数学选修2-1测试题(含答案)

1、（1，3,2）（羽，一3, 2羽）可利用空间向量共线定理写,故选C.3刁1 - V-数学选修21综合测评时间：90分钟满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.与向量么=（1, 一3,2）平行的一个向量的坐标是（） fl ）A亍1, 1Be（1 3）C.亍亍1D-I _ 一7解析：向量的共线和平行是一样的， 成数乘的形式.即"HO, a II boa = Ab, a = (1, - 3,2)=-答案:C2若命题p： Vx 彳，耳，tail x>siiix,则命题繍p：()(7T 7T.A. 3xqI

2、51, tailXqsinXq(7T 7TB 日沟$(刁 引,tail Xo>siii Xo(7V 7iC 3xo 9 , tailXosillXo'll)U 彳，+°° , tailXo>siiiXq(D. 3xo 8,解析：0x的否定为3xo，>的否定为W,所以命题繍p为3xo 6 壬，彳，tanxoWsinxo.答案：C3.设a, 0是两个不重合的平面，1, m是两条不重合的直线，则 a/p的充分条件是（）A. lUa, mU0 且 10, m/aB lUa,且 lmC1丄a, m丄0且lmD la, m0 且 lm解析：由1丄a, l&qu

3、ot;m得m丄a,因为m丄0,所以a II卩,故C选 项正确.答案：C4.以双曲线手一醫=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程 为（）X- （ yx- , yA,16+12= 1 B 12+16 = 1x- , yx- , yC16+4=1 D4+16=1解析：由4-=1,得£_丁=1双曲线的焦点为（0,4）, （0, -4）,顶点坐标为（0,2羽），（0, -2筋）椭圆方程为手+話=1.答案:D5已知菱形ABCD边长为1, ZDAB = 60°,将这个菱形沿AC折成60。的二面角，则B, D两点间的距离为（）A.申 b4 C.弓 D.t解析:菱形ABCD的对角线AC与BD

4、交于点O,则AC'丄BD,沿AC 折叠后，有BO丄AC' , DO丄AC,所以ZBOD为二面角B - AC - D 的平面角，即ZBOD = 60°.因为 OB = OD = 所以 BD =答案：B6. 若双曲线|-f=l的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>O)fflK，则1=()A.、/§ B 2 C 3 D 6解析：双曲线f-f = 1的渐近线方程为y二士普x,因为双曲线的 渐近线与圆(x- 3)2 + y2 = r2(r>0)相切，故圆心(3,0)到直线y = 士丰x的 距离等于圆的半径r,则= 巧3±2乂0|=羽答案:A7

5、. 在长方体ABCDABCiDi中，底面是边长为2的正方形，高 为4,则点A到截面ABQi的距离为( )解析：取DA, DC, DDi分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐 标系，可求得平面AB1D】的法向量为 =（2, - 2,1）.故A到平面ABiD的距离为d = 1p1 = |.答案:C8. 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2 = 16x的准线交于A, B两点，|AB|=4L则C的实轴长为（）A.羽 B. 2羽 C 4 D. 8解析：抛物线r = 16X的准线方程是x= -4,所以点A（-4,2羽） 在等轴双曲线C: X2 -y2 = a2（a>0）上，将点A的坐

6、标代入得a = 2,所 以C的实轴长为4.答案:C的中点，P为AD上一动点，记a为异面直线PM与DN所成的角, 则a的集合是（）a.£Bq a評a今r兀一 一 7T C彳a $WaW刁 r7T 一 一 7TDqa評a今解析：取CQi的中点E, PM必在平面ADEM内，易证D】N丄平 面ADEM.本题也可建立空间直角坐标系用向量求解.答案：A10. 已知P是以F1，F?为焦点的椭圆手+活=l(a>b>0)上的一点,1若PF】PF2 = 0, taiiZPF1F2=,则此椭圆的离心率为()V53 D1 - 3C2 - 31- 2A解析:由PFrPF2 = 0，得APFJ：为直

7、角三角形，由tanZPFR =£ 设|PF= s,则 |PFd = 2s, X|PF2|2 - IPFJ2 = 4c2(c = /a2-b2),即4c2 = 5s2,而 |PF2| + |PFi| = 2a = 3s,故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填 在题中横线上)11. 若命题“ mxWRx2 3ax+9<0”为假命题，则实数a的取值范围是.解析：原命题的否定形式为为真命题.即 2x2-3ax+90 恒成立，.只需 J = ( - 3a)2 -4X2X90,解得-2丁5答案：-2羽，2羽在平面直角坐标系xOy中，若定点A(l,2)与动

8、点P(x, y)满足OPOA=4,则动点P的轨迹方程是解析：由OP-OA= 4得xl+y2 = 4,因此所求动点P的轨迹方程 为 x+ 2y - 4 = 0.答案：x + 2y - 4 = 012. 在四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD,底面ABCD为边 长是1的正方形，PA=2,则AB与PC的夹角的余弦值为.解析：因为ABPC = AB(PA+ AC) = ABPA+ AB-AC = lX2Xcos 45°= 1,又|AB|= 1, |PC| = &,AB, PC>AB-PC _1_6f f = 1X6 = 6 |AB|PC|答案:習13. 过双曲线C：卡一石=

9、l(a>0, b>0)的一个焦点作圆£+于= a?的两条切线，切点分别为A, B.若ZAOB=12(r(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为解析：由题意，如图，在RtAAOF中，ZAFO = 30°,AO = a, OF = c,OA a 1OF?sill 30° =答案：2三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤)14. (12分)已知命题p：不等式|x-l|>m-1的解集为R,命题q： f(x)=-(5-2m)x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求 实数m的取值范围.解:由于不等式|x-l|&g

10、t;m- 1的解集为R,所以 111 - KO, 1IK1；因为f(x)= - (5 - 2m)x是减函数，所以 5 2m>l, nK2.即命题p: IIK1,命题q: in<2.因为p或q为真，p且q为假，所以p和q中一真一假.fllKl,当p真q假时应有m无解.1,当p假q真时应有I*。1W11K2.故实数m的取值范围是lWm<2.15. (12分)已知椭圆p+7=l(a>b>0)的离心率为丰，且a2=2b.(1) 求椭圆的方程；(2) 直线1： xy+m=0与椭圆交于A, B两点，是否存在实数m, 使线段AB的中点在圆x2+y2 = 5上，若存在，求出m的值

11、；若不存在, 说明理由.解得a =y/2,c = 1,c _ yj2解:(1)由题意得2 '.a2= 2b,所以 b2 = a2 - c2 = L故椭圆的方程为疋+罟=1(2)设A(xP yj, B(x2, y?),线段AB的中点为M(Xq> y0).联立直线与椭圆的方程得 2' 即3丈+ 21似+1-2 = 0, A =.x - y + m = 0 >*>X+ Xc 111(2m)“ 一4X3X(nr - 2)>0, nt<3,所以 / = 一亍，y0 = Xo + m =2ni “( in 2讪-e、， 一亠 r o ,“，、了 i】h>

12、 f2ni丁，即%-亍，了又因为M点在圆* + y = 5上，所以1一3)" +冷丿亠5,解得m = ±3与m?v3矛盾实数m不存在.书,916. (13 分)已知点 P(l,3),圆 C： (x-m)2+y2=zil点 A 1,1 点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，直线PF与圆相切.(1)求山的值与抛物线的方程:(2)设点B(2,5),点Q为抛物线上的一个动点，求BP-BQ的取值范 解：(1)把点A代入圆C的方程，得(1-111)2 + (-2 =售 .in=i.=9圆 c： (x- l)2 + y2 =宁当直线pf的斜率不存在时，不合题意.当直线PF的斜率

13、存在时，设为k,则 PF: y = k(x- 1) + 3,即 kx-y-k+ 3 = 0.直线PF与圆C相切，|k_0_k+3| 3 迄 血订二2解得k= 1或k= - 1.当k=l时，直线PF与x轴的交点横坐标为-2,不合题意，舍 去.当k=-l时，直线PF与x轴的交点横坐标为4,P2=4.抛物线方程为y2 = 16x.(2)BP=(-b -2),设 Q(x, y), BQ = (x- 2, y - 5),则 BP-BQ= -(x-2) + (-2)(y-5)y=-x - 2y + 12 = -詬- 2y + 121 ,=一花(y+ 16) + 28W28. A BP-BQ的取值范围为(-

14、8, 28.D17. (13分)如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形， 侧面 ABC丄底面 BCDE, BC = 2, CD=g AB=AC.(1) 证明：AD±CE；(2) 设CE与平面ABE所成的角为45。，求二面角C-AD-E的余 眩值.解：(1) 证明：作AO丄BC,垂足为O,则AO丄底面BCDE,且O为 BC的中点.以O为坐标原点，射线OC为x轴正方向，建立如图 所示的直角坐标系O - xyz.设 A(0,0, t).由已知条件知 C(l,o,o)» D(l, 心 0), E(- 1,返，0), CE = (-2, V?, 0), AD = (1, a/2, -t), 所以CE-AD = 0,得 AD丄CE.(2) 作CF丄AB,垂足为F,连接FE,如图所示.设 F(x,O, z),则CF = (x- 1,0, z), BE = (0, 2, 0), CFBE = 0,故 CFJLBE.又 ABQBE = B,所以CF丄平面ABE,故ZCEF是CE与平面ABE所成的角，ZCEF=45°.由 CE = &,得 CF = G又 CB = 2,所以 ZFBC = 60&