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1、 用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。)(xf,ba)(xF)(xf,babaaFbFdxxf)()()(babaaFbFxFdxxf)()()()(定理9.1 若函数 在上连续，且存在原函数，则在上可积，且这即为牛顿莱布尼茨公式，也常记为。 证证 ,babxxxan10:给定任意一个分割：， nkkknkkkxfxFxFaFbF111)()()()()(这里 1kkkxxx,1kkkxx用了Lagrange 中值定理。 ,)(baCxf由Cantor 定理， f,ba在一致连续， 0

2、0所以， 只要 ,ba，就有 abff)()(于是，当 knkx1max时，对 ,1kkkxx，有 nkkkknkkkxffaFbFxf11)()()()()()(xF：在,ba上连续，在 ),(ba内可导，且 ),(),()(baxxfxF.而 )( xf只要在,ba上可积即可. 注1：在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如 注2：本定理对)(xF的要求是多余的。)(xf,ba设在可积（不一定连续）， 又设 )(xF在 ,ba上连续，并且在 ),(ba上， )()(xfxF，则 )()()()(aFbFxFdxxfbaba证证 任给 ,ba一分割 bxxxan10:由Lagrange中

3、值定理 nkkkxfaFbF1)()()(),(1kkkxx 因 f在 ,ba可积， 令 0max1knkx，则上式右边 badxxf)(所以 badxxfaFbF)()()(. 例例1: 1: .sin baxdx计算计算 解解 : : xxsin)cos( 且且，bax连续连续在在因因,sinbabaxxdxcossin 所以所以.coscosba 例例2 2 求求 解解.112dxx 当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 解解 面积面积xyo 0sin xdxA 0cos x. 2 例例4: 4: 以及以及直线直

4、线计算由抛物线计算由抛物线3, 12 yxxy.S坐标轴所围图形的面积坐标轴所围图形的面积 解解 : : 如如右右图图由由于于抛抛物物线线oxy13与直线与直线)2 , 1(相交于点相交于点(1,2)故所围曲边梯形面积故所围曲边梯形面积.)(30 dxxfS . 31,3, 10, 1)(2xxxxxf其中其中解解: 原式原式 nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1lim ninnin1sin1limnninin 1sinlim1.sin10 xdxix i 12(cos0cos ).例例5 求极限求极限： nnnnnn)1(sin2sinsin1lim例例6 6解解.12111limnnnnn求nnnnnnnn11

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