公路匝道坐标的通用公式

1、摘要：本文利用复化辛普森公式导证的计算公路匝道坐标的通用公式。利用FX-4500P计算器编程计算放样点位坐标。关键词：复化辛普森公式公路匝道编程坐标计算一、引言匝道是组成高等与公路立交的根本单元，其形式千变万化，就线形而言，也是由直线段、盘旋曲线段、圆曲线段组成。但是，组成立交的匝道涉与线形的曲率变化特点，利用复化辛普森公式导证了 计算公路匝道点位坐标的通用公式。并利用卡西欧FX-4500P计算器编程计算公路匝道点位坐标。二、公路匝道点位坐标计算1. 公路匝道中线形式公路匝道中线是由直线一盘旋曲线一圆曲线R1盘旋曲线一圆曲线R2盘旋曲线一直线的顺序组成的，其中R1 F2o2. 盘旋曲线上点位坐

2、标方位角的计算如图1,设盘旋曲线起点 A的曲率为5,其里程为DKA;盘旋曲线终点 B的曲率为，其 里程为DKB, AxC y C为以A为坐标原点，以 A点切线为x C轴的局部坐标系；AXY为线路坐 标系。由此盘旋曲线上各点曲率半径为R和该点离曲线起点的距离 ？ i成反比，故此任意点的曲率为广=R o为常数1由式1可知，盘旋曲线任意点的曲率按线性变化，由此盘旋曲线上里程为DK点的曲率为j ' '-'j - r : S S : 'i：( 2)当曲线右偏时，取正；当曲线左偏时 V.1 取负。在图1中有将式2代入式3得flr=屮 p严 2駐-DK JxlSO Ijt假设

3、盘旋曲线起点 A在线路坐标系下切线坐标方位角a a,那么里程为Dk点切线坐标方位角为将式4代入式5得虫空$ +金斗-x!80 fn(6)对于式，当：亠一，丄一 时，一，那么' a =3a,式6变成计算直线段 上任意点切线坐标方位角计算公式；当：，.1，:时，- , ，那么式6代表圆曲线上任意点切线坐标方位角计算公式。可见，假设曲线段起点和终点的曲率与起点的切线坐标方位角，式6便能计算任意线型点位切线坐标方位角。3、盘旋曲线点位坐标计算由图1可得盘旋曲线上点位在坐标系下坐标计算公式：&& '=说妙#j话厂=甬#1 7刃汰"述刃=阳I 8设盘旋曲线起点 A

4、在线路坐标系下的坐标为将式6替代式8中的，便得盘旋曲线上任意点在线路坐标系下的坐标：7-1；win tx动(9)对于式9的解算，由于后半局部是定积分，我们引入复化辛普森公式对其进行解算。首先将积分区间DKa, DK划分为n等份，步长为H=( DK-DKA)/n，分点里程DXK=DK+KHK=0, 1, 2,xxx, n,记子区间DXk, DXK+i的里程为 DXK+i/2，贝U DXK+i/2= (DX+DXK+i) /2 ,K=0, 1, 2,xxx, n-1。由此式(9)用复化辛普森公式表示为n-1 n-1X=Xa+H/6 '(cosaA+4刀 cosa K+1/2 +2E cos

5、a k +cosa i)n-1 n-1Y=Ya+H/6 ' (sin a a+4 刀 sina K+1/2 +2刀sina k +sina i)(10)K=0 k=1式中：aA为盘旋曲线起点 A的切线方位角；aK+2为里程DXK+i/2点切线方位角；aK为里程DXK点切线方位角；ai为里程DK点切方位角。对于式(10)，虽然是由盘旋曲线导出的，但该式也适用直线段和圆曲线段。日呼就7右36=4360.冋码他XS/ NJT-721139M51 1 j2XMBLTmT=T211260IM3?<?T7T-72OCL176I：4LKJT=TI1JLI8三、复化辛普森公式的使用说明为满足点位

6、坐标计算精度，经验算取n=2。无论是直线段、圆曲线段、盘旋曲线段，只要将各曲线段中的起点、终点的曲率和里程以与解求点里程Dki和各分点里程代入式(2)、(6)、(10)便可获得待求点 Dki的坐标。在计算时，要注意曲线的偏向。四、公路匝道坐标计算源程序L1 Lbl0 : T “XT' U “Y1 C “AT' D “ PA' E “PB' A “CH0 B “CHN G “X0' 1“ Y0':M Lbl1 :N=0: P=0: 0=0: Q=0 S=0: J : J “CHI'L2 Lbl2 : N=N+1: H=2( J-A) /M:

7、 F=NH/2+A R=C+180/p'(D+( E-D) 12 (B-A)'(F-A)(F-A):Int ( N/2) =N/2=>O=O+cosR P=P+sinR： 1 >Q=Q+ cosR S=S+ sinRDL3 N=M=>Goto3: 1 >Goto2DLbl3 : X=G+H/6'(cosC+4Q+2O-cosR Y=l+H/6/(sinC+4S+2P-sinR ): X： “X="u Y: “ 丫仝。Pol ( X-T, Y-U: VuW<0=>W=W+3601 >WU DGotolX1-测站点X坐标Y

8、1-测站点Y坐标AT-曲线起点方位角PA-曲线起点曲率 当曲线右偏时，P A取正；当曲线左偏时 p A取负。)PB-曲线终点曲率 当曲线右偏时，P B取正；当曲线左偏时 p B取负。)CH0-曲线起点里程CHN-曲线终点里程X0-曲线起点X坐标Y0-曲线起点Y坐标M-求和累积次数n的2倍CH-曲线待测点里程X-曲线待测点X坐标Y-曲线待测点Y坐标V-测站至待测点间的距离W-测站至待测点间的方位角其中 R=C+180/p' ( D+(E-D) 12 (B-A) ' ( F-A)( F-A )为(2 )、( 6)式的合并 式，计算切线坐标方位角；O=O+cosR P=P+sinR、

9、Q=Q+ cosR S=S+ sinR、X=G+H/6'(cosC+4Q+2O-cosR Y=I+H/6 ' (sinC+4S+2P-sinR )计算点位坐标。由于累计时 O=O+cosR P=P+sinR分别多累加了一个 cosR、sinR ,所以在程序中(10)式最后一项前为负号。五、坐标计算算例利用万家寨水利枢纽工程左岸上坝公路一段曲线验证复化辛普森公式坐标计算程序的正确性。如图 2: 0+488.80+552.74 为直线段，0+552.740+577.74 与 0+693.170+718.17 为 缓和曲线段，缓和曲线长 为L0=25M 0+577.740+693.1

10、7为圆曲线段，R=85M在计算器中找到该程序，先输入直线段的起算数据，以里程0+488.8为起点，求得0+500.0点的坐标，然后分别以里程 0+552.74、0+577.74为起点计算验证缓和曲线与圆曲 线上各点的坐标。与分别运用直线段、缓和曲线段、圆曲线段计算坐标的计算公式所计算的结果完全相同。六、结论本文利用的式10是计算公路匝道点位坐标的通用公式。当曲线的设计半径较小时，为保证点位计算精度，n 即程序中M的1/2倍的取值可适当的大些。利用上例验算的计算结果可以说明该程序对于公路的直线段、缓和曲线段、圆曲线段均实用。上例在计算圆曲线起点 0+577.74 参数时，可利用计算缓和曲线终点 0+577.74 坐标后