第五章线性系统的根轨迹法5.1根轨迹的基本概念5.2根轨迹

1、2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系1第五章第五章 线性系统的根轨迹法线性系统的根轨迹法 5.1 5.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念 5.2 5.2 根轨迹的绘制规则根轨迹的绘制规则 5.3 5.3 广义根轨迹广义根轨迹 5.4 5.4 零度根轨迹零度根轨迹 5.5 5.5 系统性能分析系统性能分析2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系2本章重点本章重点 根轨迹的概念、幅值条件、根轨迹的概念、幅值条件、 相角条件相角条件 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则 等效传递函数的概念等效传递函数的概念 根轨迹的简

2、单应用根轨迹的简单应用2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系3一单位负反馈系统的开环传递函数为：一单位负反馈系统的开环传递函数为： (2)gkkGss s 试分析该系统的特征方程的根随系统参数试分析该系统的特征方程的根随系统参数 的变化在的变化在S S平面平面上的分布情况。上的分布情况。 gk例5-1系统的闭环特征方程：系统的闭环特征方程：220gssk特征方程的根是：特征方程的根是：1,211gsk 设设 的变化范围是的变化范围是0, 0, gk解解2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系4当当 时时, , 0gk 1

3、20,2ss 当当 时时, , 与与 为不相等的两个负实根；为不相等的两个负实根；01gk 1s2s当当 时，时， 为等实根；为等实根；1gk 121ss 该系统特征方程该系统特征方程的根，随开环系的根，随开环系统参数统参数k k从从0 0变到变到时，在时，在S S平面平面上变化的轨迹如上变化的轨迹如图所示。图所示。1P2P0gk0gk1gkgK gKj S当当 时，时， 共轭复根。共轭复根。 1gk 1,211gsj k 性能2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系5 二、根轨迹与系统性能二、根轨迹与系统性能稳定性稳定性 当增益当增益K1K1由由0 0 ，

4、根轨迹不会越过虚轴进入，根轨迹不会越过虚轴进入s s平面右半平面右半边，因此系统对所有的值都是稳定的。如果系统特征方程的根边，因此系统对所有的值都是稳定的。如果系统特征方程的根都位于都位于s s平面的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的。若根平面的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的。若根轨迹穿越虚轴进入右半轨迹穿越虚轴进入右半s s平面平面, ,根轨迹与虚轴交点处的根轨迹与虚轴交点处的K K值，就是值，就是临界稳定的开环增益。临界稳定的开环增益。稳态性能稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，所以属开环系统在坐标原点有一个极点，所以属型系统型系统, , 因而根轨迹上的因而根轨迹上的K K值就

5、是静态速度误差系数。如果给定系统的值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。稳态误差要求，则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。动态性能动态性能 当当 时时, , 所有闭环极点均位于实轴上所有闭环极点均位于实轴上, ,系统为系统为过过阻尼阻尼系统，其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。系统，其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。 当当 时，特征方程的两个相等负实根，系统为时，特征方程的两个相等负实根，系统为临界阻临界阻尼尼系统，单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。系统，单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。 当当 时，特征方程为一对共轭复根

6、系统为时，特征方程为一对共轭复根系统为欠阻尼系统欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随单位阶跃响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随 值的值的增加而加大，但调节时间不会有显著变化。增加而加大，但调节时间不会有显著变化。10gk1gk1gkgK2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系6设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为: : gk为根轨迹增益为根轨迹增益( (或根轨迹的放大系数或根轨迹的放大系数) ) 三、根轨迹的概念三、根轨迹的概念 ( )( )gkk N sGsD s 其中其中: : 1( )(),njjN ssz 1( )(

7、)njjD ssp 可得到系统的闭环特征方程式为可得到系统的闭环特征方程式为: : 1010kgN sGskD s 即：即：11()( )1( )()niingjjszN sD sksp 开环的零点开环的零点iz开环的极点开环的极点ip2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系7 根轨迹图根轨迹图是闭环系统特征方程的根（闭环极点）随开环系是闭环系统特征方程的根（闭环极点）随开环系统某一参数由统某一参数由0 0变化到变化到时在时在S S平面上留下的轨迹。平面上留下的轨迹。由此可得到满足系统闭环特征方程的幅值条件和相角条件为：由此可得到满足系统闭环特征方程的幅值条

8、件和相角条件为： 1111()()1()()nniiiinngjjjjszszkspsp 11()()(1 2 ) ,0,1,2,3.mniiijszspkk 2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系8 我们可以把系统的闭环特征方程的根描述成我们可以把系统的闭环特征方程的根描述成: :凡是满足幅值条件和相角条件的凡是满足幅值条件和相角条件的s s值称为特征方程值称为特征方程的根的根即闭环极点。即闭环极点。因为因为 变化，因此不论什么变化，因此不论什么s s值值, ,总有一个总有一个 存在存在, ,使幅值条件得到满足使幅值条件得到满足, ,所以所以, ,实际上

9、只要满足实际上只要满足相角条件的相角条件的s s值就是闭环极点值就是闭环极点, ,而由此而由此s s值值, ,再由幅值条再由幅值条件可确定此时系统对应的件可确定此时系统对应的 值。值。gK0从gKgK2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系9规则一规则一 根轨迹的起点根轨迹的起点此时系统的闭环极点与开环极点相同此时系统的闭环极点与开环极点相同( (重合重合) )，把，把开环极点开环极点称为根轨迹的起点称为根轨迹的起点。当当 , ,必有必有由根轨迹的幅值条件可知：由根轨迹的幅值条件可知：111mjjngiiszkspis(i1,2,n)p 0gk 通常，我们称

10、以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹为通常，我们称以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹为普通根轨迹（或普通根轨迹（或 180180根轨迹根轨迹），简称根轨迹。），简称根轨迹。2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系10规则二规则二 根轨迹的终点根轨迹的终点由根轨迹的幅值条件可知：由根轨迹的幅值条件可知：结论：结论：根轨迹起始于开环极点根轨迹起始于开环极点 ，终止于开，终止于开环零点环零点 。(0)gk ()gk 111mjjngiiszksp 当当 时，必有时，必有 此时，系统的闭环极点与开环零点相同（重合），我们把此时，系统的闭环极点与开环零点相同（重

11、合），我们把开环零点称为根轨迹的终点开环零点称为根轨迹的终点。(1,2,)jszjm gk 如果开环极点数如果开环极点数n n大于开环零点数大于开环零点数m,m,则有则有n-mn-m条根轨迹终条根轨迹终止于止于S S平面的无穷远处平面的无穷远处( (无限零点无限零点) )，如果开环零点数，如果开环零点数mm大于开大于开环极点数环极点数n n，则有，则有m-nm-n 条根轨迹起始于条根轨迹起始于S S平面的无穷远处。平面的无穷远处。2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系11规则三规则三 根轨迹的分支数、连续性和对称性根轨迹的分支数、连续性和对称性 根轨迹的分

12、支数即根轨迹的条数。根轨迹是描述闭环系统特根轨迹的分支数即根轨迹的条数。根轨迹是描述闭环系统特征方程的根（即闭环极点）征方程的根（即闭环极点） 在在s s平面上的分布，那么，根轨迹平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。的分支数就应等于系统特征方程的阶数。 由由例例5-15-1 看出，系统开环根轨迹增益看出，系统开环根轨迹增益 （实变量）与复变量（实变量）与复变量s s有一一对应的关系。有一一对应的关系。gk 当当 由由0 0到到连续变化时，描述系统特征方程根的复变量连续变化时，描述系统特征方程根的复变量s s在平面上的变化也是连续的，因此在平面上的变化也是连续的，因此,

13、 ,根轨迹是根轨迹是n n条条连续连续的曲线。的曲线。gk 由于实际的物理系统的参数都是实数由于实际的物理系统的参数都是实数, ,如果它的特征方程有复如果它的特征方程有复数根的一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是数根的一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称对称于实轴于实轴的。的。结论：结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨根轨迹是连续且对称于迹是连续且对称于实轴实轴的曲线。的曲线。2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系12规则四规则四 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 实轴上的根轨迹由相角条件可证实

14、轴上的根轨迹由相角条件可证: :设某段右侧的零设某段右侧的零, ,极点数分极点数分别为：别为：则则: : 即即右侧开环零右侧开环零, ,极点数的和为奇数时极点数的和为奇数时, ,该段为根轨迹该段为根轨迹。,zpNN11(12 )mnijzpijNNk 2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系13规则五规则五 渐近线渐近线 当开环极点数当开环极点数 n n大于开环零点数大于开环零点数mm时时, , 系统有系统有n-mn-m条根轨条根轨迹终止于迹终止于S S平面的无穷远处，这平面的无穷远处，这n-mn-m条根轨迹变化趋向的直线条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐

15、近线，因此渐近线也有叫做根轨迹的渐近线，因此渐近线也有n-mn-m条条, , 且它们交于实且它们交于实轴上的一点。轴上的一点。渐近线与实轴的交点位置渐近线与实轴的交点位置 和与实轴正方向的交角和与实轴正方向的交角 分别为分别为: : 11nmijijPZnm 21,0,1,2,1kknmnm 2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系14（1）根轨迹渐近线的倾角 根据幅角条件： 当 时，零点 、极点 与 矢量复角可近似看成相等 得到 所以渐近线的倾角： 因共有(n-m)条渐近线，所以只要取(n-m)个不同的倾角即可。sjzips180 (21)aamnk180

16、 (21), 0,1,2,1akknmnm11()()180 (21), 0, 1, 2,mnjijiszspkk 2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系15（2）渐近线与实轴的交点 幅值条件： 当 ，则对应于 ，此时 ，上式可写成： 上式左边展开： 上式右边展开 比较对应 s 幂项系数相等，求得： 所以渐近线相交于同一点1*1nmspspKszsz*K siiszsp12121)()(mnmnmnszzzppps1()n mn masnm s1212()()()anmnmpppzzz1212()()nmapppzzznm1212()()()()()()(

17、)n mnamspspspsszszsz2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系16已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数, ,试画出该系统根轨迹的渐近线。试画出该系统根轨迹的渐近线。 2(2)(1)(4)gkksGssss例5-21 1渐近线：渐近线：系统有系统有n=4,m=1,n-m=3n=4,m=1,n-m=3 三条渐近线与实轴交点位置为：三条渐近线与实轴交点位置为：13241解解实轴正方向的交角分别是实轴正方向的交角分别是0)(k6031)(k1802)(k6035渐近线如图所示。渐近线如图所示。 -4 -4 -3 -3 -2 -2 -1 -1

18、0 0j03000180060060B BC CA A2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系172022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系18规则六规则六 根轨迹的分离点、会（汇）合点根轨迹的分离点、会（汇）合点 根轨迹在根轨迹在s s平面上相遇，表明系统有相同的根。即在分离点平面上相遇，表明系统有相同的根。即在分离点和会合点处必有闭环特征重根和会合点处必有闭环特征重根, ,令闭环特征方程为令闭环特征方程为: : 12( )( )( )() ()()()0gdnF sk N sD sssss 如果令如果令 12112( )

19、()()()()()()()()0dndndF sdssssdsdsssss即可求得即可求得 ( )0dF sds2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系19故在重根处有故在重根处有: :( )( )( )( )( )0ggd k N sD sdF sk N sD sdsds因为：因为： 所以：所以： ( )( )gD skN s ( )( )( )0( )D sN sD sN s即：即： 2( )( )( )( )( )gdkD s N sD s N sdsNs 分离点分离点/ /会合点会合点: : 和和( )0dF sds0gdkds以上分析没有考虑以上

20、分析没有考虑 ( (且为实数且为实数) )的约束条件，所以的约束条件，所以只有满足只有满足 的这些解，才是真正的分离点（或会的这些解，才是真正的分离点（或会合点）。合点）。0gk 0gk 2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系20事实上，分离点还可由下式确定 因为 即 其中 即 所以-1111mnijijszsp( )( )( )( )N sD sN sD s ln( )ln( )ddN sD sdsds 1212( )()()()( )()()()mnN sszszszD sspspsp1212111ln( )111ln( )mndN sdsszszsz

21、dD sdsspspsp1111mnijijszsp( )( )( )( )0D s N sD s N s 2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系21一般来说一般来说: : 如果根轨迹位于实轴上两相邻的开环极点如果根轨迹位于实轴上两相邻的开环极点( (零点零点) )之间；则出现分离点之间；则出现分离点( (会合点会合点) ) 。如果根轨迹位于。如果根轨迹位于实轴上一个开环极点与一个开环零点之间，则或者既实轴上一个开环极点与一个开环零点之间，则或者既不存在分离点，也不存在会合点，或者既存在分离点不存在分离点，也不存在会合点，或者既存在分离点，又存在会合点。，

22、又存在会合点。 四重分离点四重分离点 复数分离点复数分离点2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系22的单位负反馈系统的的单位负反馈系统的( (180)根轨迹。根轨迹。绘制开环系统传函数为绘制开环系统传函数为例5-3( )(1)(2)gkkGss ss 1 1）此系统无开环零点，有三个开环极点，分别为：）此系统无开环零点，有三个开环极点，分别为： 01p12p23p2 2）渐近线：）渐近线：根据规则可知，系统根轨迹有三条分支，当根据规则可知，系统根轨迹有三条分支，当 分别从分别从开环极点开环极点 出发，出发， 时趋向无穷远处，时趋向无穷远处，其渐其渐近线夹角

23、为：近线夹角为：0gk123ppp、gk 解解渐近线与实轴的交点为渐近线与实轴的交点为 002160 ,180n m0,1,2,n m 1kk 111nmijijPZnm 2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系23由上式可求由上式可求上式的根为上式的根为求分离点：求分离点：分离点必位于分离点必位于0 0至至-1 -1之间的线段上，之间的线段上，故故 为分离点为分离点d d的坐标。的坐标。10.423s 120.4231.577ss 2362gdkssds 3232 gksssj S0122022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自

24、动化系242022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系25规则七、根轨迹的出射角和入射角规则七、根轨迹的出射角和入射角由相角条件可直接得到由相角条件可直接得到 11(12 )mnijijk 出射角出射角: : 11,mnijijj k入射角：入射角：1,1mnijii kj2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系26规则八规则八 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根（实部为零）。（实部为零）。 (1) (1) 用用 代入特征方程可得代

25、入特征方程可得js ( )( )|0gsjk N sD s 令此方程中虚部为零，即可求得令此方程中虚部为零，即可求得 根轨迹与虚轴的交点处根轨迹与虚轴的交点处的频率为的频率为 。用。用 代入实部方程，即可求出系统开环根代入实部方程，即可求出系统开环根轨迹临界值轨迹临界值 。ck(2) (2) 利用利用劳斯表劳斯表求取。求取。将劳斯表中将劳斯表中s s2 2行系数构造的辅助方行系数构造的辅助方程求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯表程求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯表中大于中大于2 2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。2022-3-7

26、北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系27规则九、根轨迹的走向 当n-m2满足时，随着Kg增加，一些根轨迹分支向左方移动，则另一些根轨迹分支将向右方移动。开环传递函数：特征方程： 当满足n-m2 时，上式sn-1项将没有同次项可以合并，通常把 称为极点的“重心”。11()()( )( )()()gmnkszszG s H sspsp 111111()mmmmgimiinnnnjjjjksz szsp sp 1111( )( )nnnnjjjjG s H ssp sp 111mmmmggigmiik skz skz 1/nijpn 2022-3-7北京科技大学自动化学院自动

27、化系北京科技大学自动化学院自动化系28 当 Kg变化时，极点的重心保持不变。所以，为了平衡“重心”的位置，当一部分根轨迹随着的增加向左方移动时，另一部分根轨迹将向右方移动。例*234( )( )()()()KG s H ss spspsp2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系29规则十、 根轨迹上kg值的计算根轨迹上任一点S1处的kg可由幅值条件来确定。即 = 1111111111 ()()ngmspspkG s H sszsz所引向量长度的乘积零点至所引向量长度的乘积极点至11111111s)s(H)s(Gs)s(H)s(G2022-3-7北京科技大学自

28、动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系30绘制根轨迹图的法则绘制根轨迹图的法则序号内 容规 则1起点终点起始于开环极点（含无限极点），终止于开环零点（含无限零点）。2分支数、对称性、连续性分支数等于开环传递函数的极点数 n（n m）， 或开环传递函数的零点数 m（m n）。对称于实轴且具有连续性。3渐近线n m条渐近线相交于实轴上的同一点：坐标为： 倾角为：4实轴上的分布实轴的某一区间内存在根轨迹，则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为奇数11nmijijapznm 180 (21)0,1,2,1aknmknm2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动

29、化系31序号内容规 则 5分离（会回合）点实轴上的分离（会合）点（必要条件）6出射角入射角复极点处的出射角： 复零点处的入射角：7虚轴交点（1）满足特征方程 的 值；（2）由劳斯阵列求得（及kg相应的值）；8走向当 时 ， 一些轨迹向右，则另一些将向左。9kg计算 根轨迹上任一点处的kg：11( )( )00gdkd G s H sdsds或11180 (21)mnaijijj ak11180 (21)nmbjijii bk2,gnmk 0)()(1jHjGj11111( )( )gskG s H ss开环极点至向量 长度的乘积开环零点至向量 长度的乘积2022-3-7北京科技大学自动化学院自

30、动化系北京科技大学自动化学院自动化系32 系统开环传递函数为 试绘制根轨迹图解：开环极点：0、-3、-1+j、-1-j 开环零点：-2，3个无限零点(1)渐近线：应有n-m=4 -1=3条渐近线，渐近线的倾角： 渐近线与实轴的交点： 2(2)( ) ( )(3)(22)gK sG s H ss sss180 (21)180 (21)60 ,1803kkn m12341()0 3 ( 1) ( 1) 213ppppzjjn m (2) (2) 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：0 -20 -2，- - -3 -3例5-42022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系3

31、3(3)极点-p3的出射角 ：不难求得极点-p1、-p2、-p4到-p3的幅角分别 、 、 ,有限零点-z1到p3的幅角为所以同理不难求得极点-p4处的出射角：(4)根轨迹与虚轴的交点： 方法一：由特征方程求： 特征方程 ：3135 26.6 90 3180 (21) (13526.690 ) 4526.6k 426.6432586(2)0gssssKs423(82)(-5(6) )0ggKjKjs 45 2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系34实部方程： 虚部方程： 解得：方法二：由劳斯阵列求：列出劳斯阵列 令s1行为零，即 得Kg =7，再根据 行s

32、2得辅助方程：42820gK35(6)0gk12301.611.61 (舍去)7gK 43212018256(34)/52(204 22)/(34)2ggggggggsKsKsKKsK KKsK234205ggKsK1.61 2(204 22)0ggKK2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系35S0j-3-2-2-1+j-1-j2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系362022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系37例5-535( )(3)(1)gkksG ss sTs, ,绘制以绘制以

33、T T为参数的根轨迹。为参数的根轨迹。 1gk 设某系统的开环传递函数为：设某系统的开环传递函数为： 前面介绍的根轨迹绘制法则前面介绍的根轨迹绘制法则, ,只适用于以放大系数只适用于以放大系数 为参量为参量的情况的情况, ,如果变化参数为其它参数情况将如何处理？如果变化参数为其它参数情况将如何处理？gk解解根据根轨迹的定义根据根轨迹的定义, ,根轨迹是闭环极点随某个参量变化在根轨迹是闭环极点随某个参量变化在s s平面上留下的轨迹平面上留下的轨迹, ,故根轨迹上的点满足闭环特征方程故根轨迹上的点满足闭环特征方程 ：3510(3)(1)ss sTs 2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北

34、京科技大学自动化学院自动化系38是一样的是一样的, ,我们我们将具有将具有相同闭环特征方程的开环传递函数相同闭环特征方程的开环传递函数称为称为相互等效的开环传递函数相互等效的开环传递函数（简称为（简称为等效传递函数等效传递函数）。）。22(3)( )65kTssGsss(35)( )(3)(1)gkksG ss sTs 具有相同的闭环特征方程具有相同的闭环特征方程, ,则随则随T T从从 变化变化, ,其根轨迹其根轨迹0 总有一种等效开环传递函数总有一种等效开环传递函数, ,可将变化参数位于放大系数可将变化参数位于放大系数 的位置的位置. .这时就可利用前面的规则了。这时就可利用前面的规则了。

35、gk2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系39解解(4) (4) 为使系统对速度输入的稳态误差为零为使系统对速度输入的稳态误差为零, ,加怎样的环加怎样的环 节可使系统稳定。节可使系统稳定。绘制绘制 的根轨迹，确定的根轨迹，确定: :例5-6(3) (3) 在该系统中增加一个怎样的环节在该系统中增加一个怎样的环节, ,可使系统不论可使系统不论 怎样变化都稳定。怎样变化都稳定。gk(1)(1) 为何值系统非振荡稳定为何值系统非振荡稳定, ,振荡稳定振荡稳定, ,不稳定不稳定? ?(2) (2) 求使系统闭环主导极点具有阻尼比求使系统闭环主导极点具有阻尼比 ,

36、 ,确定确定 。gkgk0.707 ( )(1)(5)gkkGss ss (1)(1)分离点分离点: : 231250gdkssds720.48, 3.523s 舍 渐近线渐近线: : (21)1,23knm 2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系40与虚轴交点与虚轴交点: : 32()6()50gjjjk5 30gk 分离点处分离点处 的值的值gk0.48(1)(5) |1.128gsks ss由此可见由此可见: : 1.12830gk振荡稳定振荡稳定 无振荡稳定无振荡稳定01.128gk临界稳定临界稳定30gk 不稳定不稳定 30gk (2)(2)在在

37、 时时, ,极点为极点为: : 代入闭环特征方程代入闭环特征方程: :解得解得:s=-0.45+j0.45, :s=-0.45+j0.45, 0.707sj 3265|0gsjsssk2.07gk 2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系41 ( (一般一般a0,d0a0,d0为好为好, ,是最小相是最小相位系统位系统) )(4)(4)如果使系统速度输入误差为零如果使系统速度输入误差为零, ,则系统应是则系统应是II II型的型的, ,那么从开环零那么从开环零, ,极极点分布图上可见点分布图上可见: :应该附加两个零应该附加两个零点点, , 系统才可能完全稳

38、定下来。渐系统才可能完全稳定下来。渐近线近线: : 0,6ad(3)(3)增加一零点增加一零点(s+a(s+a) )有可能使系统完全稳定有可能使系统完全稳定, ,此时渐近线此时渐近线: : (21)12 knm 06a 否则否则, ,在在 时时, ,根轨迹有可能与纵轴相交。根轨迹有可能与纵轴相交。6a j S0125j S01252022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系42解解开环传递函数为：开环传递函数为： 绘制根轨迹绘制根轨迹, , 并证明有一段根轨迹为圆（并证明有一段根轨迹为圆（a,pa,p为实数为实数) )。例5-7()( )()gkksaG ss

39、sp0()180()sspsa 根据相角条件可知：根据相角条件可知：0()()(180() tgjpjtgaj令令 两边取正切变换：两边取正切变换：sj1pap 222()aaap2220aap圆心圆心 ， 半径半径2aap(- ,0)a2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系43下面验证半径是零点到分离点或汇合点的距离：下面验证半径是零点到分离点或汇合点的距离：分离点：由分离点：由 ，得，得0gdkds220sasap21,2saaap 221()saaap j S01221ap例：，2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动

40、化系44如果系统的开环传递函数如果系统的开环传递函数的放大系数的放大系数 为负为负, ,gk的的相角条件相角条件, ,此根轨迹称为此根轨迹称为 根轨迹。根轨迹。前面讨论的根轨迹均是满足前面讨论的根轨迹均是满足 ()1112mnjjijszspk 180设设开环传递函数为：开环传递函数为：11()( )()mgiiknjjkszG ssp其其闭环特征方程为闭环特征方程为: : 11()10()mgiinjjkszsp对应的即是零度对应的即是零度 根轨迹。根轨迹。(0 ) 相角条件为相角条件为: : 112mnjjijszspk 2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院

41、自动化系45 在绘制在绘制 根轨迹时，只需在根轨迹时，只需在 根轨迹的画法规则中，根轨迹的画法规则中，与与相角条件有关的规则作相应的修改。相角条件有关的规则作相应的修改。0180规则三规则三 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 实轴上，若某线段右侧的开环实数零、极点个数之和为实轴上，若某线段右侧的开环实数零、极点个数之和为偶偶数数，则此线段，则此线段为为根轨迹的一部分。根轨迹的一部分。规则四规则四 渐近线渐近线 渐近线与实轴的交渐近线与实轴的交点位置点位置 和与实轴正方向的交角和与实轴正方向的交角 分分别为：别为：11nmijijPZnm2,0,1,2,n m 1n mkk2022-3-7北京科技大

42、学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系46规则六、根轨迹的出射角和入射角规则六、根轨迹的出射角和入射角入射角：入射角：由相角条件可直接得到由相角条件可直接得到: : 112mnijijk出射角出射角: : 1,1,mnkijijj k1,1mnkijii kj 2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系47 由修改后的规则三知，实轴上的根轨迹是由0至+线段和由-1至-2线段。 由修改后的规则四知，渐近线与实轴正方向的夹角分别是: 0(k = 0)、120(k = 1)、-120 (k = 2)。 渐近线与实轴的交点为-1。已知已知正反馈正反馈系统的

43、开环传递函数为系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。试绘制该系统的根轨迹图。 )2)(1()()(sssKsHsGr例5-8解解2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系48 由规则五求出的极值方程的解有两个，即 ， ，由于是正反馈，实轴上的根轨迹改变了。因为 不在实轴根轨迹上，舍去。可见，虽然规则五没改变，但在确定分离点时应考虑规则三变化。 58. 1242. 0120.42 sswj1) 0(PKr=rK0120-120-1rKrK3) 0(PKr=) 0(2=rKP-22a 根轨迹如图所示。可看出，有一根轨迹如图所示。可看出，有一条从起点到终点全

44、部位于条从起点到终点全部位于S S平面右平面右半部的根轨迹，这意味着无论半部的根轨迹，这意味着无论KrKr为为何值，系统都存在何值，系统都存在S S平面右半部的平面右半部的闭环极点，表明闭环极点，表明系统总是不稳定的系统总是不稳定的。在开环传递函数相同的情况下，负在开环传递函数相同的情况下，负反馈系统的稳定性比正反馈系统好。反馈系统的稳定性比正反馈系统好。2022-3-7北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系49 一、闭环主导极点的概念一、闭环主导极点的概念 在工程实际中，常常用主导极点的概念对系统进行分析，这样可使系统分析简化。在工程实际中，常常用主导极点的概念对系统进行分析，这样可使系统分析简化。下面研究闭环传递函数的系统。下面研究闭环传递函数的系统。 闭环主导极点闭环主导极点指的是闭环极点中离虚轴最近，