物理用数学初步

1、物理用数学初步物理用数学初步李晟李晟, 张骏张骏 上海交通大学物理系上海交通大学物理系2014.9微积分微积分3面临的问题面临的问题物理学研究物体的运动, 大家知道物体的瞬间速度怎么算？(比如:x=const*t, x=const*t2, .)学过牛顿力学的同学都知道加速度, 那么物体的瞬间加速度怎么算？(比如: v=const*t, v=const*t2, .)大家知道如何在匀(加)速运动中求物体位置随时间的变化, 那么在一般情况下, 如何求物体在某时间间隔内跑了多远？(比如: v=const, v=const*t, v=const*t2, .)在一般的加/减速运动中, 物体在某时间间隔内速

2、度变化了多少？(比如: a=const, a=const*t, .)4微分微分/导数导数5面临的问题面临的问题物理学研究物体的运动, 大家知道物体的瞬间速度怎么算？(比如:x=const*t, x=const*t2, .)学过牛顿力学的同学都知道加速度, 那么物体的瞬间加速度怎么算？(比如: v=const*t, v=const*t2, .)6微分微分: 无穷小之比无穷小之比 速度：位移变量与时间之比加速度：速度变量与时间之比)()()(lim0tdtdxttxttxtvt微分)()()(lim0tdtdvttvttvtat70/0 存在吗存在吗?0/0在很多情况下是可算的 2321xxf x

3、x 1lim?xf x 23213211xxxxf xxx1321xxx11lim11xxx 11lim32 |5xxf xx例0?08无穷小的等级无穷小的等级如 x 为无穷小，则 xn 为n阶无穷小如 y/x 为有限大小，则两则为同阶无穷小0limxyccx 为有限大小11000limlimlimnnnxxxyyycyxx 011nn9例子例子 瞬时速度举例:标记: atttttatatttttatatttattxttxtvattxtttt222)()()(20222022002limlimlimlimxdtdxtv)(10微分的几何解释微分的几何解释 微分/导数为曲线的斜率（切线与横轴夹角

4、的正切）tanyxyx000limtanxyx xy f x11二阶及高阶导数二阶及高阶导数(附加内容附加内容)二阶导数：导数的导数22d yddydyydxdxdxdx22drdvd rvadtdtdt12积分积分13面临的问题面临的问题大家知道如何在匀(加)速运动中求物体位置随时间的变化, 那么在一般情况下, 如何求物体在某时间间隔内跑了多远？(比如: v=const, v=const*t, v=const*t2, .)在一般的加/减速运动中, 物体在某时间间隔内速度变化了多少？(比如: a=const, a=const*t, .)14积分积分: 无穷小之和无穷小之和位移：速度与时间之积/

5、 0010)()(lim)()()()2()2(3)()(2)()(ttttitNidttvttitvtxttxttitvtxtNtxtttvttxttxtttvttxttxttvtxttx积分15定积分定积分跑了多远？tv vv t0tftt10nisv ti tt 1t2tnt 10niiv tt0ftttn 100limninitsv tt 0fttvdt v t16无穷多的无穷小之和存在吗无穷多的无穷小之和存在吗?公元前公元前5世纪，芝诺发表态了著名的阿基里斯和乌龟赛跑悖论：他提出让乌龟世纪，芝诺发表态了著名的阿基里斯和乌龟赛跑悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面在阿基里斯前面1000米处

6、开始，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的米处开始，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当倍。当比赛比赛 开始后，若阿基里斯跑了开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先，此时乌龟便领先他他100米；当阿基里斯跑完下一个米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为米时，他所用的时间为t/10,乌龟仍然前乌龟仍然前 于他于他10米。当阿基里斯跑完下一个米。当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然，乌龟仍然前于他前于他1米米 芝诺解说，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但决不可能追上它。芝诺解说，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但决不可能追上它。 极限极限 1 1 11,.2 4 801111.2482tt17如何算积分如何算积分 iffxx 10limnbianifx dxfxx 10limiiixxxfxx 110limniinixxxx 110limniinixx 0nxxba18不定积分不定积分