!5!5354 5 I2n 15Ii(5 LL3!5!(2n 1)!由级数2n 15收敛可知，原级数绝对收敛no(2 n 1)!nsin inn Si nin3n由级数n(enn、e )2 3

4、nnn3e及级数n1 2 3e收敛，可得原级数绝对收敛1)k由于k 1 In 2k H和i ( 1)kIn (2k 1)(1 为交错级数，由莱布尼兹准则,k 1 In 2kk 1 I n(2k 1)级数收敛，故原级数收敛。又由和1 发散,k 1 I n2kk 1 In (2k 1)则原级数条件收敛。3 .求幕级数n(n 1)(z 3)n 1的收敛半径，收敛域及和函数，并计算0吕之值。解：由Iim -Q-1知，收敛半径R 1.n 1当z=2时，原级数成为(nn 01)( 1)n 1,为发散级数,因而原级数的收敛域为1.11 (Z 3)(Z 3)(Z3)2(Z3)n L1(Z 3)2(z3)3(z

5、3)2(n 1)(z 3)n(n 1)(z03)n1=(z3)1(Z3)Z 3_4)-(n 1)(z 3)nn 0(Z7-_ -n 71 -(7 4)23 =224 .求幕级数2zn的和函数，并计算11 Z11 ZZn L2z3z2(nn1)z(nn 0n1)zIl3 2z4 3z2(n2)(nn1)z(n02)(nn1)z2(Z 1)3Z(Z1)(Z 1)2(Z 1)3n 1n 1复变函数练习题第四章级数系专业班 姓名学号§ 3泰勒级数一、选择题Z1.设函数的泰勒展开式为CnZn ,那么幕级数CnZn的收敛半径R C COSZn 0n 0(A)(B)1(C)(D)2函数在某点展成的

6、幕级数的收敛半径等于该点和该函数的奇点中最近的距离COSZ0Zk (k Z)Ze在Z内解析2COSZ212 函数WZ在Z1处的泰勒展开式为D (A)(1)nn(Z1)n1(Z 1| 1)(B)(1)n1 n(z 1)n1(Z 1| 1)n 1n 1(C)n(z1)'n1(Z1|1)(D)n(z 1)n1(Z 1| 1)由！Z1Z1下面先对1在点ZZ1111 (Z 1)ZIZ 1 11 (Z 1)11 2(z1) L n(z 1)n 1 LZ注写成求和形式中注意保持第一项是-3.函数SinZ在Z -处的泰勒展开式为1进行展开(Z 1)2 L (Z 1)n L (z 11),致的(A)-X

7、(Z -)n 0(2 n 1)!22n1(Z(B)(O(Z )2n(z|0 (2n)!222n(C)4(z )n 0(2 n 1)!22n1(Z(D)(1)n1 0 (2n)!(Z ?)2n(IZ 7 )Sin Z= Sin(z22)CoS(Z2)2n 14 级数-一n 1 n!z2(A) z(ez1)(B)Z(e2Z 1)(C)2ZeZ 1(D)2zZe 1令WZ2,则2nZI n!Wn W n 1 n!nWI n!Ww(e1)其中W表示某一单值分支5. Re(n 1n 1)(A) cos1(B)sin1(C) cos1 (D)sin1n 1考虑Zn 1 n!n 1 ZZZ2Zn 11)1L

8、Ln 1n!2!3!n!或者n 1 Z1Zn1Z2)I -(e1)n 1n!Zn 1n!取Zi,则可得in1 1(ei 1)n 1 n! ii(cos11(zZ、填空题Z2Z32!3!n!1(eZZ1) (Z )isin1)i (cos11)sin11 函数f (Z)2在Z 0处的泰勒展开式为f(z)(1 Z)(1)n(n 1)Zn(Zn 01)1 1(1Z)21 Zn n(1) Zn 0n n(1) Zn 0n n1) nz(1)n(nn 01)Zn(Z1)11 Z3的幕级数展开式为(1)nZ3n ,收敛域为IZ 1 n 02三、解答题 求收敛半径一般可以采用根值法、比值法。遇到1把下列各函

9、数展开成 Z的幕级数，并指出它们的收敛半径：(1)1111(I)n Z 2n ( 1)nZ2n22(1)TZ4 Z24 Z 24 n 02 n 0 4n 11(1)n 12(n 1)4n2 Z(1)n Z2n 4n1 Z2Z14Z2收敛半径R=2(在计算仅有奇数项或偶数项类型的级数的收敛半径时,可利用根值法,或者利用上述方法.)(2)cosz2(1)nZ4n 0 (2n)!由Iimn1)n 1(2n 2)!(2n)!(1)n”m (2n 2)(2n+1) =° 知，收敛半径为2 .求下列各函数在指定点Z0处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径:(1)解:#n1Z 11 1Z 1 I n

10、 022收敛半径R=2,Zo1324 3z 1 3i 3(z 1 i)1 1R I 3(z 1 i)1 3in13(z 1 i)3in 01 3i3nnT(Z 1 i)n 0 1 3i由Iimn3n1n 23in 13i3n31 3iarcta nzZ1dzz2 dzz4 dz L0003 ZZ5J L(1)n z2n1-L)(Z352n 1Z(Z 1)(z 2)收敛半径R(3) arctanz,z00由于(arcta nz)'1 z2 z4 L ( 1)nz2n L)(Z 1)1 Z则z( 1)nz2ndz L1)Z2 12111(Z 1)(z2)z 2 z 1 z24 z 2321

11、Z 24nn1Z 21Z 2(1)nn 0111Z2 n 043 n 0322n13n1 131由n1111112n 3由 Iim 2 .3n2=Iim 84nn9 3.8 Iim91n11n11n 1n13?2n 13n 124n3 3n23知，收敛半径R3复变函数练习题第四章级数专业姓名学号§ 4洛朗级数在计算洛朗级数收敛域时，要取正幕项的收敛域和负幕项的收敛域的公共部分nCnZn正幕项:负幂项:nCnZn On 1Cn 1 ZnCnZnC n 1znC nZnC nZn 1（或求幕级数收敛半径的常规作法）1 若 Cnnn3( 1) ,nn4 , n、选择题:0,1,2,L ,则

12、幕级数CnZn的收敛域为1, 2,L3Z X 1.11 I(A)Iz -(B) 3 |z| 4(C) 一 IZ434Cn1(D)IZl计算正幕项(常规作法)：IimnIimn3n 1 ( 1)n1(1)n3n计算负幕项:Zn的收敛域是nn 1c n 1ZnC nZ(A) 0 |Z| 1(B)4nZ3 .洛朗级数 2 lnl(Z 3)n的收敛域是n(A) |Z 3| 2(B) 2 IZ 3|1i(zInI-14zB(C)IzI 1C1(C) 2 |Z 31 22In2 i"i(z 3)3)nn2 i n 1i(z 3)2 i "i(z 3)4 .设 f(Z)(A) 1f(z)

13、1;二、填空题1.幕级数2 n(z 3)1Z(Z 1)(z 4)Z(Z1在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有(B) 2(C) 3(D) 1 |Z|(D) £ Iz 3|m 个，贝 U m C (D) 411)(z 4)4; Z的奇点有Z 0, 1, 4(1)n(1n 1I)"的收敛域为1i|12 .函数ez ez在0|z|nn的洛朗展开式为2+n 1 n! n 1 n!3 函数 1 在1Z(Z i)|z的洛朗展式为n2n 2(1) (Z i)n 01)n1(z i)2n3(或(i)n(z i) n2)n 0此时 |z 用洛朗级数展开式将i| 1.( 1)n 丄(z i) n

14、 0Z i1 1 1 1Z(Z i) ZiZii (Z i) 把下列函数在指定的区域内展开成洛朗级数:关于in形式上看:n ni a (n 0k 02kk 11). +iZ i1)ka2ki ( 1)ka2k 1 ,从而上式等于 k 0D2k+1(1)k2k 11Z iI 2k(1)k k oZ i2k 32k 1+i ( 1)k 0三、解答题:处展开为洛朗级数。Zef (Z)在 0 |z|Z(I) z,0 |z| 1;0 |z 1|n 2 Zn 0 n!0 IZl 1;由于11Z Z 2z(1 Z) (1 Z) 1 (Z 1)LnZL1 Z1=1 1IZ(1Z)2Z 1Z= 1(1Z2Z3z

15、2n 1LnZ L )=1 23ZLnzLZ0 |z 1| 11(1 Z)2n(1)n(Z 1)n01 1Z 1 1 (Z 1)1n(Z 1) Z 1 n 0nn 2=(1) (Z 1)n 0(2)1(Z 1)(Z2)0 |Z 1|1;1(Z 1)(Z2)(Zn 01)n1 IZ 2|1(Z 1)(Z2)1rr11(Z 2)2_1(Z 2)2(1)n(Z 2)n 0(1)n(Z 2) n 2n 03 若C为正向圆周IZl 3 ,求积分 ？f(z)dz的值，设f(z)为在洛朗级数的各个收敛圆环中，找出C所在的那个圆环，在该圆环内再进行洛朗展开(1)1Z(Z 2)1Z(Z 2)在区域Z2内解析，并

16、可展成洛朗级数nn n1= 111(I)n Z( 1)n2nZ(Z 2) Z2 1 2Z2 n 0Z n O Zn 2Z由C含于区域Z 2内，因而 Qf(z)dz=2 iC1=0Z1 21 1(Z 1)(Z2)z 1 z 2Z 1 1Znn1 Z,、n1 2 Z2-(1)-(1)ZnOZZ n 0Z(2)(Z 1)(Z2)2 1Z(1)n (2n 1 1)n 1n OZ故？ f(z)dz=2 ic I =2 i 仁2 i复变函数练习题第四章级数系专业班姓名学号综合练习题、选择题1若Cn(Z i)n在Z 3i发散，则它必在n O(A) Z 1收敛(B) Z 2发散(C) Z i收敛(D)以上全不

17、正确(由Abel定理)2 设幕级数nCnZ ,n 0nnCnZ01和Cnn 1Z n 0 n 1的收敛半径分别为R11 R21 R3 ,则 R1, R2, R3 之间的关系是(A) R1R2R3(B)R1R2R3(C) R1R2R3(D) RIR2R313 级数Z11 ZZZ2 L的收敛域是(A) |Z|1(B)0|Z| 1(C) 1 |Z|(D)不存在的3设Cn(Z 2)n ,在Z 4收敛而在Z 2 2i发散，则其收敛半径 R _,该幕级数n 0负幕项为有限项,因此,不需要保证1,只需保证其解析性，也就是Z 0即可二、填空题n1 . n |n|!2cos1 1nnn11ni+ n 0 n!1

18、n 1 n!in(ei 1)1)n(1)n的收敛圆环域是23-在IZ 22内绝对收敛。三、解答题1.求函数f(z)1的邻域内的泰勒展开式，并指出其收敛域。f(z)(Z 1)n2.求洛朗级数Cn(Z2)n的收敛圆环,其中Co1, Cnn!1,nn1,2,L解：由于Iimn(n 1)!(n 1)n1Iimnnn(n 1)nIimn(1级数Cn(Z 2)n的收敛圆环为0n 0另一方面，由于IimnC (n 1)C nIimn1 11丄L 2 n 11 1 L 12 n级数Cn(Zn 12)啲收敛圆环为从而洛朗级数Cn(Z 2)n的收敛圆环为1e.3把下列各函数在圆环域 0 IZl R内展开成洛朗级数，并指出使展开式成立的(3)(1)z ,/ 、n/, nn3e