方向,避免钻牛角尖的思维方法比如过去的圆珠笔,写到

1、1 侧向思维法指变换思维的角度、方向，侧向思维法指变换思维的角度、方向，避免钻牛角尖的思维方法。比如过去的圆珠避免钻牛角尖的思维方法。比如过去的圆珠笔，写到一定程度之后就会漏油，原因是笔笔，写到一定程度之后就会漏油，原因是笔珠的磨损造成了间隙，人们想了许多办法，珠的磨损造成了间隙，人们想了许多办法，增加笔珠的耐磨性等都不能解决。后来增加笔珠的耐磨性等都不能解决。后来中田中田藤三郎藤三郎发现总是在写到大约两万字的时候开发现总是在写到大约两万字的时候开始漏油，于是把笔芯做得只能容许写一万五始漏油，于是把笔芯做得只能容许写一万五千字，油墨没有了还漏什么？于是，问题彻千字，油墨没有了还漏什么？于是，问

2、题彻底解决。这是侧向思维的典型例子。底解决。这是侧向思维的典型例子。2dxuvuvdxvu 则则vduuvudv 则则具有连续导数具有连续导数及及设设,xvxu证证uvvuvuvuuvvuvduuvudvxdxcosxxsinxdxdxsinxsinxCxxxcossinxdxxcos求求例例1 1设设,ux ,dvxsindxdxcosdx v即即. vxsin 解：解：1 1、公式推导、公式推导32 2、实际操作步骤：、实际操作步骤： 上例中，要凑出上例中，要凑出dvdv，是个逆向思维的过程，这里试给出一，是个逆向思维的过程，这里试给出一个个“程序程序”，使思维更加流畅。，使思维更加流畅。

3、 （1 1）使用第一类换元积分法凑微分（见上节）使用第一类换元积分法凑微分（见上节） （2 2）如果结果可以用换元法解，则求出原函数；若不能积如果结果可以用换元法解，则求出原函数；若不能积出，则试用分部积分公式代入。出，则试用分部积分公式代入。 （3 3）要注意优先凑微分的顺序：要注意优先凑微分的顺序： 指数函数、弦函数指数函数、弦函数 优先于优先于 幂函数；幂函数； 幂函数幂函数 优先于优先于 对数函数、反三角函数。对数函数、反三角函数。如，例如，例1 1中：若先把中：若先把x凑微分，则有：凑微分，则有：dxxxxx)sin(2cos222xdxxxxsin212sin22 xdxxcos)

4、2(cos2 xxd)(cos2cos222xdxxx 可以看出：最后面的积分与原来的积分属于同一种类型，而可以看出：最后面的积分与原来的积分属于同一种类型，而且幂函数因式的次数还增高了，积分结果将难以求出。且幂函数因式的次数还增高了，积分结果将难以求出。4dxxex求求例例3 3dxxex解解：xxdedxexexxCexexx被积函数是幂函数与指数函数或者弦函数的乘积，被积函数是幂函数与指数函数或者弦函数的乘积，应该先将指数函数或者弦函数凑微分。应该先将指数函数或者弦函数凑微分。解解dxexx2xdex2xdxeexxx22Cexeexxxx22Cxxex222dxexx2求求例例4 4例

5、例2 2 求求 xdxx2tan解：解： xdxx2tandxxx1sec2xdxxdxx2sec221tanxxxd221tantanxdxxxxCxxxx221coslntan5xdxxln求求解解xdxxln2ln2xxddxxxxx12ln222xdxxx21ln22Cxxx4ln222例例5 5被积函数是幂函数与对数函数或者反三角函数的乘积，被积函数是幂函数与对数函数或者反三角函数的乘积， 应该先将幂函数凑微分。应该先将幂函数凑微分。xdxxarctan2求求例例6 6解解xdxxarctan22arctan xdxdxxxxx2221arctanCxxxxarctanarctan2

6、dxxxx22111arctandxxxxx11) 1(arctan2226例例7 7* * xdxarcsin求求Cxxx21221arcsin2211121arcsinxdxxxCxxx21arcsin解解dxxxxx21arcsinxdxarcsin例例8 8 xdxxxarctan122求求解解xdxxxdxxxarctan111arctan1222xxdxdxarctanarctanarctan22arctan211arctanxdxxxxxCxxxx22arctan211ln21arctan7xdxsinex求求例例9 9xdxexsinxdexcosxxdexexxcoscosx

7、dexexxsincosxdxexexexxxsinsincos解解 法法1 是不是优先凑微分的顺序出了问题？换过来试一下：是不是优先凑微分的顺序出了问题？换过来试一下： 法法2 xdxsinexxxdesinxdxexexxcossinxxexdxecossinxdxexexexxxsincossin 两种方法都出现了两种方法都出现了“循环循环”，移项可以把该积分，移项可以把该积分“解解”出来。出来。 Cxxexdxexxcossin21sin移项时应该给等式的右边添加任意常数移项时应该给等式的右边添加任意常数 C 被积函数是指数函数与弦函数的乘积，可选任一函数凑微分。被积函数是指数函数与弦

8、函数的乘积，可选任一函数凑微分。8xdxex3cos2求求例例1010解解 xxxdexdxeI223cos213cosxdxexexx3sin33cos2122xxxdexe223sin433cos21dxexexxexxx2223cos3433sin433cos21Ixexexx493sin433cos2122移项得移项得 CxexeIxx3sin1333cos13222CbxbbxabaebxdxeCbxbbxabaebxdxeaxaxaxaxcossinsinsincoscos22229下面也是出现下面也是出现“循环循环”的例子。的例子。xdxsec3求求解解xdxsec3xtanxd

9、secxxdtanxsecxtanxsec2xdxsecxsecxtanxsec12xdxsecxsecxtanxsec3xtanxseclnxxdsecxtanxsec3Cxxxxxxdtanseclntansec21sec3移项、两边同除以系数，得移项、两边同除以系数，得例例11 11 10 NnInaxxnaInnn )12(212221证明递推公式证明递推公式解解dxaxInn221nnaxxdaxx22221 1222221 nnaxxnax122222)( nnnInanIaxxdxaxnadxaxnaxxnnn122222221212dxaxaaxnaxxnn122222222d

10、xaxnxaxxnn1222222 nnnInaxxnaI)12(212221解得：解得：nnaxdxI22若：若：例例121211CaxaaxxaIaaxxaI arctan1212121222122222进而可递推出进而可递推出In CaxarctanaaxdxI1221由例由例1111、例、例1212：很多不属于基本题型：很多不属于基本题型、的的 不定积分，根据具体情况可以用分部积分法，使不定积分不定积分，根据具体情况可以用分部积分法，使不定积分变得简单。变得简单。12dxex求求例例13解解tx 令令tdtdx,tx22则则dxexdttet2Ctet12Cxex12分部积分法分部积分法解解例例14求求 dxxxxxex23sincossincosdxxxxxex23sincossincos xdxxexdxxexxsectancossinsinxdexdexxsecsinsindxexexxsinsinxdxexxexxco