第1章 2 第1课时 排列与排列数公式

1、.§2排列第1课时排列与排列数公式1理解排列、排列数的定义，掌握排列数公式及推导方法重点2能用列举法，写出一个排列问题的所有的排列易混点3能用排列数公式解决无限制条件的排列问题难点根底·初探教材整理1排列的概念阅读教材P7P8“练习1以上部分，完成以下问题1排列一般地，从n个_元素中取出mmn个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个_元素中任意取出m个元素的一个排列2排列一样的条件两个排列一样，当且仅当两个排列的元素_，且元素的_也一样【答案】1.不同的不同的2.完全一样排列顺序判断正确的打“，错误的打“×1两个排列的元素一样，那么这两个排列是一样的排列2从六名

2、学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题3有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题4从3,5,7,9中任取两个数进展指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题【解析】1×因为一样的两个排列不仅元素一样，而且元素的排列顺序一样2因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序有关，属于排列问题3×因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题4因为任取的两个数进展指数运算，底数不同、指数不同结果不同结果与顺序有关，故属于排列问题【答案】1×23×4教材整理2排列数及排列数公式阅读教材P8“练习1

3、以下至P9“例1以上部分，完成以下问题排列数定义从n个不同元素中取出mmn个元素的所有_的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数排列数表示法_排列数公式乘积式A_阶乘式A_性质A_，0！_备注n，mN，mn【答案】排列Ann1n2nm1n！11A_，A_.【解析】A4×312；A3×2×16.【答案】1262._.【解析】.【答案】质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型排列的概念判断以下问题是否为排列问题1北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格假设来回的

4、票价一样；2选2个小组分别去植树和种菜；3选2个小组去种菜；4选10人组成一个学习小组；5选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；6某班40名学生在假期互相通信【精彩点拨】判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关假设与顺序有关，就是排列问题，否那么就不是排列问题【自主解答】1中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题2植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题34不存在顺序问题，不属于排列问题5中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题6A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属

5、于排列问题所以在上述各题中256属于排列问题1解决此题的关键有两点：一是“取出元素不重复，二是“与顺序有关2判断一个详细问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的根据就是变换元素的“位置这里的“位置应视详细问题的性质和条件来决定，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题再练一题1判断以下问题是否是排列问题1从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？2从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？3某商场有四个大门，假设从一个门进去，购置物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共

6、有多少种？【解】1由于取出的两个数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题2因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题3因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题综上，1、3是排列问题，2不是排列问题排列的列举问题写出以下问题的所有排列1从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？2写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列【精彩点拨】1直接列举数字2先画树形图，再结合树形图写出【自主解答】1所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,3

7、4,43，共有12个不同的两位数2由题意作树形图，如图故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进展分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进展，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列.再练一题21北京、广州、南京、天津4个城市互相通航，应该

8、有_种机票. 【导学号：62690007】2A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有_种不同的排列方法【解析】1列出每一个起点和终点情况，如下图故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京、广州天津、广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种2因为A不排第一，排第一位的情况有3类可从B，C，D中任选一人排，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图所以符合题意的所有排列是：BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA

9、共14种【答案】112214探究共研型排列数公式的推导及应用探究1两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进展组数字游戏从这4个数字中选出2个或3个分别能构成多少个无重复数字的两位数或三位数？【提示】从这4个数字中选出2个能构成A4×312个无重复数字的两位数；假设选出3个能构成A4×3×224个无重复数字的三位数探究2由探究1知A4×312，A4×3×224，你能否得出A的意义和A的值？【提示】A的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素a1，a2，an中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反

10、过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A.由分步乘法计数原理知完成上述填空共有nn1种填法，所以Ann1探究3你能写出A的值吗？有什么特征？假设mn呢？【提示】Ann1n2nm1m，nN，mn1公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是nm1，共有m个因数；2全排列：当nm时，即n个不同元素全部取出的一个排列全排列数：Ann1n2·2·1n！叫作n的阶乘另外，我们规定0！1.所以Ann1n2nm1.1计算：；2证明：AAmA.【精彩点拨】第1题可直接运用排列数公式，也可采用阶乘式；第2题首先分析各项的关

11、系，利用A进展变形推导【自主解答】1法一：.法二：.2AA · · m· mA， AA mA.排列数的计算方法1排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进展，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数因式的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用2应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量再练一题3求3A4A中的x.【解】原方程3A4A可化为，即，化简，得x219x780，解得x16，x213.由题意知解得x8.所以原方程的解为x6.构建·体系1从1,2,3,4

12、四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题A1B2C3D4【解析】因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题【答案】B24×5×6××n1×n等于AABA Cn！4!DA【解析】4×5×6××n1×n中共有n41n3个因式，最大数为n，最小数为4，故4×5×6××n1×nA.【答案】D35本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，那么不同的分配方法有_种【解析】利用排列的概念可知不同的分配方法有A120种【答案】1204A6A5A_. 【导学号：62690008】【解析】原式AAAA5×4×3×2×1120.【答案】1205将玫瑰花、月季花、莲花各一束分别送给