第1章 1.3　绝对值不等式的解法

1、.1.3绝对值不等式的解法1.3.1|axb|c，|axb|c型不等式的解法1.3.2|xa|xb|c，|xa|xb|c型不等式的解法1.理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c；|xa|xb|c.根底·初探教材整理1绝对值不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a0a<0|x|<ax|a<x<a|x|>ax|x>a，或x<axR|x0R不等式|x|·12x>0的解集是A.B.，0C.D.【解析】原不等式等价于

2、解得x<且x0，即x，0.【答案】B教材整理2|axb|c，|axb|cc>0型不等式的解法1.|axb|ccaxbc.2.|axb|caxbc或axbc.不等式1|x1|3的解集为A.0,2B.2,02,4C.4,0D.4，20,2【解析】由1|x1|3，得1x13或3x11，0x2或4x2，不等式的解集为4，20,2.【答案】D教材整理3|xa|xb|c，|xa|xb|cc>0型不等式的解法1.利用绝对值不等式的几何意义求解.2.利用零点分段法求解.3.构造函数，利用函数的图象求解.质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1： 解惑：

3、 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型|axb|c与|axb|c型不等式的解法解不列不等式.11|x2|3；2|2x5|7x；3.【精彩点拨】此题考察较简单的绝对值不等式的解法.解答此题1可利用公式转化为|axb|cc0或|axb|cc0型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式.2可利用公式法转化为不含绝对值的不等式.3可分类讨论去掉分母和绝对值.【自主解答】1法一：原不等式等价于不等式组即解得1x1或3x5，所以原不等式的解集为x|1x1或3x5.法二：原不等式可转化为：或由得3x5，由得1x1，所以原不等式的解集是x|

4、1x1或3x5.2由不等式|2x5|7x，可得2x57x或2x57x，整理得x2或x4.所以原不等式的解集是x|x4或x2.3当x220且x0，即当x，且x0时，原不等式显然成立.当x220时，原不等式与不等式组等价，x22|x|即|x|2|x|20，所以|x|2，所以不等式组的解为|x|2，即x2或x2.所以原不等式的解集为，2，00，2，.形如|fx|gx的不等式可借助|axb|c的解法，转化为fxgx或fxgx，当然|fx|gxgxfxgx.假如fx的正负能确定的话，也可以直接去掉绝对值符号.再练一题1.解以下不等式.1x|2x1|<3；2|12x|3.【解】1原不等式可化为或解得

5、x<或2<x<，所以原不等式的解集是.2原不等式化为|2x1|3，得32x13，从而22x4，得解集为x|1x2.|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法解不等式|x2|x1|4.【精彩点拨】在数轴上与2,1对应的点把数轴分成三部分，在每一部分里分别讨论不等式的解，然后把所求得三个集合取并集；也可以利用绝对值几何意义求解，另外还可以构造函数通过数形结合求得.【自主解答】法一零点分段讨论法：1x2时，|x2|x1|42x1x42x5x，x2；22x1时，|x2|x1|4x21x410，2x1；3x1时，|x2|x1|4x2x142x3x，1x.因此原不等式的解集为2,1

6、.法二几何法：x为不等式|x2|x1|4的解x是与数轴上的点A2及B1两点间隔 之和小于等于4的点.A，B两点的间隔 为3，因此线段AB上任何一点到A，B间隔 之和都等于3，因此都是原不等式的解，但我们需要找到原不等式解的全体，于是关键在于找到A，B间隔 之和为4的点.如图，我们将B向右挪动个单位至点B1，此时B1与A及B间隔 之和增加1个单位，同理我们将A点向左挪动个单位到A1，这时A1与A及B间隔 之和也增加一个单位，从数轴上可以看到A1与B1之间的任何点包括点A1和B1到A，B的间隔 之和均小于等于4，而当x或x时，x与A，B两点的间隔 之和都大于4.因此原不等式的解集为.法三图象法：将

7、原不等式转化为|x2|x1|40.构造函数y|x2|x1|4，即y作出函数图象如图，当x时，y0，所以原不等式的解集为.|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式可从以下三个方面去解：1零点分段讨论法设数轴上与a，b对应的点分别是A，B，以A，B为分界点，将数轴分为三个区间，在这三个区间上，绝对值不等式可以转化为不含绝对值的不等式，分别求解后再求并集.2利用|xa|的几何意义|xa|xb|与|xa|xb|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的间隔 之和与间隔 之差.3构造函数法数形结合法通过构造函数，利用函数的图象求解，表达函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象有时需要考察

8、函数的单调性是解题关键.再练一题2.解不等式|x1|x2|4. 【导学号：38000009】【解】当x1时，不等式化为x12x4，解得x1；当1x2时，不等式化为x12x4，解得1x2；当x2时，不等式化为x1x24，解得2x.所以原不等式的解集为.含参数的绝对值不等式的综合问题函数fx|xa|.1假设不等式fx3的解集为x|1x5，务实数a的值；2在1的条件下，假设fxfx5m对一实在数x恒成立，务实数m的取值范围.【精彩点拨】【自主解答】1由fx3，得|xa|3，解得a3xa3.又不等式fx3的解集为x|1x5，所以解得a2.2由1知a2，此时fx|x2|，设gxfxfx5|x2|x3|，

9、于是gx利用gx的单调性，易知gx的最小值为5.因此，假设gxfxfx5m对xR恒成立，实数m的取值范围是，5.1.第2问求解的关键是转化为求fxfx5的最小值，运用分类讨论思想，利用函数的单调性求解.2.将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、浸透，这是命题的新动向，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵敏运用.再练一题3.假设将“本例的条件和第1问改为“fx|2x2|x3|且关于x的不等式fx|2a1|的解集不是空集，试务实数a的取值范围.【解】易知fx当x3时，fx3x18，当3<x<1时，fx5x是减函数，4<fx<8，当x1时，fx3x14.因此fx

10、的值域是4，.要使fx|2a1|的解集不是空集，必须有|2a1|4，2a14或2a14，解得a或a.因此实数a的取值范围是.探究共研型含一个绝对值的不等式的解法探究1当c<0时，|axb|c，|axb|c的解集分别是什么？【提示】c<0时，|axb|c的解集为.|axb|c的解集为R.探究2如何解含绝对值的不等式？【提示】利用绝对值的意义和性质，去掉绝对值转化为不含绝对值的不等式或不等式组，再进一步求解.也可利用函数思想通过图象求解.探究3如何解含一个绝对值的不等式？【提示】含一个绝对值不等式的常见类型及其解法：1形如|fx|a，|fx|aaR型不等式.此类不等式的简单解法是等价命

11、题法，即当a0时，|fx|aafxa.|fx|afxa或fxa.当a0时，|fx|a无解，|fx|afx0.当a0时，|fx|a无解，|fx|afx有意义.2形如|fx|gx，|fx|gx型不等式.此类不等式的简单解法是等价命题法，即|fx|gxgxfxgx，|fx|gxfxgx或fxgx其中gx可正也可负.假设此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂.3形如a|fx|bba0型不等式.此类问题的简单解法是利用等价命题法，即a|fx|b0abafxb或bfxa.4形如|fx|fx，|fx|fx型不等式.此类题的简单解法是利用绝对值的含义，即|fx|fxfx0，|fx|fxx.函数fx|x8|x

12、4|.1作出函数fx的图象；2解不等式fx2.【精彩点拨】1去掉绝对值，把fx表示为分段函数，画出fx的图象.2不等式fx2可以看作是函数fx的值比2大，结合图象求出.【自主解答】1fx函数的图象如下图.2不等式|x8|x4|2，即fx2.由2x122，得x5，根据函数fx的图象可知，原不等式的解集为，5.含两个绝对值的不等式的解法探究4如何解含两个绝对值的不等式？【提示】1|xa|xb|c，|xa|xb|cc0型不等式的三种解法：分区间分类讨论法、图象法和几何法.分区间讨论的方法具有普遍性，但较复杂；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况.2|xa|xb|c，|xa|xb|cc0型不

13、等式的图象解法和画出函数fx|xa|xb|c的图象是亲密相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出fx的分段表达式.不妨设ab，于是fx这种图象法的关键是合理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，表达了函数与方程结合、数形结合的思想.3形如|fx|gx|型不等式，此类问题的简单解法是利用平方法，即|fx|gx|fx2gx2fxgxfxgx0.解不等式|2x1|2|x1|0.【精彩点拨】去掉绝对值，转化为不含绝对值的不等式.【自主解答】法一：原不等式可化为|2x1|2|x1|，2x124x12，解得x，原不等式的解集为.法二：当x时，原不等式可化为12x2x10，整理得30，无解

14、；当x1时，原不等式可化为2x12x10，整理得4x10，即x，x1；当x1时，原不等式可化为2x12x10，整理得30.此时不等式的解集为x1.原不等式的解集为x|x1.构建·体系1.不等式|x2|>x2的解集是A.，2B.，C.2，D.，22，【解析】原不等式同解于x2<0，即x<2.【答案】A2.不等式|x22|2的解集是A.1,1B.2,2C.1,00,1D.2,00,2【解析】由|x22|2，得2x222，即0x24，所以2x0或0x2，故解集为2,00,2.【答案】D3.不等式>的解集是A.0,2B.，0C.2，D.，02，【解析】由绝对值的意义知>等价于<0，即xx2<0，解得0<x<2.【答案】A4.假设关于x的不等式|x3|x4|<a的解集不是空集，那么a的取值范围是_. 【导学号：38000010】【解析】根据绝对值的几何意义知，|x3|x4|