函数y=Asinωxφ的图象

1、函数y=Asin( wx+ 的图象第一课时教学目的：理解振幅的定义；理解振幅变换和周期变换的规律.会用五点法画出函数 y=Asinx和y=Asin wx的图象，明确 A与3对函数图象的影 并会由 y=Asinx的图象得出 y=Asinx和y=Asin w x的图象。教学重点难点:重点熟练地对y= sinx进行振幅和周期变换。 难点理解振幅变换和周期变换的规律 教学过程：一、复习引入：在现实生活中，我们常常会遇到形如 y = Asin( w x + :)的函数解析式(其中A, w , 都是常数)+下面我们讨论函数 y=Asin( wx + :) , x R的简图的画法+二、讲解新课：1例1画出函

2、数y=2sinx xR; y= sinx x R的图象(简图)*解：画简图，我们用“五点法这两个函数都是周期函数，且周期为2 n我们先画它们在0, 2n :上的简图。列表：x0JI2713兀22兀si nx010-102si nx020-201 si nx20120-20作图:(1) y= 2sin x, x R的值域是2, 2。图象可看作把 y= sin x, x R上所有点的纵 第1页(共17页)坐标伸长到原来的2倍而得横坐标不变。1 112y =sinx, x R的值域是一，丄。图象可看作把y = sin x, x R上所有点 22 21的纵坐标缩短到原来的 倍而得横坐标不变。2引导，观

3、察，启发：与y=sinx的图象作比拟，结论：1. y=Asinx , x三RA0且A=1的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长 A1或缩短0A1到原来的A倍得到的*2 .它的值域A, A 最大值是 A,最小值是A3.假设A0且3 =1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(3 1)或伸长(0 3 1)到原来的 丄倍(纵坐标不变)CO2 假设3 0且A=1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍得到的.它的值域-A, A 最大值是A,最小 值是-A .假设A0且3=1 )的图象，可看作把正弦曲线上所有点的 横坐标缩短(w 1)或伸长(0

4、 w 1)到原来的1倍(纵坐标不变).假设w 0时)或向右(当 : 3 且 2TW 3,即得一W T0)的周期为 2，那么 3 =.1 35假设函数y= asinx+ b (av 0)的最小值为一一，最大值为一，贝U a、b的值分别为2 26.函数 y = 3sin ( 2x + $ ) (0 v $ v n )为偶函数，那么 $ =参考答案：兀1兀1. B 2 .C 3 B 4 . - 5 一 16 一2 22六、课后记：附：巧求初相角求初相角是高中数学学习中的一个难点，怎样求初相角 剖析，介绍四种方法+| 0, 3 0, |2将(n, 0)代入该式得：5si n(n + : )= 0，由

5、sin(3(k Z) o v| :=0, 得 2 += k n o = k n32 2兀2兀-y= 5sin( x)或 y= 5sin( x+)3 333分析：由题意可知，点,5在此函数的图象上，但在4?初相角有几个？下面通过错解22ny= 兀宁中，令X二二2二22=，贝V y= 5sin = 5sin = 5，由此可知：y= 5sin x 不合题意.463233那么，问题出在哪里呢？我们知道，三角函数值求角，在一个周期内一般总有两个解，只有在限定的范围内才能得出惟一解正解一：单调性法点n , 0在递减的那段曲线上二+ 2k n ,3 23Q -ITQ -TF+ 2k n : k Z由 sin

6、 + ：= 0 得+ ;： = 2kn + n333131/： = 2k n + k Z v| |0且A=1的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长A1或缩短0A1到原来的A倍得到的.它的值域-A, A 最大值是A,最小 值是-A .假设A0且w =1 的图象，可看作把正弦曲线上所有点的1横坐标缩短w 1或伸长0 w 1到原来的丄倍纵坐标不变.假设w 0时或向右当 ： 0, w 0的图象，可以看作用下面 的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左当： 0时或向右当: 1时或伸长当0 3 1时或缩短当0 A0或向右 0，便得y= sin 3 x+ ;：的图象.途径二：先周期变换伸缩变换再平移变

7、换+1先将y= sin x的图象上各点的横坐标变为原来的倍3 0,再沿x轴向左-: 0coI半I或向右: 0 =平移1一1个单位，便得y= sin 3 x+ :的图象.例2如图是函数 y= 2sin 3 x + :其中|丨02tt观察图象可看出，应有 T=V 2n , 3 1 ,故可排除A与BCO由图象还可看出，函数y= 2sin 3 x +的图象是由函数 y = 2sin 3 x的图象向左移而得到的0，又可排除D,应选Cx=例3函数y = Asin 3 x+，在同一周期内，当x=时函数取得最大值2，当4兀和点,2都是图象上的点，且由“五点法作图可知，这两点分别是“第二点和9国,L+cp =工

8、卜=3“第四点，所以应有:答案：B912解得 二.926由y = Asin 3 x+ :的图象求其函数式：一般来说，在这类由图象求函数式的问题中，如对所求函数式中的A、3、不加限制如A、3的正负，角的范围等，那么所求的函数式应有无数多个不同的形式这是由于所求函数是周期函数所致，因此这类问题多以选择题的形式出现，我们解这类题的方 法往往因题而异，但逆用“五点法作图的思想却渗透在各不同解法之中三、课堂练习：1 函数 y= Asin( 3 x + :)( A0, 3 0,0vV 2 n )图象的一个最高点(2,3),由这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点(6 , 0)，试求函数的解析式解：由可得

9、函数的周期T= 4X (6 2) = 16又 A=二 y = . 3 sin( x+)8把(2 , 、3)代入上式得：,3 = sin x 2+ ) ,38sin( + :) = 1,而 0 V ： V 2 n =-4 4所求解析式为：y = . 3 sin( x+)842. 函数y= Asin( 3 x + :)(其中A0, I |v二)在同一周期内，当x = 一时,2 12y有最小值2，当x=时，y有最大值2，求函数的解析式.12分析：由y= Asin( 3 x + )的图象易知A的值，在同一周期内，最高点与最低点横坐标之间的距离即 T，由此可求3的值，再将最高(或低)点坐标代入可求；：,

10、2,卄宀兀7兀兀2兀解：由题意 A= 2, = T= n =, 3 = 221212国y = 2sin(2x +:)又 x =时 y = 2 2 = 2sin(2 x + ：)1212兀小兀小兀+ _ =：V- =6263兀3T函数解析式为：y = 2sin(2 x +)33假设函数y=f (x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移的图象，那么有 y= f(x)是()n个单位，沿y轴向下平移211个单位，得到函数y =丄sin x21 兀Ay=sin(2 x+) + 12 21 兀Cy=sin(2 x) + 12 4解析：由题意可知1兀B$=s

11、i n(2x ) + 12211 :D7 =sin(x + ) + 1224y = f : 1 ( x+ 门一1=亠n x2 2 2即 y = f : - ( x + ):2 2令 1 ( x+ 二)，那么x= 2 tji222- f(1t) =sin(2t ji-)+ 11Jl f(x) = - sin(2 x - ) + 1222 2答案：B4函数y = 3sin(2 x+ )的图象，可由y = sin x的图象经过下述哪种变换而得到3答案：BA向右平移一个单位，横坐标缩小到原来的3B向左平移丄个单位，横坐标缩小到原来的3C向右平移丄个单位，横坐标扩大到原来的6D向左平移个单位，横坐标缩小

12、到原来的6四、小结 平移法过程：1-倍，纵坐标扩大到原来的21-倍，纵坐标扩大到原来的22倍，纵坐标缩小到原来的1倍，纵坐标缩小到原来的2作y=sinx (长度为2二的某闭区间)沿x轴平移冷|个单位横坐标长或缩短得 y=sin(x+ )得 y=sin 3 x横坐标伸长或缩短*得 y=sin( 3 x+ )沿x轴平移I |个单位得 y=sin( 3 x+ )纵坐标伸长或缩短纵坐标伸长或缩短+T得y=Asin( 3 x+ )的图象，先在一 个周期闭区间上再扩充到R 上.两种方法殊途同归(1) y=s in x 相位变厶 y=s in(x+ )周期变4 y=s in( 3 x+ )振幅变换 t y

13、= Asi nx+)(2) y=sinx周期变换、y=sin 3 x相位变换 y=sin( 3 x+ )五、课后作业：1如图a是周期为2 n的三角函数y= f (x)的图象，那么f (x)可以写成()A+sin (1 + x)B sin ( 1 x)高中数学教案 第四章三角函数C. sin (x 1)2、如图b是函数y= Asin( x+ $ ) + 2的图象的一局部,)D+sin (1 x)A+A= 3,B+A= 1,C*A= 1,D-A= 1,4 二 , ,$ =34 二 , $ =32兀$ =34 二 , ,$ =33如图c是函数y= Asin解析式为()2 兀A+y sin(2x )3

14、 32 兀Cysin(x - )3 34一函数 y= Asin (3 x+ $内，当x = 时，有ymax= 2,3那么函数表达式是.5如图 d 是 f (x) = Asin71的一段图象，那么函数 f (x)的表达式为6如图 e,是 f ( x) = Asin (3 x + $ ), A0, | $ |v2一段图象，那么f (x)的表达式为 7-如图f所示的曲线是 y = As in (3 x + $ ) (A 0, 3 0) 的图象的一局部，求这个函数的解析式 8+函数 y= Asin (3 x +$)+k (A 0 ,内，当x=时，y有最大值为3值2,求此函数的解析式373，当3 0)在

15、同一周期 x= 11时，y有最小32/y企 图f y0-2的9 f (x)= sin (x+ 0 )+ - 3 cos (x 0 )为偶函数，求0的值./T-2ji7.y= 2si n( 2x+)38y =31r:5sin( x )2236 n)的图象如图10.由图g所示函数图象，求 y= Asin (3 x+Q) (I Q | n )的表达式.选题意图：考查数形结合的思想方法+11.函数 y= Asin( 3 x+Q I 丨 Q I选题意图：考查数形结合的思想方法+参考答案：Jl1D 2B 3D 4.y= 2si n( 3x)252sin(3x+) 6 .2 sin( x )384n9- 0 = kn , k Z610.解：由图象可知A = 22：；.T =一(一一)=二，即卩=二8 87-：-2又(一，0)为五点作图的第一个点8因此 2X( ) + Q= 0,.Q= 84因此所求函数表达式为 y= 2sin(2x+二)43由函数的周期确定,说明：在求y= As in (3 x+ Q )的过程中，A由函