棒球击球的确定模型

1、棒球击球分析及确定模型摘要本文通过构建3个不同的模型，逐步分析了棒球棒上“甜蜜点”的确定，填充球棒对于击球效果的影响以及不同材质球棒的各个参数的区别这三个问题，最后得出各项结论。模型一主要将棒球与球的碰撞过程视为一个“碰撞振动系统”，通过“瞬时模型”的假设，将碰撞过程分为压缩和回复阶段，建立不同的力学方程以及基于Hertz理论求解碰撞力，最后得出“甜蜜点”的位置以及最佳击球区域的大小。模型二主要在模型一的基础上通过分析填充棒与传统木棒之间的各项参数变化引起的挥棒速度、质心位置、弹性系数的改变，继而达到改变击球效果，分析得出填充材料并不能增加击球速度。模型三我们通过将木质和铝质的球棒的表现分为以

2、下四点：一.人手的挥棒时间（若人挥棒时间越短则人便有更多的反应时间对球进行判断以及打击）；二.打击后球的速度；三.“甜点”区域的大小（即最佳击球区的大小）；四.球棒是否折断以及手感觉到的震动幅度大小。然后最后通过构建压杆稳定模型来分析铝棒与木棒的强度问题，分析棒球棒折断的临界条件。通过模型的求解可以得到最佳击球点在距离中心点0.1m左右，在这个点球棒所击出的球速度最大。填充软木塞之后的球棒比实木棒所击出的速度要小，由此知道填充球棒不仅不会增加出球速度，甚至会降低出球速度。对于不同材质的球棒来说，铝棒虽然挥棒时间较之木棒更短，打击后球速更大，甜点区域更大，球棒对手的震动幅度更小以及更不容折断，但

3、是这将大大降低球员的技巧，降低了比赛的可观看性，所以职业比赛中往往只使用木棒。关键字：碰撞分析最佳击球点压杆稳定Hertz理论一、问题重述棒球运动是一种以棒打球为主要特点，集体性、对抗性很强的球类运动项目。它在国际上开展较为广泛，影响较大，被誉为“竞技与智慧的结合”。每一个棒球手都知道在棒球棒比较粗的部分有一个最佳击球点，这里可以把打击球的力量最大程度地转移到球上。为什么这个区域不在棒球棒的最末端？基于力矩的解释或许可以确定棒球棒的最末端就是最佳的击球点，但是实际当中并不是这样的。构建一个模型帮助解释在实际运动过程当中的这个发现。还有一些棒球手相信在最佳击球区域内部添充上软木塞可以提高打击效果

4、（在球棒头部挖一个圆柱状槽，填充上软木塞或者橡皮），这是不是合理呢？进一步扩展模型确认或者否定该结论。然后确认这个解释是否可以合理的解释为什么棒球联盟否定这种做法。球棒的制作材料是否会有影响？也就是说，建立的模型是否对木质（通常是木屑）或者金属（通常是铝）球棒的表现做出不同的预测？这是否是职业棒球联盟都禁止金属球棒的原因？二、问题分析由于棒球与球的接触碰撞并非是一个简单的碰撞问题，其含有各种不确定因素，一般需要基于理论分析的基础上进行实验研究和数值仿真模拟分析。问题一的分析：目前关于国际上关于棒球最佳击球点一般意义上有8种定义，通过物理学角度分析我们可以总结成一点就是击打后球获得最大的飞行速度

5、。要使获得速度最大，那么加速度必须达到最大值，即作用力最大，简单的分析就可得出扭矩最大不代表力最大。我们可以将球棒与球的接触碰撞视为一个斜碰撞振动系统I显然碰撞前后的各状态量关系不能用简单的碰撞关系得出。在考虑瞬时碰撞和存在切面摩擦的情况下，我们可以在碰撞过程中逐步施加法向冲量和切向摩擦冲量，分为压缩变形阶段和恢复阶段，由冲量-动量(矩)的关系求得系统在每一步的状态，直至碰撞物体脱离，继而可求得球的速度和棒的振动。问题二的分析：挖空球棒或者用材料填充球棒，显然可以改变球棒的重心点。于是可以从重心点的改变这个角度去分析得出结论，为什么联盟禁止这种做法？题目中所说的自己挖出空腔的做法明显是错的，对

6、于是否这样做能够增大最佳击球点，可以判断挖空球棒或者填充球棒，只能改变球棒的重心点，不能改变最佳击球点的效应。问题三的分析：球棒制作材料当然会影响“甜蜜点”，而且即使都是木棒，每根的“甜蜜点”位置区域都会不同。但是由于金属球棒密度均匀可塑性强，所以一般金属棒的“甜蜜点”是可以控制的。而由于木棒密度、软硬程度均不同，导致木棒的使用需要高的技巧，否则很容易被折断。另外职业棒球联盟禁止金属球棒的主要原因是使用木棒需要讲究绝佳的挥击技巧，而不是蛮力，从而增加职业比赛的技术含量。不同材质的球棒的强度也许也是选择过的一个关键，可以利用压感稳定模型进行求解分析碰撞时的接触力是否达到球棒的临界应力。三、模型的

7、建立与求解模型一“甜蜜点”的确定球与棒的碰撞是一个复杂的物理现象，棒球的速度在极短时间问隔内发生突然变化，就目前的研究可知其碰撞持续时间约为10二秒。对此我们可以建立“瞬时假设模型”，通过假设求解撞击接触短暂瞬间的响应是解决碰撞问题的关键所在。球与棒从接触直到分离过程中一直存在作用力并一起运动，因此把碰撞问题看作是一个自由振动体系的初值问题是合理的。 球与球棒的碰撞相当于一个低速冲击问题，相对于高速冲击来说，低速冲击的研究重点是碰撞过程中各状态量的动态过程以及碰撞后的结构的动力响应。球与棒接触时的碰撞载荷即是碰撞区的内力，当内力由压力变成张力的时刻，既是球与棒开始分离的时刻。对于该碰撞问题我们

8、可以做如下假定：(1)认为碰撞持续时间N趋于0,而碰撞力F比其他作用大的多，由此过程产生有限的碰撞冲量和有限的速度改变其中mn为沿碰撞面法向的等效质量。(2)因以趋于0,在此时间段内，除碰撞力以外的其他有限作用力如重力等均可忽略不计。碰撞体的微小位移不计；碰撞过程所做的的功为有限量。(3)准刚体假设：碰撞时物体的变形局限在碰撞区附近的微小区域内，球的各质点几乎同时实现速度变化；整个过程可以划分为变形和恢复两个阶段。基于上述各项假设，球棒与球的整个接触过程我们可以简化为下图：棒球在 to时刻以初速度 V 和初始角度日在C点与具有初始角速度 0 的木棒相碰撞， 碰撞过程中的角速度与直接由法向冲量

9、P(t)的的变化决定，不计由微滑引起的角度变化。其中CM点为球棒的质心，各物理量的表示意义如下：V:击球前球棒质心速度V:击球后球棒质心速度v:击打前球的速度v:击打后球的速度s:击球点距离球棒的距离u:击球前棒球击打点速度u:击球后棒球击打点速度N:棒接触面的滑动摩擦系数我们可以知道，球棒与棒球接触时间是很短的，大约只有1ms,但我们还是建立这样的思想：虽然碰撞过程在“瞬时”完成，但在此过程中碰撞体即小球在接触区沿法向具有微小的压缩变形和恢复，此变形不影响物体的宏观位移。于是可以将瞬时碰撞过程按法向区域分为压缩和恢复两个“阶段”，这样，每一阶段都可以独立运用力学定律。在碰撞的压缩阶段(切向微

10、滑速度uT0)动量守恒：MV-vcosi-P角动量守怛：msvcose+l0=C(1)角冲量tcosFdt(2),t。F为碰撞力，n为碰撞接触面公法线方向。在碰撞切面采用Coulomb摩擦力模型，所以摩擦力产生白切向冲量为 NP。在C点，棒球有法向速度 vT=vcos6 和切向V速度 vn=vsine,于是在碰撞过程中有n=vsin 日一忤/mt和 vn=vcos-P/mn(3)式中叫和mn为压缩阶段球的切向和法向等效质量。通过式(1)可以得m=m(sin2日+sin 日 cosH/R),(4)压缩阶段将在V=v=0时结束在碰撞恢复阶段，因切向速度为零，相应的等效质量为式中法向冲量P=tFnd

11、t-o(21m,=m(sin6-sin0cos0/k)-(4)if整个碰撞过程在冲量P为零时结束， 两物体碰撞后的分离速度与碰撞前的接近速度成正比，这个比值叫做恢复系数。如果碰撞为弹性碰撞，则恢复系数为1,满足机械能守恒；如果为非弹性碰撞，则恢复系数m,则tAt,将球棒的质量带入得t=1.5t。我们知道一般投手到球棒的距离大约是18m投球的速度为40m/s并且为包定值，则球在空中飞行的时间人在挥棒时铝棒从底端到击打点的时间比木棒更短，则人便有更多的反应时间对球进行判断以及打击，丝毫的反应时间将会影响到击球手的判断能力，尤其对于高水平的运动员来说这段时间可以使他们击打出来的效果更佳。打击后球的速

12、度根据质心运动定理我们可以得到铝棒和木棒的质心距离手柄的距离相等。假设击球选手挥棒力恒定，挥棒的距离恒定。则铝棒和实木棒的质量比为：M3:铝棒球棒质量 M2:实木球棒质量根据能量守恒定理:M：填充球棒质心速度 U2：实木球棒质心速度从而有:根据表一得到表三的相关系数表三铝制球棒的相应参数运用matlab绘图程序（见附录3）得到图3从上图可以清晰地得出：铝棒的击球速度比木棒击球的速度大得多。甜点区域的大小分析图三，铝棒相比于木棒来说，在质心以上0到0.32m的范围内（实际上质心到球棒末端的距离是0.26左右） ， 铝棒作用下的击球后的速度都大于木棒的最佳击球点的击球后速度。所以相对于木棒来说，铝

13、棒的甜点位置可以在质心到末端的任一点。于是我们可以得出结论，球棒制作材料会影响“甜蜜点”，而且即使都是木棒，每根的“甜蜜点”位置区域都会不同。但是由于金属球棒密度均匀可塑性强，所以一般金属棒的“甜蜜点”是可以控制的，这就大大降低了比赛的可观看性。所以职业比赛禁止球员使用铝质球棒手感觉到的震动幅度大小定义：球与球棒击打时，由于击打过程是非完全弹性碰撞，碰撞一瞬间产生的能量并不可能完全转化为球和球棒的动能，而是有部分能量工损失的，比方内能以及声波能（由于声波产生的机械波的能量比较小，在下面的计算中可以忽略），还有便是传递到手上的能量，这部分能量对手的作用便产生了手部的震动感。棒球的特点建立了击球手

14、与投球手，球棒和棒球间的微妙的平衡关系。如果棒球从3m高落到水泥地上，它仅能反弹起约0.9m,由此可估算出它的恢复系数为J0.9/3*0.55,可见棒球并不是理想的弹性球体。不仅如此，实验表明，他的恢复力也不是线性的（不满足胡可定律）。如果把一个直径为6.7cm的棒球看成线性弹性球体，并假设碰撞过程将其压缩到原来直径的一半，则可计算出碰撞需要2ms而实际情况是，一个本垒打投手投过来的40m/s的棒球以50m/s的速度击出，仅需1ms左右，且大部分动量的传递发生在0.6ms内。我们已知木棒的恢复系数为0.5,棒球的恢复系数为0.55,而铝质球棒的恢复系数高达0.9.碰撞过程中拇指球棒产生的形变与

15、棒球的形变只比为2%铝质球棒产生的形变与球体形变之比为10%由此可以计算击球后返回的能量与总碰撞能的百分比，对于木质球棒为对于铝质球棒由前面的结论我们知道木棒击打出去的球的速度为35m/s,铝棒击打出去的速度为52.5m/s,并且木棒在击打前的速度为16m/s,铝棒在击打前的速度为24m/s,则知道了球和球棒在击打前的初速度以及球在击打后的球的速度，则可以根据动量守恒定律得到木棒击打后的速度为4.2m/s,铝棒击打后的速度0.142kg0.02kg.m0.4kg51rad/s-8.8m/s。已知碰撞前的总能量为球的动能加上棒的动能，可计算得总能量为228.8J。则击球后木棒返回的能量为1M0.

16、9 父 4.22=7.938,铝棒返回的能量为 22-x0.4x8.82=15.488。可求的木棒击球后的能量与总碰撞能的百分比为27938,、,1548838=3.469%,铝棒击球后的能量与总碰撞能的百分比为上竺8=6.769%。228.8228.8系统总的返回的能量占总能量的百分比便可以知道，为球和棒所占的百分比之和，则木棒为33.614%,铝棒为42.094%。所以对于手来说，不考虑声波能和内能，手所受到的能量为系统返回的能量之余，对于木棒来说，手所接收的能量为66.386%,对于铝棒来说，手所接收到的能量为57.906%。在其他条件不变的情况下，手接触铝棒所接收的能量越小，则受到的震

17、动幅度也越小，对于球员的击球影响也就越小。在棒球规则中要求职业球员只能使用木质球棒，而业余球员可以使用铝质球棒，由于铝质球棒的这种对手的震动幅度较木质球棒较小，所以球员能更好的处理球，我们有理由相信，如果允许职业球员使用铝质球棒，可以大大增加本垒打的成功率，这样便会打破攻防之间的平衡，使职业棒球运动的可观看性大大降低，所以规则要求职业球员只能使用木质球棒。3.7球棒是否折断我们可以将棒球与球棒的击打过程看成材料力学中的强度校核问题。将球棒看作杆，对于球棒折断时那个最大压力成为临界压力，其应力为临界应力。于是我们将其看作压杆稳定问题来求解。压杆稳定问题中求解临界压力有很多情况，一般常见的有压杆两

18、端同为较支座， 其他还有一端固定、另一端自由，两端固定，一端固定、另一端钱支。对于两端钱支且长为l的压杆，其临界应力的大小为其中E为弹性模量，I为惯性距。对于一端固定、另一端自由且长为l的压杆，其临界应力的大小为对于两端固定且长为l的压杆，其临界应力的大小为对于一端固定、另一端钱支且长为l的压杆，其临界应力的大小为于是我们可以统一写成这是欧拉公式的普遍形式。式中囚表示把压杆折算成两端钱支杆的长度，称为相当长度，N称为长度因数。现把上述四种情况下的长度因数R列表如下：压感的约束条件长度因数两端钱支R=1一端固定，另一端钱支R=2两端固定R=0.5一端固定，另一端钱支入0.7以上只是几种典型情形，

19、实际问题中压杆的支座还可能有其他情况。例如杆端与其他弹性构件 固 接 的 压 杆 ， 由 于 弹 性 构 件 也 将 发 生 变 形 ， 所 以 压 杆 的 端 截 面就是介于固定支座和较支座之间的弹性支座。止匕外，压杆上的载荷也有多种形式。例如压力可能沿轴线分布而不是集中于两端。又如在弹性介质中的压杆，还将受到介质的阻抗力。上述各种情况，也可用不同的长度因数 N 来反映。这些因数的值可从有关的设计手册或规范中查到。前面已经导出了计算临界压力的公式，用压杆的横截面面积 A 除 Fcr,得到与临界压力对应的应力为5.称为临界应力。把横截面的惯性距 I 写成式中 i 称为截面的惯性半径，这样，原式

20、就可以写成引用记号儿是一个量纲的量，称为柔度或长细比。它集中的反映了压杆的长度、约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界压力 qr 的影响。由于引用了柔度九，于是计算临界应力的公式可以写成这是欧拉公式的另一种表达形式，两者并无实质性的差别。欧拉公式是由弯曲变,2形的微分方程二=也导出的，而材料服从胡可定律又是上述微分方程的基础，dx2EI所以，只有临界应力小于比例极限仃p时，公式才是正确的。令与小于。p,得用代表这一极限值，即条件可以写成这就是欧拉公式的适用范围。式中我们可以发现，储与材料的性质有关，材料不同，%的数值也就不同。满足条件九至 A 的压杆，称为大柔度压杆。前面经常提到的“细长”压杆就

21、是指大柔度压杆。若压杆的柔度儿小于,则临界应力仃cr大于材料的比例极限Op,这时欧拉公式已经不能使用，属于超过比例极限的压杆稳定问题。对超过比例极限后的压杆失稳问题，也有理论分析的结果。但工程中对这类压杆的计算，一般使用以实验结果为依据的经验公式。在这里我们介绍两种经常使用的经验公式：直线公式和抛物线公式。直线公式把临界应力 6r 与柔度九表示为以下的直线关系：可见，只有当压杆的柔度K 大于或等于极限值Ji9 时，欧拉公式才是正确的式中a与b是与材料性质有关的常数。柔度很小的短柱，受压时不可能像大柔度杆那样出现弯曲变形，主要是因为应力达到屈服极限（塑性材料）或强度极限（脆性材料）而失效，这是一

22、个强度问题。所以，对于塑性材料，应力最高只能等于as,若相应的柔度为九2,则这是用直线公式的最小柔度。如九%,就应该按压缩的强度计算，要求对脆性材料，只需要把以上诸式中的0s,改为仃b。总结以上的讨论，对九父左的小柔度压杆，应按强度问题计算，在图中表示为水平线AR对人之儿的大柔度压杆，用欧拉公式计算临界应力，在图中表示为曲线CD柔度九介于%和%之间的压杆（%九%）,称为中等柔度压杆，用经验公式计算临界压力，在图中表示为邪直线BG图中表示临界压力仃c,随压杆柔度人变化的情况，称为临界压力总图。我们将球棒看作压杆稳定问题，由于棒球击打球棒的时间极短，手腕转动基本不明显，于是我们可以将手腕和球棒的接

23、触处看作是固定端，球棒的末端看成自由端，棒球和球棒的击打瞬间的作用看作球棒在击球点受到一个F力。于是压杆的约束条件为一端固定、另一端自由，则长度因数取N=2,其临界压力的大查表可得木材的弹性模量E为9.812GPa,铝合金的E为70GPa为方便我1们取木材的弹性模量为12GPa因为转动惯量I=1mr2,则木棒与铝棒的临界压222一力之比为 T/2L2L=m=12GPa0.9Kg=27:70,所以铝棒的临界压力（2l）（2l）E.m70GPa0.4Kg远远大于木棒，即铝棒需要更大的冲击力才能将其折断。铝棒较之于木棒更不容易折断，由于木棒密度、软硬程度均不同，导致木棒的使用需要高的技巧。 职业棒球

24、联盟禁止金属球棒的主要原因便是使用木棒时需要讲究绝佳的挥击技巧，而不是蛮力，否则很容易折断，这样可以提高比赛水平，以达到推广棒球比赛的影响力的目的。四、模型的结论结论一：当接触点距离质心s=0.1m时的棒球飞离速度最大，且棒球末端距质心的距离显然大于0.1m,继而最佳击球点不在棒球末端。在0.05-0.15的区域内速度和碰撞力均为最高值，这个区域在棒球棒上我们可以称为最佳击球区域，在此区域内，击打效果和得分概率显着提高。小为Fcr5二2EI&7结论二：球棒内添加软木塞等填充物后，引起球棒质量的减轻，“甜点”向着握手方向移动，即距离棒球顶端的距离变大。而且击打后球速度并没有增大，实际上，

25、有所减小，通过计算大概减小了2.6%。但是通过分析我们可以发现，一般来说，球棒质量的减小可以增加击球手的预判时间，从而一定程度上帮助击球手击球。结论三：球棒制作材料会影响“甜蜜点”，而且即使都是木棒，每根的“甜蜜点”位置区域都会不同。但是由于金属球棒密度均匀可塑性强，所以一般金属棒的“甜蜜点”是可以控制的。规则要求职业球员只能使用木质球棒，因为木棒的使用需要高的技巧，这样可以提高比赛水平，以达到推广棒球比赛的影响力的目的。五、模型的评价及推广模型的优点通过将球与棒的接触作为一个斜碰撞振动系统，利用物理学中的动量守恒，角动量守恒等物理方程和matlab软件以及材料力学中的压杆稳定对木棒击球速度做

26、出准确计算和分析，对木棒和铝棒进行多方面比较和抉择，更符合实际。模型的不足本模型缺乏足够的实验数据支持，模型结果具有一定的理论性。忽略了摩擦因素在碰撞过程的中的影响，在能量传递到手的过程中，没有考虑内能以及其他形式的能量；在模型建立过程中没有考虑碰撞效能的计算。模型的推广本模型不仅可以用于棒球运动中的各种理论分析和实际的解释，还可以推广至羽毛球，高尔夫等击打类运动。可为赛事规则的制定提供理论基础。参考文献：1金栋平，胡海岩，碰撞振动及其典型现象，力学进展，1999,29(2):155-164;2BabitskyVI,Theoryofvibro-impactsystemsandapplicati

27、ons,BerlinHeidelberg:Springer-Verlag,1998;3吕茂烈，刘延柱，理论力学(第二版)，北京：高等教育出版社，2001;4CataldoE,Ageneralizedmodelforcollisionbetweenrigidbodies,EuropeanCongressonComputationalMethodsinAppliedSciencesandEngineering(ECCOMAS2000),Barcelona,2000;5TimoshenkoSP,GoodierJN,TheroyofelasticityM,NewYork:MacGraw-Hill,19

28、70;6GraffKF,WavemotioninelasticsolidsM,Oxford:Clanendon,1975;7RobertK.Adair,ThePhysicsofBaseball,PhysicsToday,26(May1995);8刘鸿文，材料力学(第四版)，北京：高等教育出版社，2004;附录：附录1m=0.142;M=0.9;I=0.045;w=34;v=-40;V=16;e=0.5;s=-0,1:0,01:0.30;v=(1+e)*(V+w*s)+v*(m./M+m*s.八2./I-e)./(1+m/M+m*s.八2./I);plot(s,v)xlabel(击打点与棒球质心的距离s)ylabel(球飞离的速度v)gridon附录2m=0.142;M1=0.855;M2=0.9;I1=0.047;I2=0.