信号与线性系统题解第二章

1、第二章习题答案收集自网络2.1 连续时间信号x(t)如图P2.1(a)所示。试画出以下各信号的波形图，并加以标注。(a) x(t 2)(b) x(1 t)(c) x(2t 2)(2)根据图P2.1(b)所示的信号h(t)，试画出以下各信号的波形图，并加以标注。(a) h(t 3)(b) h(| 2)(c) h(1 2t) 根据图P2.1(a)和(b)所示的x(t)和h(t)，画出以下各信号的波形图，并加以标注。 x(t)h( t)(b) x(1 t)h(t 1)(c) x(2?h(t 4)Q)tb)图 P2.1解：(1)各信号波形如以下图所示：2-1Z1t10 12 3Q2|*x(t 2)21

2、(a)0A x(1 t)A x(2t 2)021 12/I'(b)(c)r 1J12/5 4 3 2 10 02 4 6 8厂20 1 1 92 2(2)各信号波形如以下图所示:tt(c)(c)2.2 信号x(52t)的波形图如图P2.2所示,试画出x(t)的波形图，并加以标注。解：波形如以下图所示:H(52t)图 P2.2x(52t) 1t1严t)IL0132532 20 1 2 3 4 5 6_2.3(1)离散时间信号 x(n)如图P2.3(a)所示，试画出以下各信号的波形图，并加以标注。x(4n)(b)x(2 n1)?(n)x(-), n(c)30,其他n对图P2.3(b)所示的

3、信号h(n)，试画出以下个信号的波形，并加以标注。(a) h(2 n)(b) h(n 2)(c) h(n 2) h( n 1) 根据图P2.3(a)和(b)所示的x(n)和h(n)，画出以下各信号的波形图，并加以标注。x(n2)h(12n)(b)x(1n)h( n4)(c)x(n1)h( n3)111 <* * 1110 12 3 4解:(1)(a)(b)各信号波形图如以下图所示:1/2图 P2.3x(4 n)2 10 12 3 4(a)4 X>)0 12 32 10 12 3(c)(b)各信号波形图如以下图所示:(I3/2Aa+2)23/21/23 4 5 6 - n(a)-2-

4、1 0 1 3 #J 沁 -1¥*6-54；3才 I n I 1 -2-1 01 2« _1厂乜(b)6T T T T T TT T3 -W *5 4 3 2 1 01 212C1*2h(n 2) h(1 n)3各信号波形如以下图所示:x(n 2)h(1 2n) 3/2x(1 n)h (n 4)23/21 “1/.2* 1 21。1 -1/ 21/2 3/4(a)1/410 12 3(b)x(n 1)h( n 3)1/2UL-0 12 3121/214 5 6 73/2(c)2.4(b)图 P2.4(a)解:(b)2Zl0d x(t)(d)n'1Xe(n)1卜 f

5、4卜i1 x°(n)一-n4321一 n2 1 ()12 3 4* * 012 3 4"1t 1* 4f12.5 X(n)如图P2.5所示，设:yi(n)y2( n)x(2 n)x( n/2), n偶0, n奇画出yi(n)和 y(n)的波形图。Ax( n)图 P2.5解:n4it*>2旳3)24pK4ir11肚* <I121。J£w_r R ii5-42 0216s2.6判断以下说法是否正确？如果正确，那么求出每个信号基波周期之前的关系，如果不正确，那么举出一个反例。(1) (a)假设x(t)是周期的，那么x(2t)也是周期的。(b) 假设x(2t)

6、是周期的，贝U x(t)也是周期的。(c) 假设x(t)是周期的，贝U x(t/2)也是周期的。(d) 假设x(t/2)是周期的，贝U x(t)也是周期的。x(n/2), n偶(2) 定义 yi(n) x(2 n), y2(n)六0, n可(a) 假设x(n)是周期的，贝U y1(n)也是周期的。(b) 假设yi(n)是周期的，那么x(n)也是周期的。(c) 假设x(n)是周期的，那么y2(n)也是周期的。(d) 假设y2(n)是周期的，那么x(n)也是周期的。解：(1)正确。假设x(t)的周期为T,那么x(2t)的周期为T/2。(b) 正确。假设x(2t)的周期为T，那么x(t)的周期为2T

7、。(c) 正确。假设x(t)的周期为T，那么x(t/2)的周期为2T。(d) 正确。假设x(t/2)的周期为T ,那么x(t)的周期为T/2。x(n /2),n偶(2)由 yi(n)x(2n), y2(n)0, n可(a) 正确。设x(n)的周期为N。如果N为偶数，那么(n)的周期为N/2 ；如果N为奇数，那么必须有2No 2N ,才能保证周期性，此时yi(n)的周期为N。 N。(b) 不正确。设 x(n) g(n) h(n),其中 g(n) sin -，对所有 n ,n奇h(n) 3显然x(n)是非周期的，但 (n)是周期的。0, n偶(c) 正确。假设x(n)的周期为N，那么y2(n)的周

8、期为2N。(d) 正确。假设y2(n)的周期为N，贝U N只能是偶数。x(n)的周期为N/2。2.7判断以下各信号是否是周期信号，如果是周期信号，求出它的基波周期。x(t)2cos(3t/4)(b)x(n)cos(8 n/72)(c)x(t)ej( t o(d)x(n)ej(n/8 )(e)x(n)(n 3m)m 0(n 1 3m)(f)x(t)cos2 t u(t)(g) x(n) cos(n/4)cos( n/4)(h)x(t)Ev cos2 t u(t)(i) x(t) Ev cos(2t/4)u(t)(j)x(n)2cos( n/4) sin( n/8) 2sin( n/2/6)解：(

9、a)x(t)2cos(3t/4)，2周期信号，T。3(b)x(n)cos(8 n/72)，8周期信号，107N7(c)x(t)ej( t °，周期信号,T 2。(d)x(n)ej(n/8 )，非周期信号，因为。/2是无理数。(e) x(n)(nm3m)(n 13m)，设周期为N，那么有x(n N)m(n N3m) (nN 1 3m)，令 N 3k，( k 为整数)那么 x(n 3k)mn3(m k)n 13(m k)，令 m k l 那么有x(n 3k)mn 3ln 13l显然，x(n)是周期信号，其周期为N 3。(f) x(t)cos2 t u(t)，非周期信号。(g) . cos

10、n是非周期的，x(n)是非周期信号。41(h) x(t) Ev cos2 t u(t) (cos2 t) u(t) (cos2 t) u( t),周期的，周期 T 1。(i) x(t) Ev cos(2 t /4) u(t),非周期信号。(j) x(n)是周期信号，其周期就是cos 、in 和sin 的公共周期。4826周期为N 16。2.8 (a)设x(t)和y(t)都是周期信号，其基波周期分别为T1和T2。在什么条件下，和式x(t) y(t)是周期的？如果该信号是周期的，它的基波周期是什么？(b)设x(n)和y(n)都是周期信号，其基波周期分别为 弘和N?。在什么条件下，和式 x(n) y

11、(n)是周期的？如果该信号是周期的，它的基波周期是什么？解：(a) : x(t)， y(t)是周期的，x(t kT1)x(t) ， y(t迁)y(t)令f(t) x(t) y(t)，欲使f(t)是周期的，必须有s(tTJx(t To)y(tTo)x(t) y(t)f(t)T,lT。 kT, IT?即一1 一，其中k,l为整数。T2k这说明：只要x(t)和y(t)的周期之比一1是有理数，T2x(t)y(t)就疋疋周期的。其基波周期T0是,乙的最小公倍数。(b)x(n)和y(n)是周期的，x(nNi) x(n), y(n N2) y(n)令f(n)x(n) y(n)，欲使f(n)是周期的，必须有N

12、o kN, mN2(k,m为整数)即N,1m N1gcd(N1, N2)N,N2kN2gcd(N1, N2)N2.n；与N2无公因子，mn1, k N2N0 N2NN1N2/gcd(N1,N2)2.9画出以下各信号的波形图：(a) x(t) (2 et)u(t)(b) x(t) e1 cos10 t u(t 1) u(t 2)2.10解:2(c) x(t) u(t 9)2(d) x(t) (t 4)图 PS2.9，求:信号x(t)sintu t0(c)d2x(t)(b) X2(t)tx( )dh)f (-20 2(d)(a)捲dt2 x(t)解:dx(t) dtcost utu tsi ntt

13、tcost utu t2d x(t) dt2si ntu tu tcostttsi ntu tu tt|cos0t|cossi ntu tu tttd2M)昭x(t)x(t)(t) (t)x(t) sint u t u t(b) X2(t)x( )d2.11计算以下各积分：(a)si nt(t)dt(c)(t3t2)(t 1)dt(e)e()dt0t 01 cost 0 t2 t(b) e t (t 2)dt(d) u(t ?(t to)dt1 2(f)1 (t 4)dt解：(b)sint (t )dt sin 12 2et (t 2)dt e ( 2)e2(t to)dt u(to殳)(c)

14、同(b), 4(d) u(t )(e) e ( )dt e01(f) 02.12根据本章的讨论，一个系统可能是或者不是：瞬时的；时不变的；线性的； 因果的；稳定的。对以下各方程描述的每个系统，判断这些性质中哪些成立，哪些 不成立，说明理由。(a)y(t)ex(t)(b)y(n)x(n)x(n1)(c)y(n)x(n2)2x( n 17)(d)y(t)x(t 1)x(1 t)(e)y(t)x(t)sin 6t(f)y(n)nx(n)0,t 00,x(t) 0(g)y(t)(h) y(t)x(t)x(t 100),t0x(t)x(t 100), x(t) 0(i)y(n)x(2 n)(j)y(t)

15、 x(t/2)解：无记忆。输出只决定于当时的输入。非线性。： ° eX't)e") y1(t)y2(t) y"t) y2(t)时不变。：ex(t to)y(t t0)因果。-无记忆系统必然是因果的。稳定。丁 当 |x(t)|M 时，|y(t)| |exex(t)eM。(b) 记忆。：输出不只决定于当时的输入。时不变。x(n n0)x(n n0 1) y(n n0)。因果。：输出只与当时和以前的输入有关。稳定。当x(n)有界时，x(n 1)也有界，从而y(n)必有界。(c) 记忆。1 y x( 1) 2x( 16)，输出与以前的输入有关。时不变。x(nn0)

16、x(nn02)2x(nn017) y(nn0)。?线性。T系统满足可加性和齐次性。因果。：输出只和以前的输入有关。稳定。：当x(n)有界时，y(n)定有界。(d) 记忆。一y(0) x( 1)x(1)，输出与以前和以后的输入有关。时变。-令y(t)ydt) y2(t)，其中y/t) x(t 1)是时不变的，而y2(t)x(1 t)是时变系统整个系统是时变的。线性。t系统满足可加性和齐次性。非因果。y2(t)x(1 t)是非因果的。稳定。x(t)有界时,x(t 1)和x(1 t)都有界，从而y(t)必有界。(e) 无记忆。：y(t)只与当时的输入有关。时变。一 (sin6t)x(t t0) y(

17、t t0)sin6(t t0) x(t t0)线性。一系统满足可加性和齐次性。因果。一无记忆系统必定是因果的。稳定。：sin6t有界，当x(t)有界时，y(t)必有界。(f) 无记忆。一 y(n)只与当时的输入有关。时变。- nx(n n0)y(n n0) (n n0)x(n n0)。线性。系统满足可加性和齐次性。因果。：无记忆系统必定是因果的。不稳定。x(n)有界但n 时，y(n) 。(g) 记忆。：y(0)x(0) x( 100)，输出与以前的输入有关。时变。-输入为x(t T)时，相应的输出为W(t) 0，t 0x(t T) x(t T 100), t 00, t T而 y(t T)显然

18、 y(t T) w(t)x(t T) x(t T 100), t T线性。：系统满足可加性和齐次性。因果。：y(t)只和当时以及以前的输入有关。(h) 记忆。稳定。一，x(t)有界时，x(t 100)也有界，从而y(t)必有界。x(t) 0时，y(t)不仅与当时的输入而且与以前的输入有关。,x(t T) 0w(t)y(t T)时不变。一输入为x(t T)时，相应的输出为x(t T) x(t T 100), x(t T) 0非线性。假设 x1(t)0, x2(t)0, x3(t)x-i(t) x2(t)0那么有 y1(t) 0, y2(t) X2(t) X2(t 100), y3(t) 0显然，

19、y3(t)y1(t)y2(t)，系统不满足可加性。因果。一 y(t)只和当时以及以前的输入有关。稳定。x(t)有界时，x(t 100)也有界，从而y(t)必有界。(i) 记忆。一 y( 1) x( 2)说明输出与以前的输入有关。时变。：输入为x(n n0)时，输出是x(n n0)的偶数位。显然，输出不等于 y(n n°)。线性。系统满足可加性和齐次性。非因果。：y(1)x(2)，说明输出与以后的输入有关。稳定。：x(n)有界时，x(2n)也有界，从而y(n)必有界。1(j) 记忆。一 y( 1) x()说明输出与以后的输入有关。时变。：输入为x(t t0)时，系统的输出为t1z(t)

20、 x(； to) X ：(t 2to)y(t 2to)y(t to)22线性。：系统满足可加性和齐次性。非因果。y(t)与以后的输入有关。稳定。：x(t)有界时，x(t)也有界，从而y(t)必有界。2.13判断以下每个系统是否是可逆的。如果是可逆的，那么写出其逆系统；如果不是，那么找出使该系统具有相同输出的两个输入信号。(a)y(t)x(t 4)(b)y(t)cos x(t)(c)y(n)nx(n)(d)y(t)tx( )d(e)y(n)x(n )x( n 1)(f)y(n)x(1 n)(g)y(t)dx(t) dt(h)y(t)x(2t)(i)y(n)x(2 n)(j)y(n)x(n/2),

21、0,n(禺n奇解：系统可逆。其逆系统为y(t) x(t4)。(b) 系统不可逆。一当Xi(t)x(t) 2k时，系统的输出为y1(t) cos x1(t)cos x(t) y(t)。这说明系统的输入与输出不是单纯对应的。(c)系统不可逆。：当输入为(n)或2 (n)时，系统的输出都为零。(d)系统可逆。其逆系统为y(t)(e)系统不可逆。：当输入为(n)或(n1)时，系统的输出都为零。(f)系统可逆。其逆系统为 y(n)x(1 n)。(g)系统不可逆。：当x(t)为任意常数时，y(t)均为零。(h)系统可逆。其逆系统为y(t)x(2)。(i)系统不可逆。-只要x(n)和X2(n)的偶数位相同，

22、就会产生相同的输出。(j)系统可逆。其逆系统为 y(n)x(2 n)。2.14对图P2.14(a)所示的系统(图中开平方运算产生正的平方根)(a) 求出x(t)和y(t)之间的函数关系。(b) 判断该系统的线性和时不变性。(c) 当输入x(t)如图P2.14(b)所示时，响应y(t)是什么?解：(a)由图P2.14可得出y(t)x2(t) x2(t 1) 2x(t)x(t 1) x(t) x(t 1)(b)由(a)知，系统的输入输出不满足可加性，故系统是非线性的。由(a)可看出，当输入为x(t to)时，输出为y(t to)，故该系统是时不变的。(d)由 可得出响应y(t)如图PS2.14所示

23、。图 PS2.142.15判断以下说法是否正确，并说明理由：(a) 两个线性时不变系统的级联仍然是线性时不变系统。(b) 两个非线性系统的级联仍然是非线性系统。解: (a)结论正确。设两线性时不变系统如图PS2.15所示级联。当x(t) ax1(t) bx2(t)时, 那么有w(t) aw1 (t) bw2(t),于是y(t) ay1(t) by2(t),因此整个系统是线性的。假设输入为x(t to)，那么由于时不变性可知系统1的输出为w(t to)，这正是系统2的输入，因此总输出为y(t t0)。即整个系统是时不变的。图 PS2.15(b)结论不对。如系统1为w(t) x(t) 3t，系统2

24、为y(t) w(t) 3t。虽然两系统都不是线性的，但它们的级联y(t) x(t)却是线性的。2.16对图P2.16所示的级联系统，其3个子系统的输入-输出方程由以下各式给出:系统 1： y(n) x( n)系统 2： y(n) ax(n 1) bx(n) cx(n 1)系统 3： y(n) x( n)其中：a, b,c都是实数。(a) 求整个互联系统的输入-输出关系；(b) 当a, b,c满足什么条件时，整个系统是线性时不变的；(c) 当a, b,c满足什么条件时，总的输入-输出关系与系统2相同；(d) 当a,b,c满足什么条件时，整个系统是因果系统。嗣A系统1系统2系统3图 P2.16解：

25、(a) y(n) z( n) aw( n 1) bw( n) cw( n 1)ax(n 1) bx( n) cx(n 1)(b) 对任意实数a,b,c，整个系统都是 LTI系统。(c) 当a c时，总的输入输出关系与系统2相同。(d) 当a 0时，整个系统是因果的。2.17某线性时不变系统对图P2.17(a)所示信号x1(t)的响应是图P2.17(b)所示的yjt)。分别确定该系统对图P2.17(c)和(d)所示输入X2(t)和X3(t)的响应y2(t)和Xi(t)012 t(a)(b)M(t)/3 (t)202(c)图 P2.17解：(b)* X2(t)为(t)X&2)y2(t)%(t)(d)y't 2)如图 PS2.17(a)所示。2.18 (a)(b)如果该系统的输入为图 P2.18(b)所示的x(n)，求系y3(n)如图 P2.18(a)所示。统的输出y(n)。如果一个离散时间线性时不变系统对图P2.18(a)所示的输入x,n)有响应y,n)，那么该系统对 x2(n)和x3(n)的响应是什么？i xjn)1 yi( n) X2 (n)1"0 12 320 1A ya(n)"(n)1TJ(a)T(b) 2图 P2.18解：a申 xn3x-i (n)2x2( n) 2x3( n)y(n)3