第7章_刚体的平面运动

1、第7章 刚体的平面运动7.1 主要内容7.1.1 刚体平面运动刚体作平面运动的充要条件是：刚体在运动过程中，其上任何一点到某固定平面的距离始终保持不变。刚体的平面运动可以简化成平面图形在平面上的运动。运动方程：其中基点O'的坐标xO' 、yO'和角坐标j 都是时间t的单值连续函数。如果以O'为原点建立平动动系O'x'y '，则平面运动分解为跟随基点（动系）的平动和相对于基点（动系）的转动。7.1.2 研究平面运动的基本方法1分析法建立运动方程式2运动分解法-基点法和绕两平行轴转动的合成。(1)基点法本章重点(2)绕两平行轴转动的合成常用于

2、研究行星轮系统的传速比。7.1.3 平面运动刚体上点的速度分析的三种方法1基点法应用速度合成定理2速度投影定理（由基点法推论）3瞬心法（由基点法推论）7.1.4 用基点法分析平面运动刚体上各点的加速度12平动动系：科氏加速度3应用加速度合成定理7.2 基本要求1. 熟悉刚体平面运动的特征，正确理解有关平面运动的各种概念。2. 能熟练应用基点法、瞬心法和速度投影定理求解有关速度的问题。3. 能熟练应用基点法求解有关加速度的问题。4. 对常见平面机构能熟练地进行速度和加速度分析。5. 正确理解绕平行轴转动合成的概念，并能用于行星轮系中的角速度分析。7.3 重点讨论1正确判断刚体的运动类型是否属于平

3、面运动。2用基点法分解运动。在平面图形上任取一点作为基点，建立平动动系，将平面图形的运动分解为跟随基点的平动（牵连运动）和相对于基点的定轴转动（相对运动）。即：刚体的平面运动Þ平动（跟随基点）+转动（绕基点）。3用绕两平行轴转动分解平面运动。平面运动Þ转动（牵连运动）+转动（相对运动）。此法多用于行星轮系速比之计算。4习题类型。（1）杆系机构。（2）轮系机构。5解题小结。（1）分析速度时，有三种方法可灵活选择。基点法这是基础。瞬心法。速度投影定理。后两者是基点法的推论，但用于定性分析和定量计算均很方便。（2）分析加速度时，只推荐用基点法。（3）解题步骤。分析系统中各构件的运

4、动，找出平面运动构件，分析其约束特点。根据已知条件，分析各构件的连接关系，确定解题方案。杆系问题求解平面图形的角加速度时，必须通过相对切向加速度求之。轮系问题，可由角速度直接求导，求得角加速度。行星轮系的角速度分析，推荐用反转法。6注意点。(1)基点法是求解平面运动图形上各点速度与加速度的基本方法，若已知平面图形上基点的速度与加速度，以及平面图形的角速度与角加速度，则平面图形上各点的速度与加速度均可求得。(2)若已知平面图形上一点的速度(大小、方向)及另一点速度的方位，则可应用速度投影定理求得该点速度的大小。(3)瞬心法是求解平面运动图形上各点速度较为简捷的方法，关键是将该瞬时的速度瞬心确定后

5、，再将角速度求出，则各点速度可按“定轴转动”分布情况求得，要注意速度瞬心是对一个平面运动刚体而言的。(4)速度瞬心并不等于加速度瞬心。(5)平面运动图形按基点法分解时，引进的动系是平动坐标系，且注意到绕基点的相对转动部分与基点的选择无关，因而平面图形的角速度和角加速度实际上是绝对的且是唯一的。若按刚体绕平行轴转动合成来分解时，引进的动系是转动坐标系，因而平面图形的角速度和角加速度则是相对的。这两者的差别在解题时至关重要。7.4 例题分析图7-1例7-1 已知圆柱半径为r，它由静止铅垂落下时，轮心速度，式中g为常量，h如图示；求 圆柱的平面运动方程。解 选t = 0时圆心的位置为坐标原点，取A为

6、基点，有积分，得圆柱的平面运动方程为例7-2 已知OA的转速n = 40r/min，OA = r = 0.3；求图示瞬时，筛子BC的速度。(a) (b)图7-2解 A、B两点速度如图，图中rad/s由速度投影定理得解出筛子平动的速度为2.513 m/s例7-3 已知OA = 0.1m，OD = BE = 0.12m，AB = 0.26m，DE = 0.12m；OA杆的角速度wO = 12 rad/s;求图示瞬时，杆OD的角速度wOD。解 图示瞬时，AB杆作瞬时平动，BE杆平动，ED杆的速度瞬心为C，又由已知尺寸可算出ODE = OED = 30°，故1.2 m/s，rad/s m/s

7、，rad/s(a) (b)图7-3例7-4 已知半径为r的滚子在半径为R的槽中纯滚动，滚子中心的速度和切向加速度为vC和；求图示瞬时滚子上A、B两点的加速度。(a) (b)图7-4解 滚子的A点是速度瞬心，故滚子的角速度和角加速度为选C点为基点，A点的加速度为 大小 ？ ra rw 方向 ? 皆如图所示向x、y轴投影，解出B点的加速度为 大小 ？ ra rw 方向 ? 皆如图所示向B点处x、y两轴投影，解出例7-5 已知滚子纯滚动，OA = AB = R = 2r = 1m，w = 2 rad/s；求图示瞬时点B和点C的速度与加速度。(a) (b) (c)图7-5解 先做速度分析如图(b)，点

8、P是滚子速度瞬心，AB杆瞬时平动，有rad/s2.828 m/s取A点为基点，对B点作加速度分析如图(b)，有 大小 ？ Rw2 ？ 方向 皆如图所示向AB轴投影得，故B点加速度为8 m/s最后取B为基点，作C点的加速度分析如图(c)，即大小 ？ 方向 皆如图所示故C点加速度11.31 m/s2例7-6 已知 OA = r，AB = 2r，轧道半径O1B =2r，OA杆的角速度和角加速度为wO和aO；求图示瞬时滑块B的加速度。(a) (b)图7-6解 作AB杆的运动分析如图，由速度投影定理，得故B点的法向加速度点C是AB杆的速度瞬心，故AB杆的角速度为由 大小 ？ raO ？ 方向 皆如图所示

9、向BA轴投影，得解出B点的切向加速度为)例7-7 已知 OA = 0.05m，w = 10 rad/s；O1D = 0.07m；求图示瞬时，摇杆O1D 的角速度w1和角加速度a1。(a) (b) (c)图7-7解 AD杆瞬时平动，vD = vA = w × OA，wAD = 0。选AD杆的D点为动点，摇杆O1D为动系，各速度如图(b)所示，由va = ve + vr， va = vD解出vr = va cos60° = 0.5 m/s，ve = va sin60° = 0.433 m/s，6.186 rad/s为求a1须分析D点的加速度，为此先求出AD杆的角加速度

10、。以A为基点，B点加速度为 aB= + +大小 ? w2×OA AB×wAD？ 方向皆如图（c）所示解出以A为基点，D点加速度分析如图(c)，有(A)式中有3个未知量，故再选D为动点，O1D杆为动系，有(B)由式（A）、（B），得 aA+ + = 大小 OA×w2 AD ×aAD0 ？ ？ 2w1vr方向皆如图（c）所示上式向x 轴投影，解出78.17 rad/s2例7-8 已知AB杆速度v = 常量，OD = BD，图示位置g = 60°，b = 30°；求图示瞬时滑块E的速度vE和加速度aE。(a) (b) (c)图7-8解 速度

11、分析如图(b)，选套筒B为动点，OC杆为动系，由vB = ve + vr解出DE杆作平面运动，由vB = vD + vED解出加速度分析如图(c)，动点动系选择如前述，由 大小 0 ？ ？ 2wevr方向皆如图(c)所示向方向投影，得解出对OE杆，以D为基点，有大小 ？ ？ 方向皆如图(c)所示向DE轴向投影，解得7.5 习题解答本章中7-1；7-2；7-3；7-4；7-5题解答略。7-6 如题76图所示，椭圆规尺AB由曲柄OC带动，曲柄以角速度wO绕O轴匀速转动。如，并取C为基点，求椭圆规尺AB的平面运动方程。（a） （b）题7-6图解：椭圆规尺AB作平面运动，选其上C点为基点，写出在坐标系

12、Oxy下的坐标，即为C点的运动方程。由几何关系及运动关系可知所以椭圆规尺AB的平面运动方程为xC =r coswOt，yC =r sinwOt，j = wOt。7-7 如题77图所示，半径为r的齿轮由曲柄OA带动，沿半径为R的固定齿轮滚动。如曲柄OA以匀角加速度e 绕O轴转动，且当运动开始时，角速度wO=0，转角j=0，求动齿轮以中心A为基点的平面运动方程。（a） （b）题7-7图解：OA作定轴转动，由条件得A轮作平面运动，且相对于固定齿轮滚动，设其转角为，所以有小轮半径AM 转角为或则动齿轮A以中心A为基点的平面运动方程为。7-8 题78图所示四连杆机构中，曲柄以角速度w =3 rad/s绕

13、O轴转动。求在图示位置时杆AB和杆的角速度。Aw90°OO1BvBwABvA （a）（b）题7-8图解：AB作平面运动，由vA和vB的方向，可找出刚体AB的速度瞬心为O点，如图（b）得到。又，得到。解出wAB=3 rad/s， =5.2 rad/s。7-9 在题7-9图所示机构中，曲柄OA以匀速n90r/min绕O轴转动，带动AB和CD运动。求当AB与OA、CD两两垂直时，杆CD的角速度及D点的速度。（a） （b）题7-9图解 由已知条件可知，AB作平行移动，其 vA和vB的方向如图（b）所示。有，vAvB并且，由。得到；。7-10 题710图所示两齿条以速度v1和v2作同向直线平动

14、，两齿条间夹一半径为r的齿轮；求齿轮的角速度及其中心O的速度。（a）（b）题7-10图解 设v1>v2，则点C为轮子的速度瞬心，如图（b）所示。有；故可解出。7-11 滑套C与D可沿铅垂杆运动，如题711图所示。已知滑套D的速度为0.21 m/s，方向向下，试求滑套C的速度和AB杆的角速度。（a） （b）题7-11图解 由已知条件及运动机构图可知，AB杆作定轴转动， BC杆作平面运动，由几何关系得到，；，；由基点法，选择B为基点，则D点的速度关系如图（b）所示。有沿水平、竖直方向投影得再选择B为基点，则C点的速度关系如图（b）所示。有沿水平、竖直方向投影得再由，解出vC=0.11 m/s

15、，wAB=0.17 rad/s。7-12 当连杆机构位于题712图所示位置时，套筒A正以6.1m/s的速度向左运动。求此时套筒B和C相应的速度。（a） （b）题7-12图解 由已知条件及运动机构图可知，AB杆与BC杆均作平面运动。由基点法，选择A为基点，则B点的速度关系如图（b）所示。有沿水平、竖直方向投影得解出vB=3.19 m/s。再选择C为基点，则B点的速度关系如图（b）所示。有沿水平方向投影得解出vC=8.71 m/s。7-13 在题713图所示位置，杆AB具有顺钟向的角速度3 rad/s。求（1）B点的速度。（2）曲柄OA的角速度。（a） （b） 题7-13图解：由已知条件及运动机构

16、图可知，AB作平面运动，由vA和vB的方向，可找出刚体AB的速度瞬心为I点，如图（b）所示。有，由，解出vB=1.22m/s，6.25rad/s。7-14 在题714图中，杆AB的销钉E可在杆CD的糟内滑动。在图示位置，物块A具有向左的速度400 mm/s和向右的加速度1400 mm/s2。求杆件CD的角速度和角加速度。（a） （b） （c）题7-14图解：由题可知： ，。（1）求速度。运动机构分析表明，杆AB作平面运动。由vA的方向，vB的方向确定出刚体AB的速度瞬心I，如图（b）所示。有， ，再选销钉E为动点，动坐标系固连于杆CD上，静坐标系固连于地面上。由速度合成定理vEavEe +vE

17、r沿水平、竖直方向投影，代入具体数值解出，。由，得到wCD2 rad/s，逆时针方向转动。 （2）求加速度。研究AB杆。由基点法，选择A为基点，则B点的加速度关系如图（c）所示。有沿水平方向投影 由题意可知，。解出。由 ，解出。再选销钉E为动点，动坐标系固连于杆CD上，静坐标系固连于地面上。则动点E的加速度图如图（c ）所示。由加速度合成定理其中有 。沿水平方向投影有，由题意可知， ， ，解出。由 ，解出eCD1 rad/s2，顺时针方向转动。I7-15 题715图中杆CD的滚轮C具有沿导槽向上的速度0.30 m/s。求：（1）杆件AB和CD的角速度；（2）D点的速度。（a） （b）题7-15

18、图解：由已知条件及运动机构图可知，AB杆作定轴转动， CD杆作平面运动，由vC和vB的方向，可确定刚体CD的速度瞬心为I点，如图（b）所示。由几何关系得到，有；。再由已知条件vC0.3 m/s，解出wAB3 rad/s；wCD2 rad/s；vD0.59 m/s。7-16 在题716图中，两个轮子沿水平面只滚不滑，它们彼此用杆AB相连。P点的速度为12cm/s，方向向右。求AB的角速度以及Q点的速度。（a） （b）题7-16图解：由已知条件及运动机构图可知，AB杆及两轮均作平面运动，由vA和vB的方向，可确定AB杆为瞬时平动，如图（b）所示。由定义可得到wAB0。B45°45

19、6;rDIvBvAvDwAA7-17 题717图所示滑块B、D分别沿铅直和水平导槽滑动，并借AB杆和AD杆与圆轮中心A点铰接，设圆轮作无滑动滚动。图示瞬时滑块B速度vB = 0.5 m/s，已知AB=0.5 m，r=0.2 m。试求圆轮角速度和滑块D的速度。（a） （b）题7-17图解：由已知条件及运动机构图可知，AB杆、AD杆及轮A均作平面运动，画出各点的速度方向，如图（b）所示。对AB杆，由速度投影定理，对圆轮，其作无滑动的滚动，速度瞬心即为与地面的接触点I，则，所以。由分析可知AD杆作瞬时平动有，vDvA0.5 m/s。DvAwaBvBAOC7-18 题718图所示机构中，套管的铰链C和

20、CD杆连接并套在AB杆上。已知OA=20 cm，AB=40 cm，在图示瞬时a =30°，套管在AB的中点，曲柄OA的角速度w = 4 rad/s。求此瞬时CD杆的速度大小和方向。veCvavr（a） （b） （c） 题7-18图解：由题可知：vAw × OA4×2080（cm/s）。运动机构分析表明，AB作平面运动，由A、B两点的速度方向，可知AB作瞬时平移，如图（b）。套筒C与CD杆铰接，并套在AB上，相对于AB作相对运动，选套筒C为动点，将动坐标系固结在AB上，C点的速度分析如图（c）；所以得（）。7-19 题119图所示长为l的曲柄OA绕O轴转动，带动边长

21、为l的正三角形平板ABC作平面运动。板上的点B与杆O1B铰接，点C与套筒铰接，而套筒可在绕O2轴转动的杆O2D上滑动。图示瞬时，曲柄OA铅直，角速度wO = 6 rad/s，O1、B、C三点在同一水平线上，杆O2D与水平面间的夹角a =60°，O2C=l。试求此瞬时杆O2D的角速度。DBECaO2OwOAO1vAvBvevavrC （a） （b） （c）题7-19图解：运动机构分析表明，正三角形平板作平面运动，首先由vA的方向，vB的方向确定出刚体ABC的速度瞬心E，如图（b）有；。所以得，方向垂直向下。分析滑块C点的速度。以C为动点，O2D为动系，C点的速度图如（c）所示。有所以，

22、方向为顺时针。bBEArwj30°OD vrvrveavBEvCCvA7-20 纵向刨床机构如题720图所示，曲柄OA=r，以匀角速度转动。当j =90°、b = 60°时，DCBC = 12，且OCBE，连杆AC=2r。求刨杆BE的平移速度。（a）（b）题7-20图解：运动机构分析表明，套筒D套在BCD杆上，且有相对运动。分析D点的运动情况，选D为动点，BCD为动系，画出D点的速度图（b），有即D点的牵连速度与其相对速度大小相等，方向相反，显然BCD杆上与套筒重合点的速度方向沿BCD杆，再由B点速度方向作出BCD杆的速度瞬心I。令DC1，则AC作平面运动，画出其

23、A、C两点的速度，且对AC杆，应用速度投影定理对BC应用速度投影定理所以解出7-21 在题721图所示给定的瞬时，杆A的角速度为0.25 rad/s顺钟向，角加速度为0.15 rad/s2逆钟向。求此刻杆B的角加速度。CC（a） （b） （c）题7-21图解：（1）求速度。选杆B的端点C为动点，动坐标系固连于杆A上，静坐标系固连于地面上。C点的速度图如图（b）所示。由速度合成定理 vavevr。沿x、y轴方向投影得， 由，解出，。（2）求加速度。动点，动坐标系的选择不变，则动点C的加速度图如图（c ）所示。由加速度合成定理沿y轴方向投影得由题意可知，解出。由，所以此刻杆B的角加速度为eB0.0

24、771 rad/s2。7-22 题722图所示杆BC以90转/分的转速逆钟向匀速旋转。试求系统位于图示位置时，套筒A的加速度。（a） （b） （c）题7-22图解：由题可知：，；，。（1）求速度。运动机构分析表明，AB作平面运动。由vA的方向，vB的方向确定出刚体AB的速度瞬心I，如图（b）所示。有所以得，。（2）求加速度。研究AB杆。由基点法，选择B为基点，则A点的加速度关系如图（c）所示。有沿AB杆方向投影由题意可知，。解出。所以套筒A的加速度为aA128.35（m/s2）。7-23 在题723图所示示位置，物块D具有向左的速度16 cm/s和向右的加速度30 cm/s2。试求：在此位置，

25、物块A的速度和加速度。（a） （b）（c）（d）题7-23图解：由题可知：； ，；，；，。（1）求速度。运动机构分析表明，杆CD及ABC均作平面运动。研究杆CD。由速度投影定理， 得到。研究ABC部分。由vA的方向，vB的方向确定出刚体ABC的速度瞬心I，如图（b）所示。有， ，得到，。（2）求加速度。研究CD杆。由基点法，选择D为基点，则C点的加速度关系如图（c）所示。有研究ABC部分。由基点法，选择B为基点，则A点的加速度关系如图（c）所示。有沿水平方向投影 （1）再选择C为基点，则A点的加速度关系如图（d）所示。有其中。沿水平方向投影 （2）由题意可知， ，。由式（1）与式（2）联立解出。由式（1）解出aA20.4 cm/s2。7-24 在题725图所示位置时，BC具有逆钟向的角速度2 rad/s，及顺钟向的角加速度4 rad/s2，求物块C的加速度。（a） （b）题7-24图解：由题可知： ，；，。（1）求速