第3章 力矩与平面力偶系

1、工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系力对物体作用时可以产生移动和转动两种外效应。力的移动力对物体作用时可以产生移动和转动两种外效应。力的移动效应取决于力的大小和方向，为了度量力的转动效应，需引效应取决于力的大小和方向，为了度量力的转动效应，需引入力矩的概念。入力矩的概念。主要研究内容：主要研究内容： （1 1）力矩的概念；）力矩的概念； （2 2）力偶与力偶矩；）力偶与力偶矩； （3 3）平面力偶系的合成与平衡。）平面力偶系的合成与平衡。1 3-1 3-1 力矩的概念和计算力矩的概念和计算3-2 3-2 力偶的概念力偶的概念3-3 3-3 平面力偶系

2、的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系3-11. 平面问题中力对点之矩平面问题中力对点之矩图3-1 用扳手拧螺母由上图知，力F 使物体绕O点转动的效应，不仅与力的大小，而且与O点到力的作用线的垂直距离d有关，故用乘积Fd 来度量力的转动效应。2 OFAld工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系该乘积根据转动效应的转向取适当的正负号称为力F对点O之矩，简称力矩，以符号M O (F)表示。 即O点称为力矩的中心，简称矩心矩心；O点到力F

3、 作用线的垂直距离d，称为力臂。力臂。 力矩的正负号规定：力使物体绕逆时针方向转动为正，反之为负。dFMO)(F3 力对点之矩取决于力矩的大小及其旋转方向（力矩的正负），因此它是一个代数量代数量。 力矩的单位：国际制 Nm，kNm ；工程制 公斤力米（kgfm）工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系4 OFAld在以上扳手拧螺母图示中，如作用于扳手的力F=200N，l=0.40m，=60o，试计算F对O点之矩。Mo(F)=-Fd=-Fl sin=-200N0.40msin60o=-69.3Nm工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章 力矩与平面力

4、偶系力矩与平面力偶系 （2）力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如果一 个力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此力的 作用线必通过该点；（3）互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。OF1 F2图 3-2 (c) F图 3-2 (b) o5 力矩的性质： （1）力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动而改变；OFd图 3-2 （a) 工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系2. 合力矩定理合力矩定理平面汇交力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各分力对同一点之矩的代数和。)()(FMFMORO6 工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章

5、力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系证明：由图得而OxydxyFFxFyAaqa-qr图 3-3aqqaaqqaqacossincossin)cossincos(sin)sin()(-rFrFrFrFdFMOFyrxrFFFFyxqqaasin,cossin,cos7 则(a)xyOFyFxM-)(F工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系若作用在 A点上有多个力，是一个汇交力系（F1 、F2 、 Fn） 则可将每个力对O点之矩相加，有(b)该汇交力系的合力FR=F，它对矩心的矩(c)比较（b）、（c）两式有-xyOFyFxFM)(-xyRxRyOFyFxF

6、yFxFM)(R)()(RFMFMOO8 工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系9 运用合力矩定理计算例3-1中F对O点之矩。已知，F=200N，l=0.40m，=60o。解：将物体看成是受到Fx和Fy两个力的作用，OFldxyFyFx mNlFFMFMFMyyOxOO-3 .690根据合力矩定理，合力F对O点之矩等于分力Fx、Fy对O点之矩的代数和aasin,cosFFFFyx工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系3-21. 力偶和力偶矩力偶和力偶矩(1) 力偶的概念力偶的概念 把大小相等、方向相反、作用线平

7、行的两个力叫做力偶力偶。并记作（F，F）。可用图3-5表示：作用线之间的距离称为力偶臂力偶臂，力偶所在的平面称为力偶作用面力偶作用面。 FFd 力偶臂力偶作用面图 3-5FF1FABF1CD图3-410 工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系(2) 力偶的性质力偶的性质(a) 力偶在任何坐标轴上的投影等于零；(b) 力偶不能合成为一力，或者说力偶没有合力，即它不 能与一个力等效，因而也不能被一个力平衡；力偶是一种最简单的特殊力系。(c) 力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效应，既它 可以也只能改变物体的转动状态。x 图3-6FFd 力偶臂力偶作用面1

8、1 工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系(3) 力偶矩力偶矩其转动效应对点之矩，用力偶中的两个力对其作用面内一点之矩的代数和来度量。FFd 图3-7OxdFxdFxFFMFMOO- -)()()(12 上式表明，力偶对作用面内任一点的矩之大小恒等于力偶中一力的大小和力偶臂的乘积，而与矩心的位置无关。工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系FFd 图3-7OxdFMdFFFM或),(13 力偶对物体的转动效应可用力与力偶臂的乘积Fd加上区分力偶在作用面内的两种不同转向的正负号来度量，这一物理量称为力偶矩，以M(F

9、,F)或M表示。正负号规定：逆时针方向转动时，力偶矩取正号；顺时针方向转动时，力偶矩取负号。工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系(4) 力偶的三要素力偶的三要素（a）力偶矩的大小； （b）力偶的转向； （c）力偶作用面在空间的方位。14 工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系2. 平面力偶等效定理平面力偶等效定理定理：在同一平面（或两平行平面）内的两个力偶，如它们的力偶矩的大小相等，而且转向相同，则此两力偶等效。例如汽车司机转动方向盘，不论将力偶(F,F)加在A、B位置还是同一力偶加在C、D位置，对方向盘的转

10、动效应不变；而且，如果力的大小增加一倍，同时力偶臂减小一半，对方向盘的转动效应仍然不变。15 FF1FABF1CD图3-5工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系证明：证明：如图所示 。运用加减平衡力系的公理并注意到：),(),(),(),(),(11PPFFPPQQFFFFABCABDABCABDSSSPPMSFFM2),(,2),(),(),(),(),(11PPMPPMPPMFFM图3-9P P1 P1 P F F Q Q A B A B b a C D 16 ),(),(11PPMFFM工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章 力矩与平面力

11、偶系力矩与平面力偶系推论1 力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的转动效应17 ABM(a)ABMC(b)图3-10工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系ABd F1F1(a)ABDF2F2(b)推论2 在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改 变力偶中力和力偶臂的大小而不改变力偶对物体的转动 效应，F1d=F2D其中图3-1118 工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系3-3平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶的总称。1. 合成合成(1) 两个力偶的情况两个力偶的情况=F1F1d1d2

12、F2F2F11F22F22F11ddFRFR222111,dFMdFM-dFMdFM-222111,=-2211R2211R,FFFFFF19 这样得到新的力偶(FR , FR)M=M1+M2=F11d - F22 d = (F11 - F22)d = FRd工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系(2) 任意个力偶的情况任意个力偶的情况M=M1 + M2 + + Mn , 或 M=MiM1M2Mn图3-1320 工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系2. 平衡条件平衡条件平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系

13、中各力偶矩的代数和等于零，即Mi=0 利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。21 工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 F1 = F2=1.5 kN , F3 =F4 = 1 kN, 求作用在板上的合力偶矩。180mm F1F2F3F480mm解：由式M = M1 + M2 则M =-F1 0.18 F3 0.08 = -350 N m负号表明转向为顺时针。图3-1422 工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 长为 4 m的简支梁的两端A、B 处作用有二个力偶，大小各为M1

14、 =16 N m，M2 = 4 N m，转向如图。试求A、B支座的约束力。 解：作AB梁的受力图，如图（b）所示。AB梁上作用有二个力偶组成的平面力偶系，在A、B 处的约束力也必须组成一个同平面的力偶（FA ，FB ）才能与之平衡。23 FAM1M2AB(b)d 604mABM1M2(a)图3-15工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系由平衡方程M =0得-M1+ M2+FB l cos60= 0 解得故FB=6 NFA、FB为正值，说明图中所示FA、FB的指向正确。FA = FB = 6 N24 FBFAM1M2AB(b)d 工程力学电子教案工程力学

15、电子教案 第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r，q =30，不计各杆自重，试求M1和M2间的关系。BODqM1 M2A25 工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 解：因为杆AB为二力杆，故其反力FAB和FBA只能沿A，B的连线方向。 分别取杆OA和DB为研究对象。因为力偶只能与力偶平衡，所以支座O和D的约束力FO 和FD 只能分别平行于FAB 和FBA ，且与其方向相反。BODqM1 M2AOM1 FO F

16、AB ABDM2 FD FBA 26 工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系0 cos20 cos21-qqrFMrFMBAABBAABFF122MM因为所以求得写出杆OA和DB的平衡方程： M = 0 OM1 FO FAB ABDM2 FD FBA 27 工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 如图所示，在物体上作用有两力偶 和 其力 多边形封闭。问该物体是否平衡？为什么？)(1, 1FF),(2, 2FF图3-17F1F2F1F2F1F2F1F2思考题 3-228 工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第

17、三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系图3-18所示圆盘由O点处的轴承支持，在力偶M 和力F 的作用下处于平衡。能不能说力偶被力F 所平衡？为什么？力矩和力偶有什么联系？又有什么区别？思考题思考题FMO图3-1829 工程力学电子教案工程力学电子教案 第三章第三章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系思考题思考题 3-3 一力偶(F1,F1)作用在Oxy平面内,另一力偶(F2 ，F2)作用在Oyz平面内,它们的力偶矩大小相等(如图)。试问此两力偶是否等效，为什么？xyzF2F2F1F1图3-16O30 工程力学电子教案工程力学电子教案 第六章第六章 内力与内力图内力与内力图 思考题：一传动轴的计算简图如图所示，作用于其上的外力偶矩之大小分别是：MA=2 kN.m , MB=3.5kN.m , MC =1 kN.m , MD = 0.5 kN.m ,