第17讲全等三角形

1、.第17讲全等三角形命题点全等三角形的性质与断定12019·河北T21·9分如图，点B，F，C，E在直线l上F，C之间不能直接测量，点A，D在l异侧，测得ABDE，ACDF，BFEC.1求证：ABCDEF；2指出图中所有平行的线段，并说明理由解：1证明：BFEC，BFFCECCF，即BCEF.又ABDE，ACDF，ABCDEFSSS2ABDE，ACDF.理由：ABCDEF，ABCDEF，ACBDFE.ABDE，ACDF.22019·河北T23·11分如图，ABC中，ABAC，BAC40°，将ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到A

2、DE，连接BD，CE交于点F.1求证：ABDACE；2求ACE的度数；3求证：四边形ABFE是菱形解：1证明：由旋转性质，得BACDAE40°，BADCAE100°，又ABAC，ABACADAE.在ABD和ACE中，ABDACESAS2CAE100°，ACAE，ACE180°CAE×180°100°40°.3证明：BADCAE100°，ABACADAE，ABDADBACEAEC40°.BAEBADDAE140°，BFE360°BAEABDAEC140°.BAEBFE

3、.四边形ABFE是平行四边形ABAE，四边形ABFE是菱形32019·河北T23·9分如图，AB50°，P为AB中点，点M为射线AC上不与点A重合的任意一点，连接AP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设BPN.1求证：APMBPN；2当MN2BN时，求的度数；3假设BPN的外心在该三角形的内部，直接写出的取值范围解：1证明：P为AB中点，APBP.在APM和BPN中，APMBPNASA2由1的结论可知：PMPN，2PNMN.又MN2BN，PNBN.B50°.340°<<90°.重难点全等三角形的性质与断定某产品的商标如下

4、图，O是线段AC，DB的交点，且ACBD，ABDC，嘉琪认为图中的两个三角形全等，他的考虑过程是：ACDB，AOBDOC，ABDC，ABODCO.你认为嘉琪的考虑过程对吗？假如正确，指出她用的是判别三角形全等的哪个条件；假如不正确，写出你的考虑过程【思路点拨】断定两个三角形是否满足全等条件“SAS【自主解答】解：显然嘉琪的思路是不正确的，因为由条件不能直接得到这两个三角形全等可考虑连接BC，由SSS可先得ABC和DCB全等，由全等三角形的性质，可得到AD，再根据AOBDOC，ABDC，由AAS判断得到ABODCO.【变式1】如图，ABCD，AD，求证：ABCDCB.【思路点拨】先断定AEBDE

5、C，再断定ABCDCB.证明：ABCD，AD，AEBDEC，AEBDECAASBECE，ABEDCE.EBCECB.ABCDCB.在ABC和DCB中，ABCDCBSAS【变式2】如图，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，OBOC，BC.求证：ABEACD.【思路点拨】先断定DOBEOC，再断定ABEACD.证明：在OBD和OCE中，OBDOCEASAODOE.BECD.AA，BC，ABEACDAAS【变式3】如图，AC，BD相交于点O，DBACAB，12.求证：CDADCB.【思路点拨】先断定DABCBA，再断定ADCBCD，再由全等的性质得CDADCB.证明：DBACAB，12

6、，ABBA，DABCBAAASACBD，ADBC.CDDC，ADCBCDSSSCDADCB.【拓展】点D在ABC的边BC上，BEAD，CFAD，垂足分别为E，F，BECF，请你判断AD是不是ABC的中线，假如是，请给出证明【思路点拨】由BDE和CDF全等，可得AD是ABC的中线证明：CFDBED，CFBE，又BDECDF，BDECDFAASBDDC.AD是ABC的中线1要证三角形全等，至少要有一组边相等的条件，所以一般情况下，我们先找对应边相等2在有一组对应边相等的前提下，找任意两组对应角相等即可；在有两组对应边分别相等的前提下，可以找第三组对应边相等，或者找这两组对应边的夹角相等，注意必须是

7、夹角；假设有三组对应边分别相等，那么可以直接根据边边边求解3题目可能隐含着条件公共边或公共角，再根据三角形全等的断定方法还需要寻找什么样的条件探究证明思路时，往往用到执因寻果，执果寻因，两头碰等方法本例题大都含有根本图形“燕子图，在条件给足的背景下，两个三角形是全等的，从图形变换条件，两个三角形关于过公共顶点的一条竖直直线对称归纳几何根本图形，然后对根本图形进展变式与拓展，是学习几何图形相关知识的重要手段如：旋转模型三垂直模型,一线三等角模型,易错提示两边及一边对角对应相等的两个三角形，不全等，即“SSA得不到两个三角形全等【变式训练1】2019·安顺如图，点D，E分别在线段AB，A

8、C上，CD与BE相交于点O，ABAC，现添加以下的哪个条件仍不能断定ABEACDDABCBADAECBDCEDBECD【变式训练2】2019·恩施如图，点B，F，C，E在一条直线上，FBCE，ABED，ACFD，AD交BE于点O.求证：AD与BE互相平分证明：FBCE，FBFCCEFC，即BCEF.ABED，ABCDEF.ACFD，ACBDFE.在ABC和DEF中，ABCDEFASAACDF.在DFO和ACO中，DFOACOAASOFOC.BFOFCEOC，即BOEO.AD与BE互相平分如图1所示，在ABC中，ABAC，BAC90°，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD

9、为直角边，A为直角顶点，在AD左侧作等腰直角ADF，连接CF.1当点D在线段BC上时不与点B重合，线段CF和BD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明；2当点D在线段BC的延长线上时，1的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由【思路点拨】可证明ACFABD，再利用全等三角形的性质，可得CFBD，CFBD.【自主解答】解：1CFBD，且CFBD.证明：FADCAB90°，FACDAB.在ACF和ABD中，ACFABDSASCFBD，FCADBA.FCDFCAACDDBAACD90°，即FCCB.综上，CFBD，且CFBD.21的结论仍然成立CABDAF90

10、°，CABCADDAFCAD，即CAFBAD.在ACF和ABD中，ACFABDSASCFBD，ACFB.ABAC，BAC90°，BACB45°.BCFACFACB45°45°90°，即CFBD.综上，CFBD，且CFBD.【变式训练3】：ACB90°，ACBC，ADCM，BECM，垂足分别为D，E.1如图1，线段CD和BE的数量关系是CDBE；请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明；2如图2，上述结论还成立吗？假如不成立，请直接写出线段AD，BE，DE之间的数量关系解：1结论：ADBEDE.理由：ADCM，BECM，

11、ACBBECADC90°.ACDBCE90°，BCECBE90°.ACDB.在ACD和CBE中，ACDCBEAASCDBE.ADCE.CECDDEBEDE，即ADBEDE.2中的结论不成立结论：DEADBE.理由：ADCM，BECM，ACBBECADC90°.ACDBCE90°，BCEB90°.ACDB.ACCB，ACDCBEAASADCE，CDBE.DECDCEBEAD，DEADBE.1全等三角形是证明两条线段相等或垂直常用的方法2变化题目中某些条件，结论是否成立，关键是得到结论的核心是否仍然存在，比方：两个三角形是否仍然全等或相似

12、思维定式是条件改变，结论必须改变，但此题AF，AD虽然长度改变，但仍相等；CAF，BAD虽然变大了，但仍相等，所以ACF，ABD尽管都变化，但全等的关系仍然存在，导致结论不变.1如图，ABCDCB，假设AC7，BE5，那么DE的长为AA2B3C4D522019·石家庄裕华区模拟如图，有一张三角形纸片ABC，BCx°，按以下方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是C32019·黔西南以下各图中a，b，c为三角形的边长，那么甲、乙、丙三个三角形和左侧ABC全等的是BA甲和乙 B乙和丙 C甲和丙 D只有丙42019·南京如图，ABCD，且ABC

13、D.E，F是AD上两点，CEAD，BFAD.假设CEa，BFb，EFc，那么AD的长为DAacBbcCabcDabc52019·金华如图，ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得ADCBEC不添加其他字母及辅助线，你添加的条件是ACBC或ADBE或DCEC62019·深圳如图，四边形ACDF是正方形，CEA和ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB4，那么阴影部分的面积是872019·苏州如图，点A，F，C，D在一条直线上，ABDE，ABDE，AFDC.求证：BCEF.证明：ABDE，AD.AFDC，ACDF.ABDE，ABCDEFSASACBD

14、FE.BCEF.82019·陕西如图，ABCD，E，F分别为AB，CD上的点，且ECBF，连接AD，分别与EC，BF相交于点G，H.假设ABCD，求证：AGDH.证明：ABCD，ECBF，四边形BFCE是平行四边形，AD.BECBFC，BECF，AEGDFH.ABCD，AEDF.AEGDFHASA，AGDH.92019·黑龙江如图，在四边形ABCD中，ABAD，AC5，DABDCB90°，那么四边形ABCD的面积为BA15B12.5C14.5D17提示：过点A作AEAC，交CB的延长线于点E，可证ACDAEB.10【分类讨论思想】2019·绍兴等腰ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BPBA，那么PBC的度数为30°或110°111如图1，在四边形ABCD中，ABDC，E是BC的中点，假设AE是BAD的平分线，试探究AB，AD，DC之间的等量关系，证明你的结论；2如图2，在四边形ABCD中，ABDC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，假设AE是BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，证明你的结论解：1AD