第1章 1.3.2　极大值与极小值

1、.1.3.2极大值与极小值1会求函数的极大值与极小值重点2掌握函数极大小值与导数的关系难点3理解函数在某点获得极值的充分条件和必要条件易错点根底·初探教材整理1函数极大小值的概念阅读教材P30上半部分，完成以下问题函数极大小值的概念设函数fx在x1附近有定义，且fx1比它附近点的函数值都要大，我们称fx1为函数fx的一个极大值；设函数fx在x2附近有定义，且fx2比它附近点的函数值都要小，我们称fx2为函数fx的一个极小值函数的极大值、极小值统称为函数的极值判断正误：1函数fxx3ax2x1必有2个极值2在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合3函数fx有极值【答案】123

2、5;教材整理2函数的极值与导数的关系阅读教材P30下半部分，完成以下问题1极大值与导数之间的关系xx1左侧x1x1右侧fxfx>0fx0fx<0fx增极大值fx1减2极小值与导数之间的关系xx2左侧x2x2右侧fxfx<0fx0fx>0fx减极小值fx2增函数fx的定义域为开区间 a，b，导函数fx在a，b内的图象如图1­3­2所示，那么函数fx在开区间a，b内有极小值点_个图1­3­2【解析】由图象可知：导函数fx0有4个，但只有b附近的根满足根的左边为负值，右边为正值，故函数fx只有一个极值点【答案】1质疑·手记预习

3、完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型求函数的极值求以下函数的极值1fxx22x1；2fxx36；3fx|x|.【自主解答】1fx2x2，令fx0，解得x1.因为当x<1时，fx<0，当x>1时，fx>0，所以函数在x1处有极小值，且y极小值2.2fxx32x2xxx22x1xx12.令fx0，解得x10，x21.所以当x变化时，fx，fx的变化情况如下表：x，000,111，fx00fx单调递减极小值单调递增无极值单调递增所以当x0时，函数获得极小值，且y极小值6.3fx|x|显然函数fx|x

4、|在x0处不可导，当x>0时，fxx1>0，函数fx|x|在0，内单调递增；当x<0时，fxx1<0，函数fx|x|在，0内单调递减故当x0时，函数获得极小值，且y极小值0.1讨论函数的性质要注意定义域优先的原那么2极值点与导数的关系1可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点点x0是可导函数fx在区间a，b内的极值点的充要条件：fx00；点x0两侧fx的符号不同2不可导的点可能是极值点如本例3中x0点，也可能不是极值点如y，在x0处不可导，在x0处也取不到极值，所以函数的极值点可能是fx0的根，也可能是不可导点再练一题1函数fxx22ln x，

5、那么fx的极小值是_. 【导学号：01580013】【解析】fx2x，且函数定义域为0，令fx0，得x1或x1舍去，当x0,1时，fx<0，当x1，时，fx>0，当x1时，函数有极小值，极小值为f11.【答案】1利用函数的极值求参数fxx3ax2bxc在x1与x时都获得极值1求a，b的值；2假设f1，求fx的单调区间和极值【精彩点拨】1求导函数fx，那么由x1和x是fx0的两根及根与系数的关系求出a，b.2由f1求出c，再列表求解【自主解答】1fx3x22axb，令fx0，由题设知x1与x为fx0的解a，b2.2由1知fxx3x22xc，由f112c，得c1.fxx3x22x1.f

6、x3x2x2.当x变化时，fx，fx的变化情况如下表：x11，fx00fx单调递增单调递减单调递增fx的递增区间为和1，递减区间为.当x时，fx有极大值为f；当x1时，fx有极小值为f1.函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：1根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；2因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性再练一题2函数fxx3m3x2m6xxR，m为常数，在区间1，内有两个极值点，务实数m的取值范围【解】fxx2m3xm6.因为函数fx在1，内有两个极值点，所以导数fxx2m3xm6在1，内与x轴有

7、两个不同的交点，如下图所以解得m>3.故实数m的取值范围是3，探究共研型函数极值的综合应用探究1导数为0的点都是极值点吗？【提示】不一定，如fxx3，f00，但x0不是fxx3的极值点所以，当fx00时，要判断xx0是否为fx的极值点，还要看fx在x0两侧的符号是否相反探究2函数fx的定义域为开区间a，b，导函数fx在a，b内的图象如图1­3­3所示，那么函数fx在开区间a，b内有几个极小值点？图1­3­3【提示】一个x1，x2，x3是极值点，其中x2是极小值点x1，x3是极大值点探究3函数yfx在给定区间a，b内一定有极值点吗？【提示】不一定，假

8、设函数yfx在区间a，b内是单调函数，就没有极值点函数fxx33xaa为实数，假设方程fx0有三个不同实根，务实数a的取值范围【精彩点拨】求出函数的极值，要使fx0有三个不同实根，那么应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围【自主解答】令fx3x233x1x10，解得x11，x21.当x<1时，fx>0；当1<x<1时，fx<0；当x>1时，fx>0.所以当x1时，fx有极大值f12a；当x1时，fx有极小值f12a.因为方程fx0有三个不同实根，所以yfx的图象与x轴有三个交点，图略由应有解得2<a<2，故实数a的取值范围是2

9、,2方程fx0的根就是函数yfx的零点，是函数图象与x轴交点的横坐标，研究方程的根的问题可以转化为函数图象与x轴交点的问题我们可以根据函数图象在坐标轴中的位置不同，结合极值的大小确定参数的范围再练一题3上例中，假设方程fx0恰有两个根，那么实数a的值如何求解？【解】由例题，知函数的极大值f12a，极小值f12a，假设fx0恰有两个根，那么有2a0，或2a0，所以a2或a2.构建·体系1假设x2与x4是函数fxx3ax2bx的两个极值点，那么a_，b_.【解析】fx3x22axb两零点为2,4，【答案】3242假设函数fx在x1处取极值，那么a_.【解析】由fx0，x22xa0，x1，又fx在x1处取极值，x1是x22xa0的根，a3.【答案】33设aR，假设函数yexaxxR有大于零的极值点，那么a的取值范围为_【答案】，14函数fxx33ax23a2x1既有极大值又有极小值，那么实数a的取值范围是_【解析】fx3x26ax3a2，函数fx既有极大值又有极小值，方程fx0有两个不相等的实根，36a236a20，即a2a20，解得a2或a1.【