第4章 §3 3.1　平面图形的面积+3.2　简单几何体的体积

1、.§3定积分的简单应用3.1平面图形的面积3.2简单几何体的体积1.会用定积分求平面图形的面积.重点2.会用定积分求简单几何体的体积.重点3.理解建立实际问题的积分模型的根本过程和方法.难点根底·初探教材整理1平面图形的面积阅读教材P87P88“例3以上部分，完成以下问题.1.当xa，b时，假设fx>0，由直线xa，xbab，y0和曲线yfx所围成的曲边梯形的面积Sfxdx.2.当xa，b时，假设fx<0，由直线xa，xbab，y0和曲线yfx围成的曲边梯形的面积Sfxdx.图4­3­13.当xa，b时，假设fx>gx>0，由直线

2、xa，xbab和曲线yfx，ygx围成的平面图形的面积Sfxgxdx.如图4­3­1判断正确的打“，错误的打“×1曲线ysin x，x与x轴围成的图形的面积为sin xdx.2曲线yx3与直线xy2，y0围成的图形的面积为x3dx2xdx.3曲线y3x2与直线y1围成的图形的面积为4x2dx.【答案】1×23教材整理2简单旋转几何体的体积阅读教材P89P90“练习以上部分，完成以下问题.旋转体可看作由连续曲线yfx，直线xa，xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的几何体，该几何体的体积为Vfx2dx.由yx2，x1和y0所围成的平面图形绕x轴旋转

3、所得的旋转体的体积为A.B.C.D.【解析】Vy2dxx22dxx5.【答案】C质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型利用定积分求平面图形的面积1求由直线yx3，曲线yx26x13所围图形的面积S；2求由曲线yx2，直线y2x和yx围成的图形的面积.【精彩点拨】1作出两函数的图像，并求其交点坐标.确定积分区间，利用定积分求面积S.2求出三条曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下.【自主解答】1作出直线yx3，曲线yx26x13的草图

4、，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组得交点坐标为2，5和5，8.因此，所求图形的面积Sx3dxx26x13dxx27x10dx.2法一：由和解出O，A，B三点的横坐标分别是0，1，2.故所求的面积S2xxdx2xx2dx0.法二：由于点D的横坐标也是2，故S2xxdxx2xdx2.法三：因为，.故所求的面积为Sdydyy2.求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤：1画出图形；2确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限；3确定被积函数，特别要注意分清被积函数图像上、下位置；4写出平面图形面积的定积分表达式；5运用微积分根本公式计算定积分，求出平面图形的面积.再练一题1.

5、由抛物线yx2x，直线x1及x轴围成的图形的面积为 【导学号：94210075】A.B.1C.D.【解析】由图可知，所求面积Sx2xdxxx2dx1.【答案】B求简单几何体的体积求由曲线yx2与y所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.【精彩点拨】所求旋转体的体积可由两个不同的旋转体的体积作差得到，再利用定积分求解即可.【自主解答】曲线yx2与y所围成的平面图形如图阴影部分所示.设所求旋转体的体积为V，根据图像可以看出V等于曲线y，直线x2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积设为V1减去曲线yx2，直线x2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积设为V2.V12

6、dx2xdx2·x24，V2dxx4dx×x5，所以VV1V24.1.两个曲线围成的图形的面积旋转而成的图形的体积是两个体积的差，即Vf2xdxg2xdx，而不能写成Vfxgx2dx.2.求简单旋转体的体积时，首先要画出平面图形，分析旋转体的形状，再利用体积的定积分表达式Vf2xdx求解.再练一题2.设平面图形由上的曲线ysin x及直线y，x围成，求此图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.【解】先画草图.设fxsin x，x，gx.那么fx与gx的交点为.Vdxdxdx.探究共研型定积分的综合应用探究1设a0，假设曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，试求a的值

7、.【提示】由得Sdxxaa2，所以a，所以a.探究2假设两曲线yx2与ycx3c>0围成图形的面积是，试求c的值.【提示】由得x0或x.0<x<时，x2>cx3，S x2cx3dx.c3，c.在曲线yx2x0上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为，试求切点A的坐标及过切点A的切线方程.【精彩点拨】设出切点坐标，写出切线方程，利用定积分可列方程，解方程求得切点坐标，进一步求出切线方程.【自主解答】设切点Ax0，x，切线斜率为k2x0，切线方程为yx2x0xx0.令y0，得x，如图，Sx2dx x22x0xxdxx.x，x01.切点A的坐标为1，1，切线方

8、程为y2x1.1.此题中求面积S时，易错误地写成Sx22x0xxdx.错误原因是没能分割好图形.2.关于导数与积分的综合题，要充分利用导数的几何意义，求切线的斜率或方程，利用定积分的几何意义求面积，进而解决问题.再练一题3.如图4­3­2，设点P在曲线yx2上，从原点向A2，4挪动，假如直线OP，曲线yx2及直线x2所围成的面积分别记为S1，S2.图4­3­21当S1S2时，求点P的坐标；2当S1S2有最小值时，求点P的坐标和最小值.【解】1设点P的横坐标为t0<t<2，那么P点的坐标为t，t2，直线OP的方程为ytx.S1txx2dxt3，

9、S2x2txdx2tt3.因为S1S2，所以t，点P的坐标为.2SS1S2t32tt3t32t，St22，令S0得t220.因为0<t<2，所以t，当0<t<时，S<0；<t<2时，S>0.所以，当t时，S1S2有最小值，此时点P的坐标为，2.构建·体系1.用S表示图4­3­3中阴影部分的面积，那么S的值是图4­3­3A.fxdxB.C.fxdxfxdxD.fxdxfxdx【解析】xa，b时，fx<0，xb，c时，fx>0，阴影部分的面积Sfxdxfxdx.【答案】D2.直线yx，x1及x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是A.B.C.D.1【解析】Vx2dxx3.【答案】B3.由yx2，yx2及x1围成的图形的面积S_.【解析】图形如下图，Sx2dxx2dxx2dxx3.【答案】4.由yx2，yx所围成的图形绕y轴