第1章 3 第2课时 组合的应用

1、.第2课时组合的应用1能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题重点2能解决有限制条件的组合问题难点根底初探教材整理组合的实际应用阅读教材P15P16，完成以下问题1组合与排列的异同点共同点：排列与组合都是从n个不同元素中取出mmn个元素不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关2应用组合知识解决实际问题的四个步骤1判断：判断实际问题是否是组合问题2方法：选择利用直接法还是间接法解题3计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算4结论：根据计算结果写出方案个数1把三张游园票分给10个人中的3人，分法有_【解析】把三张票分给10个人中的3人，不同分法有C120种【答案】1202甲、乙、丙三位同

2、学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，那么不同的选修方案共有_种【解析】甲选修2门，有C6种不同方案乙选修3门，有C4种不同选修方案丙选修3门，有C4种不同选修方案由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有64496种【答案】96质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型无限制条件的组合问题在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训在以下条件下，有多少种不同的选法？1任意选5人；2甲、乙、丙三人必须参加；3甲、乙、丙三人不能参加；4甲、乙、丙三人只能有1人参加【精彩点拨】此题属

3、于组合问题中的最根本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含与“不含作出正确分析和判断，弄清每步从哪里选，选出多少等问题【自主解答】1从中任取5人是组合问题，共有C792种不同的选法2甲、乙、丙三人必需参加，那么只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C36种不同的选法3甲、乙、丙三人不能参加，那么只需从另外的9人中选5人，共有C126种不同的选法4甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C3种选法；再从另外9人中选4人，有C种选法共有CC378种不同的选法解答简单的组合问题的考虑方法1弄清要做的这件事是什么事2选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题3结

4、合两个计数原理，利用组合数公式求出结果再练一题1现有10名老师，其中男老师6名，女老师4名1现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？2选出2名男老师或2名女老师去外地学习的选法有多少种？【解】1从10名老师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C45.2可把问题分两类：第1类，选出的2名是男老师有C种方法；第2类，选出的2 名是女老师有C种方法，即CC21种有限制条件的组合问题高二1班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动1其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？2其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？3恰有2名

5、女生在内，不同的取法有多少种？4至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？5至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？【精彩点拨】可从整体上分析，进展合理分类，弄清关键词“恰有“至少“至多等字眼使用两个计数原理解决【自主解答】1从余下的34名学生中选取2名，有C561种不同的取法有561种2从34名可选学生中选取3名，有C种或者CCC5 984种不同的取法有5 984种3从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有CC2 100种不同的取法有2 100种4选取2名女生有CC种，选取3名女生有C种，共有选取方式NCCC2 1004552 555种不同的取法有2 555种5选取3名的总数有C，因

6、此选取方式共有NCC6 5454556 090种不同的取法有6 090种常见的限制条件及解题方法1特殊元素：假设要选取的元素中有特殊元素，那么要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类根据2含有“至多“至少等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类根据，或采用间接法求解3分类讨论思想：解题的过程中要擅长利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解再练一题2“抗震救灾，众志成城，在我国“四川512抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家问：1抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？2至少有2名外科专家的抽调方法有

7、多少种？3至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？【解】1分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有CC90种抽调方法2“至少的含义是不低于，有两种解答方法法一直接法：按选取的外科专家的人数分类：选2名外科专家，共有CC种选法；选3名外科专家，共有CC种选法；选4名外科专家，共有CC种选法根据分类加法计数原理，共有CCCCCC185种抽调方法法二间接法：不考虑是否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有CC种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有：CCCC185种抽调方法3“至多2名包括“没有“有1名“有2名三种情况，

8、分类解答没有外科专家参加，有C种选法；有1名外科专家参加，有CC种选法；有2名外科专家参加，有CC种选法所以共有CCCCC115种抽调方法探究共研型组合在几何中的应用探究1平面，在内有4个点，在内有6个点过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？【提示】所作出的平面有三类：内1点，内2点确定的平面，有CC个；内2点，内1点确定的平面，有CC个；，本身所作的平面最多有CCCC298个探究2上述问题中，以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？【提示】所作的三棱锥有三类：内1点，内3点确定的三棱锥，有CC个；内2点，内2点确定的三棱锥，有CC个；内3点，内1点确定的三棱锥，有CC个最多可作

9、出的三棱锥有CCCCCC194个探究3上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？【提示】等底面积、等高的情况下，三棱锥的体积相等，且平面，体积不一样的三棱锥最多有CCCC114个在一个正方体中，各棱、各面对角线和体对角线中，共有多少对异面直线？【精彩点拨】解答此题可用间接法求解，28条线段任取2条的组合中除去不能构成异面直线的情况或者构造模型，借助三棱锥中有且仅有3对异面直线来解决【自主解答】法一：一个正方体的棱、面对角线和体对角线共28条底面、侧面和对角面共12个面，每一个面中，任两条直线都不构成异面直线，8个顶点中过每个顶点的3条面对角线不能构成异面直线，故共有C12C8C174对异面直线法

10、二：因为一个三棱锥的6条棱中有且仅有3对异面直线，而一个正方体的8个顶点中取4个点的取法有C种，上述12个底面、侧面和对角面每个面的4个顶点不能构成三棱锥，故一个正方体的8个顶点可构成C1258个三棱锥，所以一个正方体中符合题设要求的异面直线共有3C12358174对几何中的计数问题一般为组合问题，要注意分清“对应关系，如不共线的三点对应一个三角形，不共面的四点确定一个四面体等.解题时可借助图形帮助考虑，并要擅长利用几何性质，但要注意共点、共线、共面等特殊情况，防止多算或漏算.再练一题3四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们与点A在同一平面上，有多少种不同的取法？【解】如

11、下图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外每个面都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3C种取法，含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法根据分类加法计数原理，不同的取法有3C333种构建体系1楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，那么关灯方案有A72种 B84种 C120种 D168种【解析】需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中，所以关灯方案共有C120种应选C.【答案】C2假设从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，那么不同的取法共有A60种B63种 C65种D66种【解析】均为奇数时，有C5种；均为偶

12、数时，有C1种；两奇两偶时，有CC60种，共有66种【答案】D3由三个3和四个4可以组成_个不同的七位数【解析】在七个位置上选出3个位置放入3，其余放入4，所以有CC35个不同的数【答案】354在直角坐标平面xOy上，平行直线xnn0,1,2，5与平行直线ynn0,1,2，5组成的图形中，矩形共有_个. 【导学号：62690015】【解析】在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为CC1515225个【答案】2255在12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽出3件1共有多少种不同的抽法？2抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？3抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？