第1章-7.1+7.2

1、.7正切函数71正切函数的定义72正切函数的图像与性质学习目的1.能借助单位圆中的正切线画出函数ytan x的图像.2.掌握正切函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质重点.3.注重数形结合思想的应用以及正切函数与正、余弦函数的综合应用难点知识点1正切函数的定义1任意角的正切函数：假如角满足R，kkZ，那么，角的终边与单位圆交于点Pa，b，唯一确定比值，我们把它叫作角的正切函数，记作ytan ，其中R，k，kZ.2正切函数与正弦、余弦函数的关系：根据定义知tan R，k，kZ3正切值在各象限的符号：根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其正

2、切函数值为负4正切线：在单位圆中令A1,0，过A作x轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于T，称线段AT为角的正切线【预习评价】1假设角的终边上有一点P2x1,3，且tan ，那么x的值为A7B8C15 D.解析由正切函数的定义tan ，解之得x8.答案B2函数ytan 2x的定义域为_解析由正切函数的定义知，假设使ytan 2x有意义，那么2xkkZ解得xkZ答案知识点2正切函数的图像及特征1ytan x，xR且xk，kZ的图像正切曲线：2正切曲线的特征：正切曲线是由被互相平行的直线xkkZ隔开的无穷多支曲线组成的这些直线叫作正切曲线各支的渐近线【预习评价】正切函数是奇函数，图像关于原点对

3、称，那么正切函数的对称中心只有一个吗？提示正切函数的对称中心除了原点外，诸如，0等都是对称中心，正切函数有无数个对称中心知识点3正切函数的性质函数ytan x定义域值域R周期性周期为kkZ，k0，最小正周期为奇偶性奇函数单调性在kZ上是增加的【预习评价】正确的打“，错误的打“1正切函数为定义域上的增函数2正切函数存在闭区间a，b，使ytan x是增加的3假设x是第一象限的角，那么ytan x是增函数4正切函数ytan x的对称中心为k，0kZ.题型一正切函数的定义【例1】角的终边经过点P4a,3aa0，求sin ，cos 、tan 的值解r5|a|，假设a0，那么r5a，角在第二象限，sin

4、，cos .tan ；假设a0，那么r5a，角在第四象限，sin ，cos ，tan .规律方法角终边上任一点的坐标m，n利用定义求tan 时，其值与该点的位置无关且tan .但要注意判断角所在象限利用定义可求以下特殊角的正切：0tan 011【训练1】假设tan ，利用三角函数的定义，求sin 和cos .解tan 0，角是第一或第三象限角假设角是第一象限角，那么由tan ，角的终边上必有一点P2,1，r|OP|.sin ，cos .假设角是第三象限角，那么由tan 知，角的终边上必有一点P2，1，r|OP|.sin ，cos .题型二正切函数的图像及应用【例2】利用正切函数的图像作出y|t

5、an x|的图像并写出使y的x的集合解当x时，ytan x0，当x时，ytan x0，y|tan x|如下图使y的x的集合为.规律方法1.作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法，这三点是，0,0，两线是直线x为渐近线2假如由yfx的图像得到yf|x|及y|fx|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出yfxx0的图像，令其关于y轴对称便可以得到yf|x|x0的图像；同理只要作出yfx的图像，令图像“上不动，下翻上便可得到y|fx|的图像【训练2】1函数y的定义域为_解析要使该函数有意义，那么有即xk且xk

6、.答案2根据正切函数的图像，写出tan x1的解集解作出ytan x及y1的图像，如以下图满足此不等式的x的集合为.方向1比较大小【例31】比较tan 1、tan 2、tan 3的大小解tan 2tan2，tan 3tan3，又2，20.3，30，显然231，且ytan x在内是增函数，tan 2tan 3tan 1，即tan 2tan 3 tan 1.方向2求解最值【例32】假设x，求函数ytan2x2tan x2的最值及相应的x值解令ttan x，x，t，1，yt22t2t121，当t1，即x时，ymin1，当t1，即x时，ymax5.方向3性质的综合应用【例33】fxatan xa01判

7、断fx在x上的奇偶性；2求fx的最小正周期；3求fx的单调区间；4假设a0，求fx在上的值域解1fxatan xa0，x，fxatanxatan xfx又定义域关于原点对称，fx为奇函数2fx的最小正周期为.3ytan x在kZ上单调递增，当a0时，fx在kZ上单调递减，当a0时，fx在kZ上单调递增4当a0时，fx在上单调递减，故x时，fxmaxa，无最小值fx的值域为，a规律方法1.比较同名三角函数值的大小，本质上是将两个角利用周期性放在同一个单调区间内，利用单调性比较大小2对于形如ytanx、为非零常数的函数性质和图像的研究，应以正切函数的性质与图像为根底，运用整体思想和换元法求解假如0

8、的图像的相邻两支曲线截直线y所得线段长为，那么f的值是A0B1C1 D.解析由题意，得T，4.fxtan 4x，ftan 0.答案A10函数ytan x在，是减函数，那么的取值范围是_解析ytan x在，内是减函数，0且T.|1，即10.答案1,011求函数ytan2x4tan x1，x的值域为_解析x，1tan x1.令tan xt，那么t1,1yt24t1t225.当t1，即x时，ymin4，当t1，即x时，ymax4.故所求函数的值域为4,4答案4,412假设函数fxtan2xatan x的最小值为6.务实数a的值解设ttan x，因为|x|，所以t1,1那么原函数化为：yt2at2，对称轴t.假设11，那么当t时，ymin6，所以a224舍去；假设1，即a2时，二次函数在1,1上递增，ymin21a6，所以a7；假设1，即a2时，二次函数在1,1上递减ymin21a6，所以a7.综上所述，a7或a7.13选做题函数fx.1求函数定义域