弹性力学讲义

1、by Chen ping 本章讨论平面问题的直角坐标解答本章讨论平面问题的直角坐标解答, ,研究怎样用研究怎样用（应力函数取多项式形式或级数形式（应力函数取多项式形式或级数形式等等）解答一些平面问题）解答一些平面问题, ,讨论的对象有讨论的对象有等问题等问题A A 静力学方程式静力学方程式00yxyyxxyxfxyfyx2. 边界条件 yxyyxyxxflmfml1. 平衡微分方程式B B 几何方程几何方程yuxvyvxuxyyx,2. 相容方程 用应变表示的相用应变表示的相容方程容方程 yxxyxyyx222221. 位移与应变关系常体力02222yxyx用应力表示的相容方程平面平面应应力力

2、情况情况 ) ) （平面应变情况平面应变情况）yfxfyxyfxfyxyxyxyxyx11122222222C C 物理方程物理方程1. 平面应力问题 xyxyyxxxyyEEE)1 (21,12. 平面应变问题 )1(1)1 ( 2),1(122xyyxyxyyxxEEE变换公式E21E1D D 由应力函数求解时所用公式由应力函数求解时所用公式 024422244yyxx04 yxyfxxfyxyyyxx22222 yxyyxyxxflmfml应力函数表示的相容方程为 04 yxyfxxfyxyyyxx22222 yxyyxyxxflmfml 就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数就是

3、先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数； 再再求出应力分量求出应力分量； 然后根据应力边界条件来考察然后根据应力边界条件来考察, , 在各种形状的弹性体上在各种形状的弹性体上, , 这些这些应力分量对应于什么样的面力应力分量对应于什么样的面力, , 从而得知所设定的应力函数可从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题。以解决什么问题。 根据弹性体的边界形状和受力情况根据弹性体的边界形状和受力情况, , 假设假设部分部分或或全部全部应力应力分量为某种相对简单些的函数分量为某种相对简单些的函数, , 从而推出应力函数从而推出应力函数； 应力函数是否满足相容方程应力函数是否满足相容方程, , 以及原

4、来所假设的应力分量以及原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的和由这个应力函数求出的, ,其余其余应力分量是否满足应力边界应力分量是否满足应力边界条件和位移单值条件。条件和位移单值条件。 如果相容方程和各方面的条件都能满足如果相容方程和各方面的条件都能满足, , 自然也就得出正自然也就得出正确的解答确的解答；如果某一方面不能满足如果某一方面不能满足, , 就要另作假设就要另作假设, , 重新考重新考察。察。（是针对是针对实际实际问题问题来来求解求解）0yxff3-1 用用逆解法逆解法求出几个简单平面问题的多项式解答求出几个简单平面问题的多项式解答024422444yyxxyxxyxyyx22

5、222yxyyxyxxflmfml假定体力可以不计假定体力可以不计 cybxa取一次式取一次式 0y0yxxy0 x0yxff相容方程总能满足相容方程总能满足！ 线性应力函数对应于线性应力函数对应于无无体力、体力、无无面力、面力、无无应力的状态应力的状态把任何平面问题的应力函数加把任何平面问题的应力函数加上一个线性函数上一个线性函数, ,并不影响应力并不影响应力 22yx22xyyxxy2用用逆解法逆解法求出几个简单平面问题的多项式解答求出几个简单平面问题的多项式解答cybxayx),(取二次式取二次式 22cybxyax相容方程也总能满相容方程也总能满足！足！考察该式中每一项所能解决的问题考

6、察该式中每一项所能解决的问题 2ax ay20yxxy0 x能解决矩形板在能解决矩形板在y方向受均布拉力方向受均布拉力( (设设a0) )或均或均布压力布压力( (设设a0)0)或均布压力或均布压力( (设设c0)c0)的问题。的问题。 取取三三次式次式 3ay 0y0yxxyayx6能解决矩形梁受能解决矩形梁受纯弯曲的问题纯弯曲的问题。 相容方程总能满足相容方程总能满足！ 用用逆解法逆解法求出几个简单平面问题的多项式解答求出几个简单平面问题的多项式解答3-2 矩矩形截面的梁形截面的梁它的宽度远小于高度和长度它的宽度远小于高度和长度( (近似的近似的),),或或者远大于高度和长度者远大于高度和

7、长度( (近似的近似的),),在两端受相反的力偶而弯曲在两端受相反的力偶而弯曲, ,体力体力可以不计。为了方便可以不计。为了方便, ,取单位宽度的梁来考察取单位宽度的梁来考察。 3ay 0y0yxxyayx6边界条件边界条件 在下边和上边在下边和上边, ,都没有面力都没有面力 02hyy 02hyyx取取三三次式次式 lyMh/2xh/20Myh1在左端和右端在左端和右端, , 没有铅没有铅直面力直面力, , 分别要求分别要求边界条件边界条件 00 xxy0lxxy在左端和右端在左端和右端, ,水平面水平面力应该合成为力偶力应该合成为力偶, ,而而力偶的矩为力偶的矩为M,M,即即要求要求022

8、hhdyxMydyhhx220622hhydyaMdyyahh222632hMa yhMx3123-2 lyMh/2xh/20Myh1梁截面的惯矩是梁截面的惯矩是 00 xyyxyIM矩形梁受纯弯曲矩形梁受纯弯曲时的应力分量时的应力分量 yEIMxyEIMy代人物理方程代人物理方程( (平面应力平面应力) ) yEIMxuyEIMyv0yuxv代人几何方程代人几何方程 1213hI3-2 )(1yfxyEIMu)(222xfyEIMv 0)(12dyydfxEIMdxxdf代前式代前式第三式第三式 dxxdfxEIMdyydf21)(移项得移项得 等式左边只是等式左边只是y y的函数的函数,

9、,而等式右边只是而等式右边只是x x的函数。因此的函数。因此, , 只可能两边都等于只可能两边都等于同一常数同一常数 dyydf)(1xEIMdxxdf)(20yuxv01)(uyyf0222)(vxxEIMxf积分以后得积分以后得 得位移分量得位移分量 0uyxyEIMu02222vxxEIMyEIMv其 中 的 任其 中 的 任意 常 数意 常 数 , uo ,vo须由须由约 束 条 件约 束 条 件求得求得 xEIMyu铅直线段的转角为铅直线段的转角为x是常量是常量, ,上述转角上述转角也是常量也是常量同一横截面上的各铅直线段的转同一横截面上的各铅直线段的转角相同角相同横截面保持为平面横

10、截面保持为平面。 EIMxv221梁的各纵向纤梁的各纵向纤维的曲率都是维的曲率都是 梁是简支梁梁是简支梁 000yxu 00ylxv 000yxv0202vlEIMl00u00v求得求得23222)(11xvxv22-1xv23222)(11xvxv省略微量项221 , ,1dxvddxddxdvtgdxdsdsdvdd附注：附注：00u00vEIMl2即即得到该简支梁的位移分量得到该简支梁的位移分量 ylxEIMu2222yEIMxxlEIMv梁轴的挠度方程梁轴的挠度方程 xxlEIMvy20梁是悬臂梁梁是悬臂梁求得求得 00ylxu 00ylxv00ylxxv下列三个方下列三个方程来决定程

11、来决定0202vlEIMl0EIMl00uEIMlv220EIMl00u022022vxxEIMyEIMvuyxyEIMu00,vu悬臂梁悬臂梁的的位移分量位移分量 梁轴的挠度方程是梁轴的挠度方程是 yxlEIMu2222yEIMxlEIMv202)(xlEIMvyE21E1022022vxxEIMyEIMvuyxyEIMuEIMlEIMlvu,2,02003-4 简支梁受简支梁受均均布荷载布荷载 高高h, ,长长2l, ,体力不体力不计计, , 荷载荷载q, , 两端反力两端反力ql, , 单位宽度。单位宽度。qlqly0qllxh/2h/21222234206yhIqxbIQSyxlhqy

12、IMxyyx材料力学解答为材料力学解答为3121hI 2822yhS22222xlqxlqxlqlMqxxlqqlQ其中：其中：惯性矩惯性矩静静矩矩 根据具体问题的边界形状边界形状、受力特点受力特点、量纲量纲分分析析或材料力学结果材料力学结果, 预先假设应力函数为某种形式的函数, 其中待定系数由调和方程和边界条件确定。 用半逆解法用半逆解法x 由弯矩引起的由弯矩引起的y 由直接荷载由直接荷载 q 引起的引起的xy由切向力引起的由切向力引起的由材料力学已知由材料力学已知: :现在,q是是不随不随x而变的而变的常量常量, , 因而可以假设因而可以假设y不不随随x而变而变,也就是假设y只是y的函数:

13、 yfy3-4 简支梁受简支梁受均均布荷载布荷载 x y yfx22对对x积分积分 yfyxfx1 yfyxfyfx2122待定函数待定函数 是否满足相容方程是否满足相容方程？ 044x 22224dyyfdyx 424414442442dyyfddyyfdxdyyfdxy3-4 简支梁受简支梁受均均布荷载布荷载 021)(242441424422dyyfdxdyyfdxdyyfddyyfd代人相容方程代人相容方程 0)(22122424414244dyyfddyyfdxdyyfdxdyyfd 这是这是x的二次方程的二次方程, , 但相容方程要求它有无数多的根但相容方程要求它有无数多的根 (

14、(全梁内的全梁内的x值都应值都应该满足它该满足它), ), 因此因此, , 这个二次方程的系数和自由项都必须等于零这个二次方程的系数和自由项都必须等于零，即即 044dyyfd 0414dyyfd 0)(222424dyyfddyyfd DCyByAyyf23 GyFyEyyf231略去常数项略去常数项3-4 简支梁受简支梁受均均布荷载布荷载 BAydyyfddyyfd412)(222424上式第三式上式第三式 yfyxfyfx212202CBxAx BAydyyfddyyfd412)(222424 23452610KyHyyByAyf yfyxfyfx2122 yf yf1 yf223452

15、32326102KyHyyByAGyFyEyxDCyByAyx略去一次项略去一次项及常数项及常数项整理整理3-4 简支梁受简支梁受均均布荷载布荷载 yxyfxxfyxyyyxx22222 GFyEyCByAyxDCyByAyKHyByAyFEyxBAyxxyyx23232622262622223232 这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。因此这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。因此, ,如果能如果能够适当选择常数够适当选择常数A,B,A,B,K, ,K, 使所有的使所有的边界条件都被满足边界条件都被满足, , 则则上述上述应力应力分量就是正确的解答。分量就是正确的解答。 3-4

16、 简支梁受简支梁受均均布荷载布荷载 0GFE02hyy）（qhyy2）（02hyxy）（问题的对称性问题的对称性考虑考虑 因为因为 yz 面是梁和荷载的对称面面是梁和荷载的对称面, , 所以应力分布应当对所以应力分布应当对称于称于yz面。这样面。这样, ,x 和和y 应该是应该是 x 的偶函数的偶函数, ,而而xy 应该是应该是 x 的奇函数。于是的奇函数。于是边界条件边界条件上下两边上下两边CByAyxDCyByAyKHyByAyBAyxxyyx2326222622232323-4 简支梁受简支梁受均均布荷载布荷载 GFyEyCByAyxDCyByAyKHyByAyFEyxBAyxxyyx2

17、32326222626222232320430432480248222323ChBAhChBAhqDChBhAhDChBhAh3-4 简支梁受简支梁受均均布荷载布荷载 32hqA0BhqC232qDxhqxyhqqyhqyhqKHyyhqyxhqxyyx2362232264623333323联立联立方程方程求解而得出求解而得出 将系数代入原方程 边界条件边界条件左右左右两边两边022dyhhlxx022ydyhhlxx02646223323dyKHyyhqyxhqhh 首先首先, ,在梁的右边在梁的右边, ,没有水平面力没有水平面力, ,这就要求当这就要求当x=l 时时, ,不不论论y y取任

18、何值取任何值, , 都有都有x = 0。由式可见。由式可见, ,这是不可能满足的这是不可能满足的, ,除非是除非是 q=0。用多项式求解用多项式求解, ,只能要只能要求求x 在这部分边界在这部分边界上合成为平衡力系上合成为平衡力系, ,也就是要求也就是要求 代入代入3-4 简支梁受简支梁受均均布荷载布荷载 xhqxyhqqyhqyhqKHyyhqyxhqxyyx2362232264623333323边界条件边界条件左右左右两边两边02646223323dyKHyyhqyxhqhh023322243223hhKyHyyhqyxhq0K0646223332ydyHyyhqyhqlhhhqhqlH1

19、0323-4 简支梁受简支梁受均均布荷载布荷载 yhqyhqlyhqyxhqx53646323323qldyhhlxxy22qldyhqlyhqlhhlx2223623K K、H H代人代人另一方面另一方面, ,在梁的右边在梁的右边, ,切应力切应力xy, , 应该合成为向上的反应该合成为向上的反力力ql, , 就要求就要求 代人代人成立成立3-4 简支梁受简支梁受均均布荷载布荷载 边界条件边界条件左右左右两边两边xhqxyhqxy23623534622223hyhyqyxlhqx22112hyhyqy22346yhxhqxy应力分量的应力分量的解答解答 各应力分量沿铅直各应力分量沿铅直方向的

20、变化大致图方向的变化大致图 材料力学解材料力学解3-4 简支梁受简支梁受均均布荷载布荷载 梁截面的宽度是梁截面的宽度是b=b=1,1,惯惯性矩性矩是是 3121hI 静矩是静矩是 2822yhS22222xlqxlqxlqlMqxxlqqlQ整理整理应力分量的应力分量的最后解答最后解答方程方程 3-4 简支梁受简支梁受均均布荷载布荷载 x第一项是主要项第一项是主要项, ,和材料力学中的解答相同和材料力学中的解答相同, ,第二项则是弹性力学第二项则是弹性力学提出的修正项。对于通常的低梁提出的修正项。对于通常的低梁, ,修正项很小修正项很小, , 可以不计。对于较高的可以不计。对于较高的梁梁, ,

21、 则须注意修正项则须注意修正项 应力分量应力分量y乃是梁的各纤维之间的挤压应力乃是梁的各纤维之间的挤压应力, ,它的最大绝对值是它的最大绝对值是q, ,发生在梁顶。在材料力学中发生在梁顶。在材料力学中, ,一般不考虑这个应力分量。一般不考虑这个应力分量。xy 切应力的表达式和材料力学里完全一样切应力的表达式和材料力学里完全一样。53422hyhyqyIMx22112hyhyqybIQSxy3-4 简支梁受简支梁受均均布荷载布荷载 53422hyhyqyIMx53422hyhyqflxxx跨中截面的最跨中截面的最大正应力为：大正应力为：2222max1513lhhlqx在梁的左右端在梁的左右端存

22、在水平力：存在水平力：h/2l( (高跨比高跨比）1/21/31/41/5修正项修正项/ /主主要项要项6.67%2.96%1.67%1.06%是一个平衡力系是一个平衡力系3-5 楔形体楔形体受重力受重力和和液体压力液体压力 左直, 右斜角，下为无限长, 承受重力及液体压力, 楔形体密度1, 液体密度2, 试求应力分量。 根据具体问题的边界形状边界形状、受力特点受力特点、量纲量纲分分析析或材料力学结果材料力学结果, 预先假设应力函数为某种形式的函数, 其中待定系数由调和方程和边界条件确定。 用半逆解法用半逆解法任意一点任意一点应力分量应力分量与与容重容重 1g成正比成正比（由由楔楔形体重力引起

23、形体重力引起）与与 2 g成正比成正比（由由液液体压力引起体压力引起）还和还和 ，x，y有关有关 力力长度长度 -2 -2 = = 力力长度长度 -3 -3 X 长度长度 应力分量具有多项式应力分量具有多项式A 1 gx，B 1 gy, C 2 gx, D 2 gy 四种项的组合四种项的组合3-5 楔形体楔形体受重力受重力和和液体压力液体压力 3223dycxyybxax应力函数应当是应力函数应当是x和和y的纯三次式的纯三次式dycxxfyxx6222gybyaxyfxyy12226cybxyxxy2220 xfgfy1 这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察这些应力分量是满足

24、平衡微分方程和相容方程的。现在来考察, ,如果适如果适当选择各个系数当选择各个系数, ,是否也能满足应力边界条件是否也能满足应力边界条件。 3223dycxyybxax3-5 楔形体楔形体受重力受重力和和液体压力液体压力 （a）应力边界条件应力边界条件在左面在左面 (x=0), , 应力边界条件是应力边界条件是 gyxx2000 xxygydy26dycxxfyxx6222cybxyxxy22202 cy0, 6/2cgd3-5 楔形体楔形体受重力受重力和和液体压力液体压力 bxgybyaxgyyxxyyx22612在在右右面面0),(yxffytgx0)()(0)()(ytgxxyytgxy

25、ytgxxyytgxxlmml应力边界条件应力边界条件将系数将系数d，c 代入应力式，得到：代入应力式，得到： 3-5 楔形体楔形体受重力受重力和和液体压力液体压力 应力边界条件是应力边界条件是 0)(260212gmltgmbamtgglbmtg代入简化代入简化 sin)90cos(),cos(cos),cos(0ynmxnl3212236,2ctggctggactggb求解得求解得 应力边界条件应力边界条件3-5 楔形体楔形体受重力受重力和和液体压力液体压力 在在右右面面0),(yxffytgx222220cossin202ctggbgtgbglbmtg0sin)cossin(22sin6

26、0)(261221gtgctggtgagmltgmbamtg32136ctggctgga3-5 楔形体楔形体受重力受重力和和液体压力液体压力 得李维解答得李维解答221223212)()2(gxctgyggctgxgctggctggyyxxyyxg2g1例题例题1 1矩形截面的简支梁上矩形截面的简支梁上, , 作用有三角形分布荷载作用有三角形分布荷载, ,试用下列试用下列应力函数应力函数 求解应力分量。求解应力分量。,333533FxyExDxyyCxBxyyAx解解FxyExDxyyCxBxyyBxBABA33353343535 , 0120720由此，。得。下，得求应力分量，在无体力）（)

27、33515(,6610,62010 222422333FDyCxByyBxExCxyBxyDxyxyyBxxyyx043156041530)43156(4153, 0 , 2/2/32422422FDhBhBhCxFDhBhBhCxhyhyxy，此得值，上式均应满足，由对于任意的。）（得）考察主要边界条件（ 4 5 2345 12 6345, , 2/ , 06345, 0 , 2/2/33233lhqClhqBaeelhqCBhdclqEdcdlxqEChBhxlxqhycEChBhxhyhyyy，）得（）由（）（。）得（）由（。）得（）由（）（。）（得）（）（得）考察主要边界条件（。）解出

28、）和式（由式（），由条件（）考察小边界上的边界（hllhqFlhhlqDfbqldyxhhxxy480,1013,6)(0432/2/0：力表达式，得应力解答于是，将各系数代入应显然是满足的。，另两个积分的边界条件, 0)( 0)( 2/2/02/2/0hhxxhhxxydydy例题例题2 2 求图示悬臂梁受求图示悬臂梁受P P力作用力作用( (不计体力不计体力) )下的应力。下的应力。axyxlyPhxh01z)()(6213xfxyfxya题：题：设图中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为设图中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为 ，试，试用纯三次式的应力函数求解。用纯三次式的应力函数求解。课堂练习课堂练习 1.1.按应力函数求解时按应力函数求解时，必必须须满足满足: : 区域区域A A内的相内的相容容方程方程在在 s=s 上的应力边界条件上的应力边界条件（假设全部为应力边界条假设全部为应力边界条件件) )多连体中的位移单值条件多连体中的位移单值条件2.2.在半逆解法中寻找应力函数在半逆解法中寻找应力函数 时时, , 通常采用下列方法通常采用下列方法来假设应力分量的函数形式来假设应力分量的函数形式: :由材料力学解答提出假设由材料力学解答提出假设由边界