第5讲.找规律、程序运算和定义新运算.尖子班.教师版

1、5找规律、程序运算和定义新运算,. b-2题型切片（六个）对应题目题 型 目 标数列的规律例1;练习1数表的规律例2;练习2图形的规律例3;练习3算式的规律例4;练习4程序运算例5、例6:练习5定义新运算例7;练习6C思路导航J）找规律解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论 有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件一般有下列几个类型：一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n之间的关系图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号 间

2、的关系图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环 变换周期，进而观察商和余数 .数形结合的规律：观察前n项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.常见的数列规律：1, 3, 5, 7, 9,2n 1 （ n为正整数）.2, 4, 6, 8, 10,，2n （ n为正整数）. 2, 4, 8, 16, 32,，2n （ n 为正整数）. 2, 5, 10, 17, 26,，n 1 （ n 为正整数）.0,3,8,15,24,，n21（ n 为正整数）. 2,6,12,20,， n（n 1） （ n 为正整数）. X , X , X , X ,

3、X , X ,，（1）nx （ n 为正整数）.n 1 X , X , X , X , X , X ,，（1） X （ n 为正整数）.特殊数列： 斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,从第三个数开始每一个数等于与它相 邻的前两个数的和三角形数：1,3,6,10,15,21,，n(n I)2数列的规律【例1】 观察下列一组数:1, 3, 5, 7,，它们是按一定规律排列的那么这一组数2468的第k个数是 ( k为正整数)瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据9 , 16 , 25 , 36 ,中得到巴尔末公式，从5122132而打开了光谱奥妙的大门.请你按这种规律写出第八个数据是

4、找规律，并按规律填上第五个数:916 ,第n个数为:有一列数 12(n为正整数).(n为正整数)3104 ,，那么第7个数是第n个数为17(5) 组按规律排列的式子:b2b5a11L (4a是,第n个式子是【解析】2丄；(2) 100 2k963n 1(1)nJ a1132, (I)b8,-3 ,a(n为正整数)n 2n 1 /*、7H :2n50ab0),其中第7个式子b20；(5)b7 ,a数表的规律称为莱布尼4,3表示分【例2】 将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形,茨三角形，若用有序数对m, n表示第m行，从左到右第 n个数，如1数一那么9,2表示的分数是 .

5、122初一数学能力提咼培优111136311114121241111152030205LLL LLL正整数按图的规律排列请写出第第一列 第二列20行第21列的数字：第三列 第四列 第五列第一行151017l11l12liwl第四行16 15 14 -13第五行25-242322 21按一定的规律排列成的数表如图所示 当“X型框中间数字为15时，框中五个数的和为 .当“X型框中间数字为-57时，框中五个数的和为 . 如果设“X型框中间的数为a,请用含a的代数式表示“X型框中五个数的和； 若将“X型框上下左右移动， 所框住的五个数之和能等于 285吗？若能，请求出这 五个数；若不能，请说明理由丈7

6、-911-13O19-212331-3335-3739-41'<4×今-4951-535<>-6163-65 «&×7>【解析】丄72420 ;观察可得规律：第一行第二列的数：21 2 ；第二行第三列的数：62 3;第三行第四列的数：123 4 ;第n行第n 1列的数：n(n 1)故可得第20行第21列的数为：20 21420.(3)-45，171-3a不能，中间数字应该为95,但是95却在最后一列【例3】 下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第 2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由 个基础图形组成，

7、，第n ( n是正整数)个图案由 个基础图形组成.n个图形观察下列图形:會* * # * * * * «- * * * * * * * * * *它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有个,第有个 . 图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2 ,再分别连接图2中间小三角形三边的中点，得到图 3.3有个三角形；n个图形中有多少个三角形?4 图2有个三角形；图 按上面的方法继续下去，第如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去， 则第n个图形需要黑色棋子的个数是 初一数学能力提高培优第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形【

8、解析】10, 3n 1 ;5 , 9 4n 3 ；28,3n+1 ; n(n 2)或 n2 2n 或(n 1)2 1 ；算式的规律【例4】此规律第一 2 6 12 20观察下列等式： a 3 :a 5 :a7 :a aaaa第n个等式为29；则根据【解析】6个等式为4213n na13 ； a2naa思路导航一般的以计算机程序为背景的新型求值题，解这类题的关键是弄清计算机程序与数学表达式之间的关系.程序运算【例5】 如下图，输入X32 ,则输出值y是 如下图所示是计算机程序计算，若开始输入X 1 ,则最后输出的结果 是 如图所示的运算程序中，若开始输入的X值为48 ,我们发现第1次输出的结果为

9、24 ,第2次输出的结果为12 ,，第2013次输出的结果为 5按下面的程序计算，若开始输入的值X为正整数，最后输出的结果为853 ,试求出满足条件的X的所有值.【解析】5 ;此程序为选择式，因 X91，故yx4 9 45. 9 ；经过第一次程序运算得2 ,因为25，需要返回循环；经第二次运算得 9，因为9 5，此程序结束，故输出结果为9.6.(提示：利用循环，多进行几次运算.) 由题意： 853 1 4 213>0 , 213 1 4 53>0 ,153 1413>013 143>03 14- >02只有213 , 53 , 13 , 3符合题意.(也可用方程思

10、想理解： X为正整数， 4x 1 5.当 4x 1853时，X 213.当 4x 1213 时，X 53.当 4x 153时，X 13.当 4x 113时，X 3.综上所述，X 213或X 53或X 13或X 3).【例6】阅读右面的框图并回答下列问题：(1)若 A 为 785 ,贝U E=(2)按框图流程，取不同的三位数 A ,所得E的值都相同吗？如果相同，请说明理由；如果不 同，请求出E的所有可能的值；(3)将框图中的第一步变为 任意写一个个位数字不为 O的三位数A ,它的百位数字减去个位数字所得的差大于 2”，其余的步骤不变，请猜想 E的值是否为定值？A- B-C并对你猜想的结论加以证明

11、.【解析】E=1089 ；阳到親DE的值都相同.理由如下：设 A=Iooa+10b+c且 a c=2,贝U B=IooC+10b+ a. C=A B=(100a+10b+c) (100c+10b+ a)=99a 99c=99(a c)=99 ×2=198. D=891 . E=C+D=198+891=1089 . E=1089.证法 1：设 A=100a+10b+c且 a c>2 ,贝U B=100c+10b+ a. C=A B=(100a+10b+c) (100c+10b+ a)=100(a c)+(c a)=100(a c 1)+10 X9+(10+ c a) D=100(

12、10+c a) +10 ×+ (a c 1). E=C+D=100(a c 1)+10 ×9+(10+ c a)+ 100(10+ c a) +10 ×+ (a c 1)=1089 .定义新运算基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后 按照基本运算过程、运算律进行运算注意事项：新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序每个新定义的运算符号只能在本题中使用 定义新运算【例7】现定义两种新运算 、，对于任意两个整数 a、b ,都有：a b a b 1, a b ab 1.试求：(3 4) (2 1)的值.用“ × ”定义

13、新运算：对于任意a ,b ,都有a l× b2 ab .例如，4 × 74279 ,那么5 × 3=:当m为有理数时，m × ( 1 × 2)=. 对于正整数a , b , C , d ,规定a bad bc ,若 11 b3 ,则 b dC dd 4 定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数.如：2的差倒数是1 a1 ,1的差倒数是11 已知a1-1 2 1 1 2 3 a2是a1的差倒数，贝U a2; a3是a2的差倒数，贝U a37 a4是a3的差倒数，贝U a4 ,，依此类推，贝U a2009 【解析】6; 22, m21 ;由题

14、意得4 bd 2 ,故bd 2 ,又b, d为正整数，所以b d 3 . 3 ；4;-；2434【点评】一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的 运算律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.【选讲题】【例8】（1）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A , B , C , D .请你按图中箭头所指方向（即A B C D C B A BC 的方式）从 A开始数连续的正整数 1, 2 , 3, 4 ,，当数到12时，对应的字母是 ;当字母C第201次出现时，恰好数到的数是;当字母C第2n 1次出现时（n为正整数），恰好数到的数是

15、 （用含n的代数式表示）【解析】B, 603, 6n 3 .(2)数a1,a2,a3, a4,L满足下列条件：印 0 ,a2a11 ,a3a22 ,a4a33 , L贝U a2013 的值为 .【解析】1006（3）如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行剪的次数12345正方形个数47填表:下去：如果剪了 100次，共剪出多少个小正方形? 如果剪n次，共剪出多少个小正方形？【解析】如表.剪的次数12345正方形个数47101316 如果剪了 100次，共剪出1 100

16、3 301个小正方形;如果剪n次，共剪出1 3n个小正方形训练1.【解析】思维拓展训练（选讲）在数列 1, 1, 2, 1,2, 322333，中，第100个数是9-将上述各组数分成如下几组:14的个数依次12 L n 1即巴J 1002100n(n21 22,2第100个数位141314 .又前13组数的个数为2可发现每一组中数n组，则91个，第100个数位于第14组的第9个，第14组的数分母均为14，故第100个数为.14训练2.观察下表，依据表格数据排列的规律，数2008在表格中出现的次数共有 次.1234246836912481216【解析】 提示：2008有8个约数，所以出现 8次.

17、训练3. 定义一种对于三位数 abc （a、b、C不完全相同）的"F运算”：重排abc的三个数位 上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差（允许百位数字为零）例如ObC 213时，贝U213 F 19（321 123 198） F （981189792）.579经过三次“ F运算”得; 假设abc中a>b>c,则abc经过一次“ F运算”得 （用代数式表示）.【解析】495;99 a c .训练4.在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“* ”法则:9a*b*c 2 a b c a b C .如:1*2*31| 1 23|12 35 .2计算:3*2*3 ；计算

18、:1*2*1°3在65432 10 , 1，234567 , 8这77777799999999卜五个数中,任取三个数作为a、b、C的值，进行“ a*b*c”运算，求所有运算结果的最大初一数学能力提高培优值； 若将这十五个数任意分成五组，每组三个数，进行“ a*b*c ”运算，得到五个结果.由于分组不同，所以五个运算结果不尽相同.那么五个结果和的最大值为.【解析】3 ;4353a* b* c-ab c abC,由定义可知，2丨I当a bC时，a * b* c1ab Ca b camax a*cb* c82I9当a bC时，a * b* c-1ab Ca b cbC, maxa* b*C

19、87 52I99 34.提示：分15组构造,7 825 63344 120, 2679 979 97997 9977则五个结果和的最大值为876 54 3210 4.9999999910数列的规律【练习1】观察一列有规律的数：4 ,A 2007L 小2007A . 2B. 216 , 32 ,，它的第2007个数是（2008c 20062 观察下列单项式，2x , 5x2, 10x3 , 17x4,根据你发现的规律写出第5个式子是 ,第8个式子是 ,第n个式子是 . （ n为正整数）【解析】 C. 26x5 , 65x8 , （ 1）n1（n2 1）n.数表的规律【练习2】 下面是由自然数排成

20、的数表，分为A , B, C三列，按这个规律，1999在第列。12 11 1013【解析】A图形的规律第1次把它分成4个小正方形，第 2次将上一次分成小正方形其中的一个又等分成 4 个小正方形，第3次将上次分成小正方形的其中一个又等分成 4个小正方形 依此操 作下去 请通过观察和猜想， 将第3次，第4次和第n次划分图中得到的正方形总个数（m ）填入下表：11次数（n ）1234n正方形总个数（m）59请你判断，按上述操作方法，能否得到103个正方形？为什么？【解析】 当n=3时，m=13 ； n=4时，m=17一般地 m=4n+1 ; 由m=4n+1得103=4n+1 n=25.5，因n不是整

21、数，故按此要求操作不可能得到103个.算式的规律【练习4】 观察图形(每个正方形的边长均为1)和相应的等式，探究其中的规律：K乡2N -尸尸尸(1)写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示;(2)猜想并写出与第n个图形相对应的等式.【解析】(I) 5I程序运算【练习5】根据右图中的程序,当输入X2时，输出结果y输入有理数X负数正数+(- 2)2×- 4)7输岀有理数yX值为正数，最后输出的结则满足条件的不同的值分别是： .计算5x+1的值输入X【解析】15;656 15 131>0 ,131 1526>0 ,26 155>0 ,545>0 ,512按下面的程序计算，若开始输入的果为656,4 1415<0, 只有-,5 , 26, 131 符合题意.5 255定义新运算【练习6】 定义运算为a探b a b （a b） 求5探7，7探5 . 求12 八 3探4）,（ 12探3 ）探4 . 这个运算“”有交换律、结合律吗？ 如果3探（5探