两辆铁路平板车的装货问题

1、两辆铁路平板车的装货问题摘要此题针对铁路平板车装货的问题，有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板 车上去。在厚度、载重、件数等条件的限制下，要求我们把包装箱装到平板车上 去使得浪费的空间最小。针对本问题，初步分析可得：题中所有包装箱共重89t，而两辆平板车只能载重共80t，因此，不可能全安装下。根据题意可得，浪费的空间最小就是要求 尽可能使两辆车上的装箱总厚度尽可能大。根据题目中关于厚度、载重、件数等限制条件，建立相应的线性规划数学模型，写出相应的目标函数和约束条件。 使 用数学软件matlab和lingo得出相应的最优解。假设有数组最优解，最后用Excel 对得到的最优解进行分析，得出最符合题

2、意的答案。关键词：线性规划最优解lingo matlab一、问题重述有7种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。包装箱的宽和高是一样 的，但厚度t，以厘米计与重量w,以公斤计是不同的。下表给出了每种 包装箱的厚度、重量以与数量。每辆平板车有10.2米长的地方可用来装包装箱像面包片那样，载重为40吨。由于当地货运的限制，对C5,C6,C7类的包装 箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间厚度不能超过 302.7cm。C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7tcm 48.7 52.0 61.3 72.0 48.7 52.0 64.0wkg 2000 3000 1000 500 4000 200

3、0 1000 件数 8796648问：应该如何把这些包装箱装到平板车上，才能使得浪费的空间最小尽量使这些包装箱所占的空间最大？试建立此问题的数学模型。问题分析2.1对题目的分析题目中的所有包装箱的总重量W=2*8+3*7+9*1+0.5*6+4*6+2*4+1*8=89t但是两辆平板车的总载重量只有 80t，所以不可能全部装下所有货物。题目要求试 把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。所以不以尽可能装满80t货物为目标函数，而是以使两辆车上的装箱总厚度尽可能大为目标函数建立数学模型。 由于当地对于货运的限制 C5,C6,C7所占的厚度不超过302.7cm。这句话可以理 解为1 ：每辆车的长

4、度限制不超过302.7cm°2 :两辆车的总长度限制不超过302.7cm0我们算得需要装载的C5, C6, C7总长度为：T=48 . 7*6 + 52 . 0*4 + 64 . 0*8 = 1012 . 2cm远大于3 0 2. 7 cm。所以本文中我们根据经验和数据的判断，只考虑第一种情况。2.2对模型的简单分析根据题目我们要建立相关的数学模型。 分析发现：1.有一个目标，即题目的 最终要使两辆车的总厚度实现最大化；2.存在一定的约束条件，并且这些约束条 件可以由决策变量的线性不等式表示，即每辆车的厚度以与载重限制是完全由决 策变量每辆车所装种类包装箱的个数决定的。故此题属于线性

5、问题，可以采 用线性规划数学模型解决。三、模型假设1、包装箱的底面积恰好与平面车的平面积恰好相等；2、包装箱之间不存在间隙，即包装箱所铺成的总高度没有影响；3、将每个包装箱装入平板车都具有可行性；4、各个货物装在车上的概率相同，相互之间的排放不存在关联性；5、在该平板车装载的过程中不考虑各个货物的厚度与重量的误差性，均为题中 所给的准确数值；&装载的过程中不考虑货物在车上的排列次序与各个货物的重量密度，排除因 局部过重而造成的平板车不能行驶的情况；7、不考虑方案不同仅仅是AB车车次相互交换的情况；8、不考虑一辆车上同一种包装箱组合方案的不同排列；9、在重量符合要求的情况下，不考虑两车重

6、量差异大小对最优解的影响四、符号说明序号符号符号说明1X1X7A车中C1C7类货物装载的数量2Y1Y7B车中C1C7类货物装载的数量3f目标函数，即 A, B车所装货物的总厚度4Wa最优解中A车的实际重量5Wb最优解中B车的实际重量6Ta最优解中A车的实际厚度7Tb最优解中B车的实际厚度8Lta最优解中A车的C5,C6,C7的实际厚度9Ltb最优解中B车的C5,C6,C7的实际厚度为了便于问题的求解，我们给出以下符号说明:五、模型的建立与求解经过以上的分析和准备，我们将逐步建立以下数学模型，进一步阐述模型的 实际建立过程。5.1线性规划模型的建立与求解根据题目中的意思，要在符合厚度、质量等的条

7、件下建立相关的数学模型。 我们可以根据题意写出初步的目标函数和约束条件：假设两辆车分别为 A车和B车，设A车上的C1、C2、C3 C4 C5 C6 C7 种类的箱子分别装x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7件，B车上的C1、C2 C3 C4 C5 C6 C7种类的箱子分别装y1、y2、y3、y4、y5、y6、y7件。1. 目标函数为使两辆平板车的装箱总厚度之和尽可能地大，即：max 0.487x1 0.520x2 + 0.613x3 + 0.720x4 + 0.487x5 + 0.520x6 + 0.640x7+ 0.487y1 + 0.520y2 + 0.613y3 + 0.720y4

8、+ 0.487y5 + 0.520y6 + 0.640y72. 约束条件装箱过程中必须遵循的各约束如下：厚度约束：每辆平板车有10.2m长的地方来装包装箱可以得0.487x1 + 0.520x2 + 0.613x3 + 0.720x4 + 0.487x5 + 0.520x6 + 0.640x710.200.487y1 + 0.520y2 + 0.613y3 + 0.720y4 + 0.487y5 + 0.520y6 + 0.640y710.20重量约束：每辆平板车的载重为40t可以得：2x1 +3x2 + x3 + 0.5x4 + 4x5 + 2x6 + x7 402y1 + 3y2 + y3

9、 + 0.5y4 + 4y5 + 2y6 + y7 40特殊约束：C5 C6 C7所占空间厚度不能超过302.7cm可以得:0.487x5 + 0.520x6 + 0.640x73.0270.487y5 + 0.520y6 + 0.640y73.027箱数约束：x1 + y1 8x2+y2 7x3 + y3 9x4+ y4 6x5+ y5 6x6+ y6 4x7+ y7 8均为=0的整数。另外,X1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,y1,y2,y3,y4,y5,y6,y75.2运用数学软件对模型求解1. 线性模型总的表示:maxZ 0.487x1 + 0.520x2 + 0.613x3 +

10、 0.720x4 + 0.487x5 + 0.520x6 + 0.640x7+ 0.487y1 + 0.520y2 + 0.613y3 + 0.720y4 + 0.487y5 + 0.520y6 + 0.640y7s.t. 0.487x1+ 0.520x2+0.613x3+0.720x4 + 0.487x5 + 0.520x6 + 0.640x710.200.487y1+ 0.520y2+0.613y3+0.720y4 + 0.487y5 + 0.520y6 + 0.640y710.202x1 + 3x2 + x3 + 0.5x4 + 4x5 + 2x6 + x7402y1 + 3y2 + y

11、3 + 0.5y4 + 4y5 + 2y6 + y7400.487x5 + 0.520x6 + 0.640x73.0270.487y5 + 0.520y6 + 0.640y73.027x1 + y1 8 x2 + y2 7 x3 + y3 9 x4 + y4 6 x5 + y5 6 x6 + y6 4 x7 + y7 8x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7 02. 用matlab对模型求解对于此模型，针对目标函数，我们利用matlab软件确定其最优解。可得一组最优解：4,3,8,020,1,2,4,0,6,1,2,2检验可

12、得：A B车的总厚度为2021.7cm。3. 用lingo对模型求解对于此模型，针对目标函数，我们利用matlab软件确定其最优解。可得两组最优解：最优解一VariableValueReduced CostX16.000000-0.4870000X22.000000-0.5200000X36.000000-0.6130000X40.000000-0.7200000X50.000000-0.4870000X60.000000-0.5200000X74.000000-0.6400000Y12.000000-0.4870000Y23.000000-0.5200000Y32.000000-0.6130

13、000Y45.000000-0.7200000Y50.000000-0.4870000最优解二VariableY63.000000Y72.000000-0.5200000-0.6400000ValueReduced CostX10.000000 -0.4870000X25.000000-0.5200000X32.000000 -0.6130000X45.000000-0.7200000X52.000000 -0.4870000X61.000000 -0.5200000X72.000000 -0.6400000Y16.000000 -0.4870000Y22.000000 -0.5200000Y

14、36.000000 -0.6130000Y40.000000 -0.7200000Y50.000000 -0.4870000Y60.000000 -0.5200000Y74.000000-0.6400000首先，比照matlab和lingo的运算结果，可以很容易地得出lingo所得的最优解更 合理两车总厚度为2040cm远大于matlab的结果。其次，比照两组最优解：x1x2x3x4x5x6x7y1y2y3y4y5y6y7TaTbTWaWb|Wa-Wb|2325032626000410201020204025.5282.50525212626000410201020204031.5283.5可

15、以看出，虽然两组都是最优解，但是第二种方法算出来的总载重更大些。3.进一步分析分析两组最优解的具体数据，两组数据对C1和C5两种货箱产生了替换。再 对货箱尺寸进行分析后，我们发现C1,C5以与C2,C6货箱的厚度分别相等，如果 C1,C5或C2,C6货箱之间相互替换，不影响厚度而只对重量和对于 C5,C6,C7货 箱的长度有影响。1. 对A车因为x5,x6均为0,假设是减少x2，x3来增大x5，x6,那么C5, C6, C7包装箱 的厚度总和就大于302.7cm。故A车不能互换，只能为6， 2， 6， 0， 0， 0， 42. 对B车C2->C6 不可以，因为C5-C7超出302.7 ；

16、 C6->C2不可以，因为C2已经到达 最多7件。所以我们经过分析，枚举出了 6组符合要求的最优解筛选后的6组情况如下表所列:X1X2X3X4X5X6X7Y1Y2Y3Y4Y5Y6Y7总载重tC5+C6+C7厚度cm2325032626000423.52.840525212626000429.52.7741425122626000426.52.8071525112626000427.52.2872425022626000424.52.322525012626000425.51.8六、模型的评价与改良6.1模型的评价基于对问题的分析与理解，建立了整数线性规划模型，并使用lingo软件对该模

17、型进行求解。模型的优点由于lingo软件功能强大，计算机运行的时间大大缩短。我们将题目给出的 约束条件很直观地反映出来，便于理解。并且利用多种方法通过该模型得到问题 的最优解，再次说明了该模型的正确性和适用性。模型的缺点采用lingo语言，在变量较多而且存在相同参数的时候，lingo只能得到一 组或少量根底解，不够全面。这时根据题目具体数据分析的作用就更显得重要， 不能盲目的运用计算机求解。七、模型的推广本文只考虑了货车中所浪费的空间最小，没有考虑货车的载重量经济利益等其他 因素。所以再日后模型推广上可以将平板车的装载重量， 经济利益等因素引进来， 从而由单目标规划推广到多目标规划上， 使我们

18、的模型更符合实际需求，更具有 经济效益。当目标函数变为运输 模型那么需要更进一步当然，本文的模型还只是针对一种确知的目标函数而定的。 本钱最小化而需要进行复杂的不确定的多因素动态规划时, 的深化与改良。八、参考文献1静、但琦等，?数学建模与数学实验?，：高等教育，2021。2焕彬、库在强等，?数学模型与实验?，：科学技术，2021。3戴明强 卫军 鹏飞，数学模型与其应用，第一期，94-121页，2007年九、附录附录一Max0.487x1+0.52x2+0.613x3+0.72x4+0.487x5+0.52x6+0.64x7+0.487y1+0.52y2+0.613y3+0.72y4+0.487y5+0.52y6+0.64y7St0.487x1+0.52x2+0.613x3+0.72x4+0.487x5+0.52x6+0.64x7<=10.22x1+3x2+1x3+0.5x4+4x5+2x6+1x7<=400.487x5+0.52x6+0.64x7<=3.0270.487y1+0.52y2+0.613y3+0.72y4+0.487y5+0.52y6+0.64y7<=10.22y1+3y2+1y3+0.5y4+4