整式的加减及经典例题

1、整式及整式的加减要点梳理及经典例题一、整式的有关概念1. 单项式(1) 概念：注意：单项式中数与字母或字母与字母之间是乘积关系，例如：-可以看2 1x2x成丄X，所以-是单项式；而-表示2与X的商，所以-不是单项式，凡是分母中含有字22x2母的就一定不是单项式11(2) 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.例如：一丄x2y的系数是-丄；222二r的系数是2二.注意：单项式的系数包括其前面的符号；当一个单项式的系数是1或-1时，“ 1 ”通常省略不写，但符号不能省略 .女口： -xy,a2b3c等；二是数字，不是字母.(3) 次数：一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数注意

2、：计算单项式的次数时，不要漏掉字母的指数为1的情况.如2xy3z2的次数为52321 3 6，而不是5；切勿加上系数上的指数， 如2 xy的次数是3,而不是8； -2二x y 的次数是5,而不是6.2. 多项式(1) 概念：几个单项式的和叫做多项式.其含义是：必须由单项式组成；体现和 的运算法则.(2) 项：在多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项；一个 多项式含有几 个单项式 就叫几项式.例如：2x2 - 3y - 1共含有有三项，分 别是2x2, -3y, -1，所以2x2 -3y -1是一个三项式.注意：多项式的项包括它前面的符号，如上例中常数项是-1，而不是1.

3、(3 )次数：多项式中，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数注意：要防止把多项式的次数与单项式的次数相混淆，而误认为多项式的次数是各项次数之和.例如：多项式2x2y2 -3x4y 5xy2中，2x2y2的次数是4, -3x4y的次数是5, 5xy2 的次数是3,故此多项式的次数是 5,而不是4 5 3 =12 .3. 整式：单项式和多项式统称做整式4降幕排列与升幕排列(1)降幕排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列 .(2)把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来叫做把这个多项式按 这个字母的升幕排列.注意：降(升)幕排列的

4、根据是：加法的交换律和结合律； 把一个多项式按降 (升)幕重新排列，移动多项式的项时，需连同项的符号一起移动；在进行多项式的排列时，要244233先确定按哪个字母的指数来排列 .例如：多项式xy - x - y -3x y - 2x y按x的升幕排 列为：一y4 xy2 _3x2y3 _2x3y - x4 ;按 y 的降幕排列为：-y4 - 3x2y3 xy2 - 2x3y - x4 二、整式的加减1 同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项注意：同类项与其系数及字母的排列顺序无关例如：2a2b3与_3b3a2是同类项；而2a2b3与5a3b2却不是同类项，因为相同的

5、字母的指数不同2 合并同类项(1) 概念：把多项式中相同的项合并成一项叫做合并同类项注意：合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并，女口 2a 3b =5ab显然不正确；不能合并的项，在每步运算中不要漏掉(2) 法则：合并同类项就是把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母 的指数保持不变注意：合并同类项，只是系数上的变化，字母与字母的指数不变，不能将字母的指数 相加；合并同类项的依据是加法交换律、结合律及乘法分配律； 两个同类项合并后的结果与原来的两个单项式仍是同类项或者是0.3 去括号与填括号(1) 去括号法则：括号前面是“ + ”，把括号和它前面的“ + ”去掉

6、，括号内的各项都不变号；括号前面是“ 把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号注意：去括号的依据是乘法分配律，当括号前面有数字因数时， 应先利用分配律计算，切勿漏乘；明确法则中的“都”字，变符号时，各项都变；若不变符号，各项都不变例如：a b-c =a，b-c;a-b-c = a -b c ；当出现多层括号时，一般由里向外逐层去括号，如遇特殊情况，为了简便运算也可由外向内逐层去括号(2) 填括号法则：所添括号前面是“+”号，添到括号内的各项都不变号；所添括号 前面是“-”号，添到括号内的各项都改变符号注意：添括号是添上括号和括号前面的“+”或“-”，它不是原来多项式的某一项 的符号“移

7、”出来的；添括号和去括号的过程正好相反，添括号是否正确，可用去括号来检验例如：a，b-c=a，b-c;a-b，c = a -c 4. 整式的加减整式的加减实质上是去括号和合并同类项，其一般步骤是：(1)如果有括号，那么先去括号；( 2)如果有同类项，再合并同类项 注意：整式运算的结果仍是整式 经典例题透析类型一：用字母表示数量关系a1 填空题：(1) 香蕉每千克售价3元，m千克售价元。(2) 温度由5C上升tC后是C。(3) 每台电脑售价x元，降价10%后每台售价为 元。(4) 某人完成一项工程需要 a天，此人的工作效率为 。思路点拨：用字母表示数量关系，关键是理解题意，抓住关键词句，再用适当

8、的式子表达出来。.元的图书240册，若每册图书的邮费为书举一反三：变式某校学生给“希望小学”邮寄每册价的5%,则共需邮费元。类型二：整式的概念2 指出下列各式中哪些是整式，哪些不是。3(1)lx + 1 ; (2)a= 2; (3) n ; (4)S = n R2;总结升华：判断是不是整式，关键是了解整式的概念，注意整式与等式、不等式的区别， 等式含有等号，不等式含有不等号，而整式不能含有这些符号。举一反三：变式把下列式子按单项式、多项式、整式进行归类。2_£5x2y,2ab, x + y25 ,2, 29, 2ax + 9b 5,600xz,2axy,xyz1 , .】。分析：本题

9、的实质就是识别单项式、多项式和整式。单项式中数和字母、字母和字母之间必须是相乘 的关系，多项式必须是几个单项式的和的形式。5答案：单项式有：x2y, ,29,600xz, - axy2多项式有：-a b , x+ y2 5,2ax+ 9b 5 , xyz 115整式有：x2y , 1 a b , x+ y2 5 , - , 29 , 2ax + 9b 5,600xz , 1 axy , xyz类型三：同类项03若'与宀是同类项，那么a,b的值分别是()(A) a=2, b= 1。(B) a=2, b=1。长沙家教网www.cs-(C) a= 2, b= 1。( D) a= 2, b=1

10、。思路点拨：解决此类问题的关键是明确同类项定义，即字母相同且相同字母的指数相同,要注意同类项与系数的大小没有关系。解析：由同类项的定义可得：a仁b,且2a+b=3，解得 a=2, b= 1, 故选A。举一反三：变式在下面的语句中，正确的有()2 1rn2一§ a2b3与a3b2是同类项；x2yz与zx2y是同类项;是同类项；字母相同的项是同类项。A、1个B、2个C、3个D、4个2 1解析：中一:a2b3与1 a3b2所含的字母都是1一1与一a, b，但a的次数分别是 2,3, b的次数分别是3,2,所以它们不是同类项；中所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，所以CiYI 2丿x2y

11、z与zx2y是同类项；不含字母的项(常数项)都是同类项，正确，根据可知 不正确。故选B。类型四：整式的加减4 .化简m n( m+n)的结果是()(A) 0。( B) 2m。(C) 2n。( D) 2m 2n。思路点拨：按去括号的法则进行计算，括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-” 号去掉，括号里各项都改变符号。解析： 原式=m n m n= 2n,故选(C)。举一反三：变式计算：2xy+3xy=。分析：按合并同类项的法则进行计算，把系数相加所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。注意不要出现 5x2y2的错误。答案：5xy。ei i5. (化简代入求值法)已知x = ： , y= _，

12、求代数式(5x2y 2xy2 3xy) (2xy22+ 5x y 2xy )思路点拨：此题直接把x、y的值代入比较麻烦，应先化简再代入求值。” r I ”、 r2222解析：原式=5x y 2xy 3xy 2xy 5x y+ 2xy = 5xy11LlLLiVl当x = §,y=亍时，原式=5xl fj丿I ?丿 3总结升华：求代数式的值的第一步是“代入”，即用数值替代整式里的字母；第二步是“求值”，即按照整式中指明的运算，计算出结果。应注意的问题是：当整式中有同类项时， 应先合并同类项化简原式，再代入求值。举一反三：1变式1当x= 0, x = 1 , x = -2时，分别求代数式

13、的 2x2x + 1的值。解：当 x= 0 时，2x2 x+ 1 = 2X 02 0 + 1= 1；-卩丫丄+1=2丄一丄+Ul当 x =2 时，2x2 x + 1 = 2X 匕丿 242；当 x = -2 时，2x2 x + 1 = 2X( -2) 2( -2)+ 1 = 2 X 4+2 + 1 = 11。总结升华：一个整式的值，是由整式中的字母所取的值确定的，字母取值不同，一般整式的值也不同；当整式中没有同类项时，直接代入计算，原式中的系数、指数及运算符号都不改变。但应注意，当字母的取值是分数或负数时，代入时，应将分数或负数添上括号。变式2先化简，再求值。3(2x2y 3xy2) (xy

14、2 3x2y)，其中 x=,y= 1。解:3(2x2y 3xy2) (xy 2 3x2y)= (6x2y 9xy2) xy2 + 3x2y222222l 丫 I9 X 乜)X ( 1) 10 X 2 X ( 1)2 =6x y 9xy xy + 3x y = 9x y 10xy。1当 x = 1 , y = 1 时，原式=总结升华：解题的基本规律是先把原式化简为9x2y 10xy2,再代入求值，化简降低了运算难度，使计算更加简便，体现了化繁为简，化难为易的转化思想。变式3求下列各式的值。(1)(2x2 x 1)，其中x =1(2)2mn + ( 3m) 3(2n mn),其中 m + n =

15、2, mn= 3。r 2hX-+3?-解析：(1) (2x2 x 1)1为I y 1=2x2x 1 x2 + x+ _ + 3x2 3_ = 4x2 4当x=(2) 2m n + ( 3m) 3(2n mn)=2mn 6m 6n+ 3mn=5mn 6(m + n)当 m + n= 2, mn = 3 时原式=5 x ( 3) 6 x 2 = 27o类型五：整体思想的应用6. 已知x2 + x + 3的值为7,求2x2 + 2x 3的值。思路点拨：该题解答的技巧在于先求x2+x的值，再整体代入求解，体现了数学中的整体思想。解析：由题意得x2 + x + 3= 7,所以x2 + x= 4，所以2(

16、x2+ x) = 8,即2x2+ 2x = 8,所以2x2 + 2x 3 = 8 3= 5o总结升华：整体思想就是在考虑问题时，不着眼于它的局部特征，而是将具有共同特征的某一项或某一类看成一个整体的数学思想方法。运用这种方法应从宏观上进行分析，抓住问题的整体结构和本质特征，全面关注条件和结论，加以研究、解决，使问题简单化。在中 考中该思想方法比较常见，尤其在化简题中经常用到。举一反三：变式1已知x2 + x 1 = 0，求代数式x3 + 2x2 7的值。分析：此题由已知条件无法求出x的值，故考虑整体代入。解析：T x2+ x 1 = 0,. x2= 1 x, x3+ 2x2 7 = x(1 x

17、) + 2(1 x) 7 = x x2 + 2 2x 72 2=-x -x-5 =( -x -x+1) -6 = 6 o变式2当x= 1时，代数式px3+ qx + 1的值为2003，则当x= 1时，代数式px3 + qx+ 1的值为()A、一 2001B、一 2002C、一 2003D、2001分析：这是一道求值的选择题，显然p, q的值都不知道，仔细观察题目，不难发现所求的值与已知值之间的关系。解析：当 x = 1 时，px3 + qx + 1 = p+ q+ 1 = 2003，而当 x = 1 时，px3 + qx + 1 = p q+ 1，可以把 p + q 看做一个整体，由 p +

18、q + 1 = 2003 得 p+ q= 2002，于是p q= (p + q)= 2002，所以原式=2002 + 1 = 2001。故选 A。变式3已知A = 3x3 2x + 1, B = 3x2 2x+ 1, C= 2x2+ 1，则下列代数式中化简结果为 3x3 7x2 2 的是()A、A + B + 2CB、A + B 2CC、A B 2CD、A B + 2C分析：将A, B, C的式子分别代入 A , B , C, D四个选项中检验，如： A B 2C = 3x3 2x + 1 (3x2 2x+ 1) 2(2x2+ 1) = 3x3 2x+ 1 3x2 + 2x 1 4x2 2 =

19、 3x3 7x2 2。故 选C。答案：C变式4化简求值。(1) 3(a + b c)+ 8(a b c) 7(a+ b c) 4(a b c)，其中 b= 2(2) 已知 a b = 2, 求 2(a b) a+ b+ 9 的值。分析：(1)常规解法是先去括号，然后再合并同类项，但此题可将a+ b c, a b c分别视为一个“整体”，这样化简较为简便；(2)若想先求出a, b的值，再代入求值，显然行不通，应视a b为一个“整体”。解析：原式=3(a+ b c) 7(a+ b c) + 8(a b c) 4(a b c)=4(a+ b c) + 4(a b c)=4a 4b+ 4c+ 4a4b

20、 4c= 8b。 因为b = 2,所以原式=一 8X 2 = 16。(2)原式=2(a b) (a b) + 9 =(a b) + 9因为a b = 2,所以原式=2 + 9= 11。类型六：综合应用7 .已知多项式 3(ax?+ 2x 1) (9x?+ 6x 7)的值与 x 无关，试求 5a? 2(a? 3a + 4)的值。思路点拨：要使某个单项式在整个式子中不起作用，一般是使此单项式的系数为0即可.解析：3(ax2+ 2x 1) (9x2 + 6x 7) = 3ax2 + 6x 3 9x2 6x + 7= (3a 9)x2 + 4。因为原式的值与 x无关，故3a 9 = 0，所以a= 3。 又因为 5a2 2(a2 3a+ 4) = 5a2 2a2 + 6a 8= 3a2 + 6a 8,